$$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ y $$$$ = $$$$ 0 $$ EditToHeaderToFooter

固有値が重根１つ、同次形 EditToHeaderToFooter

$$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ y $$$$ = $$$$ 0 $$

⇔ $$ \bigg( $$$$ \ddd{^2}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \bigg) $$$$ y $$$$ = $$$$ 0 $$

式1： 線形常微分演算子化

⇔ $$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 2 $$$$ \bigg) $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 2 $$$$ \bigg) $$$$ y $$$$ = $$$$ 0 $$

式2： 線形常微分演算子の因数分解

⇔ $$ y $$$$ = $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 2 $$$$ \bigg)^{\!\!-1\!\!} \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 2 $$$$ \bigg)^{\!\!-1} $$$$ 0 $$$$ dx $$

式3： 逆演算子表記

⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $$$$ \cdot $$$$ e^{-2x} \!\!\!\int\!\! e^{2x} $$$$ \cdot $$$$ 0 $$$$ dx $$$$ dx $$

式4： 逆演算子を積分に置換*1

⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-2x} $$$$ \int\!\!\!\!\int $$$$ 0 $$$$ dx^2 $$

式5： ２階の積分式

以下からは具体的な積分計算が始まる。

$$ y $$$$ = $$$$ e^{-2x} $$$$ \int\!\!\!\!\int $$$$ 0 $$$$ dx^2 $$

　$$ = $$$$ e^{-2x} $$$$ \int $$$$ \bigg[ $$$$ 0 $$$$ + $$$$ C_1 $$$$ \bigg] $$$$ dx $$

　$$ = $$$$ e^{-2x} $$$$ \int $$$$ C_1 $$$$ dx $$

式6： 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数

　$$ = $$$$ e^{-2x} $$$$ \bigg[ $$$$ C_1 $$$$ x $$$$ + $$$$ C_2 $$$$ \bigg] $$

　$$ = $$$$ C_1 $$$$ x $$$$ e^{-2x} $$$$ + $$$$ C_2 $$$$ e^{-2x} $$

式7： 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数

ここで、$$ c_1 $$$$ = $$$$ C_1 $$、$$ c_2 $$$$ = $$$$ C_2 $$と書き換えるとそのまま積和形の解が得られる*2。
また、指数部が共通しているため、指数部を纏めた和積形も好まれる。

$$ y $$$$ = $$$$ c_1 $$$$ x $$$$ e^{-2x} $$$$ + $$$$ c_2 $$$$ e^{-2x} $$

式8： 積和形の一般解

$$ y $$$$ = $$$$ ( $$$$ c_1 $$$$ x $$$$ + $$$$ c_2 $$$$ ) $$$$ e^{-2x} $$

式9： 和積形の一般解

*1 １階線形常微分方程式の解を利用：$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ k $$$$ y $$$$ = $$$$ h $$ ⇔ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-kx} $$$$ \int $$$$ e^{-kx} $$$$ h $$$$ dx $$
*2 この場合は書換なしでも十分綺麗な答えになっている。
一般に、２階積分では積分定数が置換えずに済む場合が稀である。
ここは関連記事に合わせて、大文字で仮置きしてから小文字に置換える手順に統一している。

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Last-modified: 2014.0916 (火) 0613.5000 (3503d)