極限の分割 < 凌宮数学 (LimgMath)

背景

$$ 2 $$ $$ < $$ $$ e < $$ $$ 3 $$ の証明で、自然底の定義式を２変数関数と見なして、
直観的に２段階に分けて極限を取る方法が示されていた。
問題があるとして削除されたが、考え方自体は面白いし良さそうなので、考えてみた。

お題：

	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1x \Big)^x$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=0}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $^{^1\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_0}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^0_{\,_1}}$ $^{^x\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_1}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^1_{\,_c}}$ ${}_x\mathrm{C}_2$ $\ffd1{ x^2 }$ ${}_x\mathrm{C}_3$ $\ffd1{ x^3 }$ $\cdots$ ${}_x\mathrm{C}_x$ $\ffd1{ x^x }$ $\Big)$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_2}{x^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_3}{x^3}$ $\cdots$ $\ffd1{x!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_x}{x^x}$ $\Big)$
	$=\!\!\!\!?$ $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n}$	$\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_2}{u^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_3}{u^3}$ $\cdots$ $\ffd1{v!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_v}{u^v}$ $\Big)$
	$\lim_{v\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{n!}$	$\lim_{v\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd1{3!}$ $\cdots$ $\ffd1{v!}$ $\Big)$
	$\lim_{v\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{2^{n-1}}$	$\lim_{v\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2^1 }$ $\ffd1{2^2 }$ $\cdots$ $\ffd1{2^{v-1}}$ $\Big)$

$=\!\!\!\!?$ で示した変換の可否が問題となる。

極限を分割しない方法

本題に入る前に、極限操作の分割を回避し、既に利用されている各項で上から抑える発想のみで解く方法を示す。

	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1x \Big)^x$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=0}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $^{^1\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_0}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^0_{\,_1}}$ $^{^x\,}\bcancel{{}_x\mathrm{C}_1}$ $\ffd1{\bcancel{\;x\;}^1_{\,_c}}$ ${}_x\mathrm{C}_2$ $\ffd1{ x^2 }$ ${}_x\mathrm{C}_3$ $\ffd1{ x^3 }$ $\cdots$ ${}_x\mathrm{C}_x$ $\ffd1{ x^x }$ $\Big)$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ ${}_x\mathrm{C}_n$ $\ffd1{x^n}$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_2}{x^2}$ $\ffd1{3!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_3}{x^3}$ $\cdots$ $\ffd1{x!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_x}{x^x}$ $\Big)$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{x^n}{x^n}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2!}$ $\cancel{ \ffd{x^2}{x^2} }$ $\ffd1{3!}$ $\cancel{ \ffd{x^3}{x^3} }$ $\cdots$ $\ffd1{x!}$ $\cancel{\!\ffd{x^x}{x^x}\!}$ $\Big)$
	$\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{2^{n-1}}$	$\lim_{x\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2 }$ $\ffd1{2^2 }$ $\cdots$ $\ffd1{2^{x-1}}$ $\Big)$

最初の不等号では、 $_m\mathrm{P}_n$ $\leq$ $$ m^n $$ を利用している。例えば $_4\mathrm{P}_3$ $$ = $$ $4\times3\times2$ $\leq$ $4\times4\times4$ $$ = $$ $$ 4^3 $$ である。
$_m\mathrm{P}_n$ $$ = $$ $m(m-1)\cdots(m-n)$ $$ = $$ $\prod_{k=0}^n$ $$ (m-k) $$ であり、各因数において $$ m-k $$ $\leq$ $$ m $$ が言えるため、 $_m\mathrm{P}_n$ $\leq$ $\prod_{k=0}^n$ $$ m $$ $$ = $$ $$ m^n $$ が成り立つ。

次の不等号では、 $$ n! $$ $\geq$ $2^{n-1}$ を利用している。例えば $$ 4! $$ $$ = $$ $4\times3\times2\times1$ $\geq$ $2\times2\times2\times1$ $$ = $$ $2^{4-1}$ である。
$$ = $$ $n(n-1)\cdots2\cdot1$ $$ = $$ $\prod_{k=1}^n$ $$ k $$ であり、 $$ k=1 $$ を除き各因数において $$ k $$ $\geq$ $$ 2 $$ が言えるため、 $$ n! $$ $\geq$ $\prod_{k=2}^n 2$ $$ = $$ $2^{n-1}$ が成り立つ。

