直感的な説明：偏微分の数え方

以下では、偏微分の矛盾を$$ f $$$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{2y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3t} $$という具体例を用いて、直観的に纏めてみる。

まず、$$ f $$に$$ x $$$$ = $$$$ 2t $$と$$ y $$$$ = $$$$ 3t $$を少しずつ代入すると次の変形が得られる。

$$ f $$

$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{2y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3t} $$

与式

$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{1y} $$$$ + $$$$ \iro[pk]{6t} $$

$$ y $$$$ = $$$$ 3t $$を用いて、１つの$$ y $$を$$ 3t $$に変換

$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ \phantom+ $$$$ \phantom{1y} $$$$ \phantom+ $$$$ \iro[mr]{9t} $$

もう１つの$$ y $$も$$ 3t $$に変換

$$ = $$$$ \phantom{1x}\!\!\! $$$$ \phantom+ $$$$ \phantom{1y} $$$$ \phantom+ $$$$ \iro[ao]{11t} $$

$$ x $$$$ = $$$$ 2t $$を用いて、$$ x $$を$$ 2t $$に変換

それぞれの式から次の偏微分が考えられる：

$$ f $$

$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{2y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3t} $$

⇒ $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[ak]{3} $$

$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{1y} $$$$ + $$$$ \iro[pk]{6t} $$

⇒ $$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[pk]{6} $$

$$ = $$$$ \iro[ao]{1x} $$$$ \phantom+ $$$$ \phantom{1y} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{9t} $$

⇒ $$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[mr]{9} $$

$$ = $$$$ \phantom{1x} $$$$ \phantom+ $$$$ \phantom{1y}\!\!\! $$$$ \phantom+ $$$$ \iro[ao]{11t} $$

⇒ $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{11} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$

その気になれば無数の偏微分を作れる。例えば、こんな色のも作れる。

$$ f $$

$$ = $$$$ \iro[ao]{-1x} $$$$ \phantom+\!\!\!\! $$$$ \phantom{1y}\!\!\! $$$$ + $$$$ \iro[mz]{13t} $$

⇒ $$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[mz]{13} $$

纏めると：

  1. 式変形により$$ t $$の数を自由に変えられる
  2. それぞれの数に対して特色のある偏微分を作れる
  3. $$ t $$以外に文字が無いときの偏微分が常微分である

これが凌宮数学の視点から見た偏微分と常微分である。

まとめ・つなぎ

多くの場合、赤い偏微分と青い偏微分しか使われないため、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$で区別できる。ただ、他の偏微分に気づいた人から混乱が始まる。

この混乱を無くすには、色んな偏微分を厳密に書き分け、正しく整理する必要がある。そうすれば、自ずと偏微分と常微分を一貫した表記で書けるようになる。また、書き表せないものを書けるようになったとき、新しい発想ができるようになるかもしれない。
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Last-modified: 2013.0722 (月) 0710.4300 (3931d)