正弦減法とベクトル外積

正弦関数と言えばベクトル外積で、平方四辺形の面積。
これらを繋げると、正弦減法がベクトル外積の成分計算に対応する。

図１： 正弦減法とベクトル外積

原点、横軸、縦軸の２次元平面を考える。
単位円上に２点とがあり、軸から偏角がそれぞれととする。
３点と、を頂点とする平方四辺形を考え、その面積をとする。

すると、
三角関数で書けば
ベクトル外積で書けば

左辺の対応

とは平方四辺形の２辺であるため、面積はと表せる。
また、との挟み角がであるため、。
今単位円について考えているので、。
以上より、になる。

ここで、外積の向きが要注意。
通常、アルファベット順にと書きたいところだが、
の場合、とするにはの順が必要。

右辺の対応

一般に、偏角がの単位ベクトルはで成分表示できる。

右辺は既述の順序に違いがあるが、対応した成分計算となっている。