$$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{-4x} $$ EditToHeaderToFooter

固有値が実数２つ、同次形で非共鳴 EditToHeaderToFooter

$$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{-4x} $$

⇔ $$ \bigg( $$$$ \ddd{^2}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ \bigg) $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{-4x} $$

式1： 線形常微分演算子化

⇔ $$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 1 $$$$ \bigg) $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ \bigg) $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{-4x} $$

式2： 線形常微分演算子の因数分解

⇔ $$ y $$$$ = $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 1 $$$$ \bigg)^{\!\!-1} \!\!\bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ \bigg)^{\!\!-1} $$$$ e^{-4x} $$

式3： 逆演算子表記*1

⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-x} \!\!\!\int\!\! e^{x} $$$$ \cdot $$$$ e^{-3x} \!\!\!\int\!\! e^{3x} $$$$ \cdot $$$$ e^{-4x} $$$$ dx $$$$ dx $$

式4： 逆演算子を積分に置換*2

⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \int $$$$ e^{-2x} $$$$ \int $$$$ e^{-x} $$$$ dx^2 $$

式5： ２階の積分式

以下からは具体的な積分計算が始まる。

$$ y $$$$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \int $$$$ e^{-2x} $$$$ \int $$$$ e^{-x} $$$$ dx^2 $$

　$$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \int $$$$ e^{-2x} $$$$ \bigg[ $$$$ - $$$$ e^{-x} $$$$ + $$$$ C_1 $$$$ \bigg] $$$$ dx $$

　$$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \int $$$$ \bigg( $$$$ - $$$$ e^{-3x} $$$$ \ + $$$$ C_1 $$$$ e^{-2x} $$$$ \bigg) $$$$ dx $$

式6： 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数

　$$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \bigg[ $$$$ \ffd{1}{3} $$$$ e^{-3x} $$$$ + $$$$ \ffd{C_1}{-2} $$$$ e^{-2x} $$$$ + $$$$ C_2 $$$$ \bigg] $$

　$$ = $$$$ \ffd{1}{3} $$$$ e^{-4x} $$$$ + $$$$ \ffd{C_1}{-2} $$$$ e^{-3x} $$$$ + $$$$ C_2 $$$$ e^{-x} $$

式7： 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数

ここで、$$ c_1 $$$$ = $$$$ \ffd{C_1}{-2} $$、$$ c_2 $$$$ = $$$$ C_2 $$と置いて式整理すると積和形の解が得られる。

　$$ y $$$$ = $$$$ \ffd{1}{3} $$$$ e^{-4x} $$$$ + $$$$ c_1 $$$$ e^{-x} $$$$ + $$$$ c_2 $$$$ e^{-3x} $$

式8： 積和形の一般解*3

*1 演算子$$ AB $$の逆演算子は一般的に$$ (AB)^{-1} $$$$ = $$$$ B^{-1} $$$$ A^{-1} $$と逆順になるが、定数係数の１階線形常微分演算子$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ k $$$$ \bigg) $$は可換なため順番は自由。
*2 １階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ k $$$$ y $$$$ = $$$$ h $$ ⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-kx} $$$$ \int $$$$ e^{-kx} $$$$ h $$$$ dx $$
*3 一般に、同次方程式から一般解$$ y_g $$$$ = $$$$ c_1 $$$$ e^{-x} $$$$ + $$$$ c_2 $$$$ e^{-3x} $$ → 特殊解$$ y_s $$$$ = $$$$ e^{-4x} $$の順番で出す定番手法では、$$ y $$$$ = $$$$ y_g $$$$ + $$$$ y_s $$と出てきた順で書く慣例がある。一方で、不定積分では積分定数を後ろに付ける慣例がある。２階積分法では不定積分に依るため、積分定数を後置する順番を用いる。

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Last-modified: 2014.1127 (木) 1524.5400 (3437d)