極限の分割可否

２変数関数としての一般論

上下で押さえる発想だけで示せることを確認したところで、本題に入る。
示された手法の問題点は、極限を取る文字が形式的に複数回使われる式に対し、箇所毎に極限を取る操作の同値性と言える。
オリジナルの手法では、 $\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_x\mathrm{P}_n}{x^n}$ を $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\sum_{n=2}^v$ $\ffd1{n!}$ $\ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n}$ に変換している。
$$ f(u,v) $$ $$ = $$ $\lim_{x\to\infty}$ $\sum_{n=2}^x$ $\ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n}$ と置けば、 $\lim_{x\to\infty}f(x,x)$ $=\!\!\!\!?$ $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ という問題になる。

例えば、 $\lim_{x\to\infty}$ $\ffd1x$ $$ = $$ $$ 0 $$ について、
$\ffd1x$ $$ = $$ $\ffd1{2x}$ $$ + $$ $\ffd1{2x}$ から $$ f(u,v) $$ $$ = $$ $\ffd1{2u}$ $$ + $$ $\ffd1{2v}$ $$ $$ を作っても、
$\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $$ = $$ $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\Big($ $\ffd1{2u}$ $$ + $$ $\ffd1{2v}$ $\Big)$ $$ = $$ $\lim_{v\to\infty}$ $\Big($ $$ 0 $$ $$ + $$ $\ffd1{2v}$ $\Big)$ $$ = $$ $\lim_{v\to\infty}$ $\ffd1{2v}$ $$ = $$ $$ 0 $$ と、
$\lim_{x\to\infty}$ $$ f(x,x) $$ $$ = $$ $\lim_{x\to\infty}$ $\ffd1x$ $$ = $$ $$ 0 $$ に一致する。

しかし、 $\lim_{x\to\infty}$ $$ 1 $$ $$ = $$ $$ 1 $$ について、
$$ 1 $$ $$ = $$ $\ffd{\ffd1x}{\ffd1x}$ から $$ f(u,v) $$ $$ = $$ $\ffd{\ffd1u}{\ffd1v}$ を作ったら、 $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $$ = $$ $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\ffd{\ffd1u}{\ffd1v}$ $$ = $$ $\lim_{v\to\infty}$ $\ffd{0}{\ffd1v}$ $$ = $$ $\lim_{v\to\infty}$ $$ 0 $$ $$ = $$ $$ 0 $$ と、
$\lim_{x\to\infty}$ $$ f(x,x) $$ $$ = $$ $\lim_{x\to\infty}$ $\ffd{\ffd1x}{\ffd1x}$ $$ = $$ $$ 1 $$ とは異なる結果を出してしまう。
よって、範囲を気軽に任意の２変数関数に広げては $\lim_{x\to\infty}f(x,x)$ $\neq$ $\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $$ f(u,v) $$ と成立しなくなる。

一般に、多変数関数では「接近経路に寄らずに一定の値を取る」ことが極限を定義できる条件になっている。
　　cf: http://webmath.las.osakafu-u.ac.jp/top/std/help/help0102011001.pdf
$\lim_{x\to\infty}$ $\ffd{x}{x}$ は $\ffd{u}{v}$ を $$ u=v $$ の線上に沿って $(\infty, \infty)$ に近づけることに等しい。
$\lim_{v\to\infty}$ $\lim_{u\to\infty}$ $\ffd{u}{v}$ は任意点 $$ (u,v) $$ から出発し、 $$ u $$ 軸に平行に $(\infty, v)$ まで近づいてから、
最終的に $$ v $$ 軸に平行に $(\infty, \infty)$ に近づけることに等しい。

接近経路次第で極限値が変わる関数のグラフ

$(\infty, v)$ から $$ v $$ 軸に平行に $(\infty, \infty)$ に近づける経路はグラフにできないため、
$$ (p,q) $$ $$ = $$ $\Big(\ffd1u, \ffd1v\Big)$ と定義して、 $\Big(0, \ffd1q\Big)$ と $$ (0, 0) $$ に変換して $\ffd{x}{y}$ の原点付近を図示してみる。
対応する関数は、 $$ g(p,q) $$ $$ = $$ $f\Big(\ffd1p, \ffd1q\Big)$ $$ = $$ $\ffd{p}{q}$ であり、
考える極限と接近は、 $\lim_{r\to0}$ $$ g(r,r) $$ $$ = $$ $\lim_{r\to0}$ $\ffd{r}{r}$ $$ = $$ $\lim_{r\to0}$ $$ 1 $$ $$ = $$ $$ 1 $$ という直線 $$ p=q $$ に沿う接近と、
$\lim_{q\to0}$ $\lim_{p\to0}$ $$ g(p,q) $$ $$ = $$ $\lim_{q\to0}$ $\lim_{p\to0}$ $\ffd{p}{q}$ $$ = $$ $\lim_{q\to0}$ $\ffd0q$ $$ = $$ $\lim_{q\to0}$ $$ 0 $$ $$ = $$ $$ 0 $$ という、 $p\neq0$ かつ $q\neq0$ なる任意点 $$ (p,q) $$ から出発し、
$$ p $$ 軸に平行に $$ (0,q) $$ に近づいてから、最終的に $$ q $$ 軸に平行に $$ (0,0) $$ まで近づく接近になる。

