倍角行列の大きさ < 凌宮数学 (LimgMath)

背景

任意の角度 $\theta$ の 1 ～ 9 倍角の正弦または余弦を成分とする3×3行列の行列式が 0 である。

$\left| \arr[ccc]{ \sin1\theta & \sin2\theta & \sin3\theta \\ \sin4\theta & \sin5\theta & \sin6\theta \\ \sin7\theta & \sin8\theta & \sin9\theta } \right| = 0$

$\left| \arr[ccc]{ \cos1\theta & \cos2\theta & \cos3\theta \\ \cos4\theta & \cos5\theta & \cos6\theta \\ \cos7\theta & \cos8\theta & \cos9\theta } \right| = 0$

和積による証明

行ベクトルまたは列ベクトルと見なとき、任意の2本は平行関係に無いため、
3本の一次従属を示すことになる。

角度が $\theta$ ずつ増えているため、1行目と3行目の和で2列目の倍を作れるのが分かる。
正弦関数が掛かっても和積として同じ角度を作れる。
実際にやってみると、列ベクトルで考えた場合、

$\sin1\theta$ $$ + $$ $\sin3\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\sin\ffd{1\theta+3\theta}2$ $\cos\ffd{1\theta-3\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos2\theta$ $\cdot$ $\sin2\theta$

$\sin4\theta$ $$ + $$ $\sin6\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\sin\ffd{4\theta+6\theta}2$ $\cos\ffd{4\theta-6\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos2\theta$ $\cdot$ $\sin5\theta$

$\sin7\theta$ $$ + $$ $\sin9\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\sin\ffd{7\theta+9\theta}2$ $\cos\ffd{7\theta-9\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos2\theta$ $\cdot$ $\sin8\theta$

2列目が1列目と3列目の線形和で表されるため、行列式は $$ 0 $$ になる。
なお、 $\cos2\theta$ $$ = $$ $$ 0 $$ のとき、1列目と3列目が逆符号で一次従属関係になる。

行ベクトルで考えても同じ。

$\sin1\theta$ $$ + $$ $\sin7\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\sin\ffd{1\theta+7\theta}2$ $\cos\ffd{1\theta-7\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos3\theta$ $\cdot$ $\sin4\theta$

$\sin2\theta$ $$ + $$ $\sin8\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\sin\ffd{2\theta+8\theta}2$ $\cos\ffd{2\theta-8\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos3\theta$ $\cdot$ $\sin5\theta$

$\sin3\theta$ $$ + $$ $\sin9\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\sin\ffd{3\theta+9\theta}2$ $\cos\ffd{3\theta-9\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos3\theta$ $\cdot$ $\sin6\theta$

余弦の方も同様に和積で一次従属を経由して証明できる。
丁度 $\sin$ を $\cos$ に置きかえった形になる。

$\cos1\theta$ $$ + $$ $\cos3\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos\ffd{1\theta+3\theta}2$ $\cos\ffd{1\theta-3\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos2\theta$ $\cdot$ $\cos2\theta$

$\cos4\theta$ $$ + $$ $\cos6\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos\ffd{4\theta+6\theta}2$ $\cos\ffd{4\theta-6\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos2\theta$ $\cdot$ $\cos5\theta$

$\cos7\theta$ $$ + $$ $\cos9\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos\ffd{7\theta+9\theta}2$ $\cos\ffd{7\theta-9\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos2\theta$ $\cdot$ $\cos8\theta$

または、

$\cos1\theta$ $$ + $$ $\cos7\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos\ffd{1\theta+7\theta}2$ $\cos\ffd{1\theta-7\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos3\theta$ $\cdot$ $\cos4\theta$

$\cos2\theta$ $$ + $$ $\cos8\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos\ffd{2\theta+8\theta}2$ $\cos\ffd{2\theta-8\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos3\theta$ $\cdot$ $\cos5\theta$

$\cos3\theta$ $$ + $$ $\cos9\theta$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos\ffd{3\theta+9\theta}2$ $\cos\ffd{3\theta-9\theta}2$ $$ = $$ $$ 2 $$ $\cos3\theta$ $\cdot$ $\cos6\theta$

倍角行列の大きさ

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