変換行列の連鎖則

背景

３次元球面座標で変換行列はで定義され、
変換行列は以下のように表される：

以下では、この因数分解の幾何的意味を考える。

回転と計量の分解

２次元極座標系における回転と計量の分解

一般に、２次元の極座標系はで定義され*1、
変換行列は以下のように表せる：

変換行列の行列式であるヤコビアンを計算すると：

よって、置換積分はと書ける。

これは、 と の積と見なせて、
が無次元のため、計量で長さの次元を帳尻合わせしていると解釈できる。

ここで、変換行列から計量を分離すると、回転行列が残った式が得られる：

*1 一般的にではなくを用いられるが、球面座標系の文字に揃えた。球面座標系ではが極から降ろす向きに定義され、極座標のと定義が異なる。

３次元極座標系における回転と計量の分解

３次元極座標系に対しても同様に考察すると、
ヤコビアンを頑張って計算すれば、を得られて、
置換積分はと書ける。

類推からととの積と見なせて、
各次元の帳尻合わせと解釈できる。
特に方向の計量は、に依存するのみならずにも依存するのが、
同じ半径の球面上における異なるの円周が異なるためと解釈できる。

すると、２次元と同様に回転と計量を分離できる：

２列目からを、３列目からを抜いた形になる。
が３次元の回転を表すが、
３次元回転が２回の２次元回転で合成できる事実は古くから知られていて、
３次元回転を２次元回転に分解したのが冒頭に示した因数分解式になる：

特に最初のが、２次元回転のと全く同じである。
共に軸と軸の両方に直な方向を軸に、軸を軸に重ねる向きに回した回転を表す。
簡単なため、これを「軸を軸に回した回転」と略す。

２番目の行列であるは３行目を１行目に、１行目を２行目に置換すれば、
これまた２次元の回転と同じ形になる。
つまり、→、→に置換すれば、をに重ねる回転を表す。
逆に言い方の方を置換すれば、「軸を軸に回した回転」になる。
すなわち、共に軸と軸の両方に直な方向を軸に、軸を軸に重ねる向きに回した回転を表す。