WolframAlphaで $\ffd{p}{q}$ をプロットしてみると $$ (0,0) $$ 付近に捩じれた谷と山が見える。

$\ffd{p}{q}$ のグラフ
3Dグラフ	2D等高線

原点を除き、 $$ q $$ $$ = $$ $$ kp $$ の線上は常に同じ値 $$ k $$ を取り、 $$ p $$ $$ = $$ $$ 0 $$ 付近では山と谷が隣り合わせになる。
原点付近は、近づいてくる方向によって、如何なる値も取れるわけである。
これは $\ffd00$ を定義できない理由でもある。

２変数関数としての一般論

２変数関数に対して一般的に成立しないため、場合によってはこの成立条件を示す必要がある。

実際問題、少なくとも２階微分が可能なほどに滑らかな $$ C^2 $$ 級の関数であれば、任意方向に滑らかで連続的ということで要件を満たす。
$\ffd{_u\mathrm{P}_n}{u^n}$

細かい証明を示すには、

２変数関数 $$ f(u,v) $$ の分割極限 $\lim_{v\to k}$ $\lim_{u\to k}$ $$ = $$ $\lim_{u\to k}$ $\lim_{v\to k}$ に対し、
１変数に束縛した関数 $$ g(x) $$ $$ = $$ $$ f(x,x) $$ の極限 $\lim_{x\to k}$ が存在するとして、
両者が一致するか。

$\lim_{u\to k}$ $\lim_{v\to k}$ $$ f(u,v) $$ $=\!\!\!\!?$ $\lim_{x\to k}$ $$ f(x,x) $$

もし $\lim_{v\to k}$ $\lim_{u\to k}$ $$ f(u,v) $$ $\neq$ $\lim_{u\to k}$ $\lim_{v\to k}$ であれば、
極限を取る順番を入れ替えることで異なる値を取る両者に共通の値を対応できないため、不成立は自明である。
この可換性は、の極限 $\lim_{(u,v)\to(k,k)}$ の存在条件ともされ、f(u,v)が微分可能なら
$$ \lim_{(u,v)\to(k,k)} $ \lim_{u\to k} $ f(u,v) $

そのため、

利点

この手法が優れているのは、直観的な正項級数にあるとも。
例えば、 $$ 2.64 < e < 2.78 $$ を証明する類の問題では、適当な項まで計算して打ち切れば下端を出せて、適当な等比数列の級数で上から押さえれば上端を出せる。
$$ 2 $$ に $\ffd1{2!}$ $$ = $$ $$ 0.5 $$ を加えても $$ 2.5 $$ と欲しい下限 $$ 2.64 $$ より大きいが、
更に $\ffd1{3!}$ $$ = $$ $$ 0.16666 $$ を加えて $$ 2.6666 $$ にすればより十分に大きい下限を得られる*1。

残差は $\ffd1{4!}$ $$ = $$ $\ffd12$ $\cdot$ $\ffd13$ $\cdot$ $\ffd14$ からの級数で、 $\ffd13$ $\cdot$ $\ffd14$ さえ括りだせば、他の因数を全て $\ffd12$ と見なした緩い上端を出せる。
$\ffd1{12}$ $$ = $$ $$ 0.0833 $$ のため、 $$ 2.6666 $$ に加えれば $$ 2.7500 $$ という $$ 2.78 $$ に対して十分に小さい上端を得られる。

*1 理論値は $2.6666\cdots$ だが、下限の計算であるため緩い側に倒した切り下げを使っていることに注意。逆に上限の計算では切り上げることになる。四捨五入は危険で使えない。

極限の分割

最新の20件

背景

極限を分割しない方法

極限の分割可否

２変数関数としての一般論

接近経路次第で極限値が変わる関数のグラフ

２変数関数としての一般論

利点