三角公式の高速導出 < 凌宮数学 (LimgMath)

基礎

	$\left.\rule{0pt}{5ex}\right\}$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\rule{0pt}{5ex}\right.$	$\ffd{S + D}{2}$
		$\ffd{S - D}{2}$

これは瞬時に書けるように練習。
変換を３回も使うので、導出速度の決め手となる。

#01

$\csin(\alpha \iro[ao]+ \beta)$ $$ = $$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\iro[ao]+$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$

これは暗記。
符号は全て $$ + $$ 、 $\csin$ と $\ccos$ 、 $\alpha$ と $\beta$ が対称的で、一番ミスし難い式。

#02

$\csin(\alpha \iro[ak]- \beta)$ $$ = $$ $\csin \alpha$ $\ccos \beta$ $\iro[ak]-$ $\ccos \alpha$ $\csin \beta$

$\beta$ を符号反転。
右辺は $\beta$ の符号に影響される $\csin$ のみ符号反転。
$\ccos$ は影響されない。

#03		$\ccos(\alpha$ $\iro[ao]+$ $\beta)$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\iro[ak]-$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$
#04		$\ccos(\alpha$ $\iro[ak]-$ $\beta)$ $\ccos \alpha$ $\ccos \beta$ $\iro[mr]+$ $\csin \alpha$ $\csin \beta$

微分が扱える場合：
#01と#02を $\alpha$ で微分して#03と#04を導く。 $\beta$ は定数扱い。
左辺は、 $\csin$ から $\ccos$ の書き換え。

$\csin(\alpha \pm \beta)$ $\Rightarrow$ $(\csin(\alpha \pm \beta))^{\prime \alpha}$ $\ccos(\alpha \pm \beta)$

右辺は、

$\csin \alpha$ $\Rightarrow$ $(\csin \alpha)^{\prime}$ $\ccos \alpha$
$\ccos \alpha$ $\Rightarrow$ $(\ccos \alpha)^{\prime}$ $\iro[ak]-$ $\csin \alpha$ 。

余角が扱える場合:
#01と#02に $\alpha$ に $90^\circ\!- \alpha$ を代入して#03と#04を導く。
左辺は $\beta$ の符号反転に注意。#01が04、#02が#03になる。

$\csin(\alpha$ $\iro[ao]+$ $\beta)$ $\Rightarrow$ $\csin(90^\circ\!- \alpha$ $\iro[ao]+$ $\beta)$ $\csin(90^\circ\!- (\alpha$ $\iro[ak]-$ $\beta ))$ $\ccos(\alpha$ $\iro[ak]-$ $\beta)$
$\csin(\alpha$ $\iro[ak]-$ $\beta)$ $\Rightarrow$ $\csin(90^\circ\!- \alpha$ $\iro[ak]-$ $\beta)$ $\csin(90^\circ\!- (\alpha$ $\iro[ao]+$ $\beta ))$ $\ccos(\alpha$ $\iro[ao]+$ $\beta)$