ベクトル三重積公式の補足

参考１：各ステップの意味

凌宮数学では、以下の手法によりベクトル三重積の公式を式の性質から組み立てる。

ステップ(1)では、２つの外積から来る２つの直交条件により、解を平面上に狭めているに等しい。
ステップ(2)では、次元解析により、解の関数形を狭めているに等しい。厳密には成分を決めていない。
ステップ(3)では、簡単な例により、符号および解の倍率を決めている。

ステップ(2)では解の形を決めても、式全体に定数倍が付くことが有りうる。
このため、ステップ(3)ではその未定の定数倍を「+1」や「-1」に決めているとも解釈できる。

また、定数倍が符号だけで済むのは、内積と外積が都合良く定義されているためである。
もし、内積の大きさがではなく、のように定義されたら、
若しくは、外積の大きさがではなく、のように定義されたら*1、
ベクトル三重積公式には相応な係数が付く羽目になる。

参考２： 少し古い符号判定（〜2014年）

ベクトル三重積公式の左辺には２つの書き方があり、掛け方によって符号が逆転する。

この符号は外積の回転方向を２回も考える必要がある。
３次元空間でぐるぐる回るのは結構面倒なので、便宜的な手法ではあるが２次元で済ませたい。
さらに、三重積は任意のベクトルで成立するため、次の２つの条件を満たす単純な例で済ませたい。

• 先に掛け合わせるベクトルが互いに垂直*2
• 後に掛け加えるベクトルが前の片方と同じ向き*3*4

論はないが証拠、これで（片方の）符号が分る：

について、まずにを右から掛けて、を左から掛ける。
ポイントは掛ける向きが逆であるため、向きが打ち消して元のの向きになる。
したがって、の符号は「」になり、残るには逆の「」が付く。

について、まずにを右から掛けて、をさらに右から掛ける。
ポイントは掛ける向きが同じであるため、そのまま回し続けてと逆の向きになる。
したがって、の符号は「」になり、残るには逆の「」が付く。

*2 やっていることは平面上のベクトルの成分分解であるため、斜交座標より直交座標系を使う方が直角が多くて簡単。
*3 は空間上に浮いても、平面上の成分しか外積の結果に影響を与えないため、平面上に乗せても結果は同じ。
*4 重ねることにより考える成分が１つ減るため、楽が出来る。片方の符号が決まれば他方も決まるため、１成分の符号だけ分れば十分。