指数対数の合成関数の無限級数展開のバックアップ(No.5)

設問

前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する：

$$ f(x) $$ $\equiv$ ${- \log (1-x)}$

$$ g(y) $$ $\equiv$ $\exp (y)$

$$ h(x) $$ $\equiv$ $g\big(f(x)\big)$ とすると、指数計算により $\log$ と $\exp$ が打消し、簡単な式になる：

$$ h(x) = $$ $\exp \Big({-\log} (1-x) \Big)$ $$ = $$ $\exp \Big( \log (1-x)^{-1} \Big)$ $$ = $$ $\cancel{\exp\mathstrut} \cancel{\log\mathstrut} \ffd{1}{1-x}$ $$ = $$ $\ffd{1}{1-x}$

一方で、 $$ f(x) $$ と $$ g(y) $$ を級数展開しても $$ h(x) $$ の級数の形で求まるはず：

$\log(1+x)$ $$ = $$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\ffd{(-1)^{n+1}}{n} x^n$ *1

$\Rightarrow$ $$ f(x) $$ ${- \log (1-x)}$ $$ = $$ $$ - $$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\log \Big(1+(-x)\Big)$ $$ = $$ $\cancel{-}$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\ffd{(\cancel{-}1)^{n+1}}{n} (\cancel{-}x)^n$ $$ = $$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\ffd{1}{n} x^n$

$\exp x$ $$ = $$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\ffd{1}{n!} x^n$

$\Rightarrow$ $$ g(y) $$ $$ = $$ $\exp (y)$ $$ = $$ $\sum_{m=1}^{\infty}$ $\ffd{1}{m!} y^m$

よって： $$ h(x) $$ $$ = $$ $g\big(f(x)\big)$ $$ = $$ $\sum_{m=1}^{\infty}$ $\ffd{1}{m!}$ $\Big(f(x)\Big)^m$ $$ = $$ $\sum_{m=1}^{\infty}$ $\ffd{1}{m!}$ $\bigg(\sum_{n=0}^{\infty}$ $\ffd{1}{n} x^n \bigg)^m$

一方で、 $\ffd{1}{1-x}$ $$ = $$ $\sum_{k=0}^{\infty}$ $$ x^k $$ *2のため、 $\sum_{m=1}^{\infty}$ $\ffd{1}{m!}$ $\bigg(\sum_{n=0}^{\infty}$ $\ffd{1}{n} x^n \bigg)^m$ $$ = $$ $\sum_{k=0}^{\infty}$ が成り立つ。
そこで係数比較すると、任意の $$ k $$ $$ = $$ $$ n + m $$ についての係数は１でなければならない結論に至る。
が、真面目に展開しても無限級数の入子であるため、簡単には導けない。

*1 成立するためには、収束条件 $$ |x| < 1 $$

が課される
*2 成立するためには、収束条件 $$ |x| < 1 $$

が課される

係数の抽出

$\sum_{m=1}^{\infty}$ $\ffd{1}{m!}$ $\bigg(\sum_{n=0}^{\infty}$ $\ffd{1}{n} x^n \bigg)^m$ について、 $\bigg(\sum_{n=0}^{\infty}$ $\ffd{1}{n} x^n \bigg)^m$ の部分は $$ n $$ 次多項式の $$ m $$ 乗展開を意味する。
このため、直接多項式展開の記述 $\sum_{k=0}^{\infty}$ $\prod_{\sum i_j = k}$ $\ffd{1}{n_{i_j}} x^k$ に置き換えできる。

したがって、 $\sum_{m=1}^{\infty}$ $\ffd{1}{m!}$ $\bigg(\sum_{n=0}^{\infty}$ $\ffd{1}{n} x^n \bigg)^m$ $$ = $$ $\sum_{m=1}^{\infty}$ $\ffd{1}{m!}$ $\bigg($ $\sum_{k = 0}^{\infty}$ $\prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^{m} \ffd{1}{n_i}$ $\bigg)$ $$ x^k $$ $$ = $$ $\sum_{k=0}^{\infty}$ $$ $$ $\bigg($ $\sum_{m=1}^{\infty}$ $\ffd{1}{m!}$ $\prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^{m} \ffd{1}{n_i}$ $\bigg)$

$$ x^k $$ の係数を抜き出すと、任意の $$ k $$ について以下の式が成り立つ。

$\sum_{m=1}^{\infty}$ $\ffd{1}{m!}$ $\prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^{m} \ffd{1}{n_i}$ $$ = $$ $$ 1 $$

ここで、総乗 $\prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^m$ の条件式は、自然数範囲で $$ k $$ について多項の加数分解を行い、結果の加数の総乗を取る意味である。
また、上限 $$ m $$ は、加数分解結果より $$ n_i $$ 項数が決まり、 $$ i $$ の上限である $$ m $$ が逆に制限されることを意味する。
例えば、具体的に $$ k = 4 $$ の場合、 $$ 4 $$ を以下のように加数分解を行い、と $$ m $$ を決まる：

加数分解

ところで、この総乗は厄介すぎるので、 $$ k $$ についての漸化式を見いだして数学的帰納法を使う方法を検討してみる。

帰納法のための漸化式

これまでの調べで、項の数が $$ k $$ の加数分解の可能性と分かった。
このため、次の発想で項の和と漸化式に適する順番が決まる。

例えば $$ k = 4 $$ の場合、 $$ x^4 $$ は５つの $$ x $$ の積を意味する。

$$ x $$ ・ $$ x $$ ・ $$ x $$ ・ $$ x $$

ここで、 $$ k $$ の加数分解は、 $$ x $$ のグルーピングと解釈できる。
図形的に見ると、上式の「・」に任意に仕切り「｜」を入れる操作と等価である。
このため、 $$ k $$ 個の $$ x $$ の間という $$ k-1 $$ 個の場所について、「｜」を入れる・入れないの２通りの選択ができ、
全部で $2^{k-1}$ 個の項が存在することになる。

また、次の表のように考えると、 $$ k $$ の段から $$ k+1 $$ の段を機械的に作り出すことが可能になる。

指数対数の合成関数の無限級数展開 のバックアップ(No.5)

設問

係数の抽出

帰納法のための漸化式

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