論理包含の表記

概要

論理包含は、歴史的には記号で表記されている。
他方、集合論でも集合の包含の表記にも記号が使われる。
ところが、命題に対し、とに関連深い集合とを考えるとと真逆な向きになり、
見た目的に紛らわしいことが起こる。

以下では、その仕組みを簡単に纏める。
なお、混同を避けるため、集合包含は記号で表記し、
論理包含は今日において良く用いられるで表記する。

命題と集合の対応付け

一般に、集合は命題を使って命題が真となる要素で定義できる。
命題による定義は内包表記で集合と書ける。
これにより、命題と集合を一対一で対応づけできる。

例えば、命題が「が偶数」であれば、対応する集合が偶数を必ず唯一に作れる。

簡潔のため、命題と集合の対応関係を記号で表記する。

逆に、集合があると、対応する命題の真偽は、が集合に属すか否かで決まる。

特にのとき、

真偽値に対応する集合

恒偽

、すなわち、がに関わらず恒偽の場合、
対応する集合は要素を１つも持たないので、空集合となる。
よって、恒偽は空集合に対応する。

恒真

、すなわち、がに関わらず恒真の場合、
対応する集合は全てのを要素として持つので、は全体集合となる。
よって、恒真は全体集合に対応する。

で考えている場合、が全体集合になるので、が成り立つ。
対応式で書くと

例えば、で考えている場合、が成り立つ。
に代入したも命題と集合の対応関係から自明的に成り立つ。

基本論理演算に対応する集合演算

論理否定

命題に対応する集合はと書ける。
一方で、内包表記で記述される条件を満たさない集合は補集合であるため、と書ける。
よって、論理否定は補集合に対応する。

例えば、真偽値に関して、次の計算が容易に確認できる。

論理和

命題に対応する集合はと書ける。
一方で、集合としてみた場合、任意のはとの片方にでも属せば集合の要素となるため、と書ける。
よって、論理和は和集合に対応する。

論理積

命題に対応する集合はと書ける。
一方で、集合としてみた場合、任意のはとの両方に属して初めて集合の要素となるため、と書ける。
よって、論理積は積集合に対応する。

論理包含と部分集合

命題の集合表記を考える。
論理包含は論理否定と論理和を使って、と書ける
そのため、に対応する集合は以下に計算できる。

これに端的に表す専用の集合演算記号は、一般的には用意されてない。

そこで、が恒真のとき、との関係について考える。
より、となる。
両辺の補集合を取ると、が言える。
これは、の外側にの要素が存在しない意味であるため、がに集合的に包含される関係になる。

もし、論理包含の記号をの代わりにを用いた場合、
論理式と集合式でとの両方が出て、紛らわしい見た目になってしまう。