フーリエ変換と逆基底と基底積 EditToHeaderToFooter

フーリエ変換は周期現象の記述から制御工学など幅広い分野において役立つ道具である。
関数をベクトルと解釈すれば、フーリエ変換を双対基底の基底変換と整理できる。
問題は、通常表記では逆基底や基底積を簡潔に表記できないため、各分野間でに表記にブレが生じ、
学ぶ側の学習コストを無駄に上げている状態である。

これに対し、凌宮数学ではフーリエ変換を双対の視点で捉え、
逆基底表記および基底積表記を適応して、フーリエ変換の簡潔に表記する。
逆基底表記は双対関係の明記に、基底積表記は多次元フーリエ変換の表記に有効である。

双対としてのフーリエ変換 EditToHeaderToFooter

フーリエ変換*1*2は、一種の双対な基底変換である。
例えば、次のように定義される時間領域と周波数領域でのフーリエ変換は、時間と周波数が双対関係にある。

正変換：　$$ F(\omega) $$$$ = $$$$ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} $$$$ \int^\infty_{-\infty}\! $$$$ f(t) $$$$ e^{-\:i \omega t} $$$$ dt $$
逆変換：　$$ f(t) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{2\pi} $$$$ \int^\infty_{-\infty}\! $$$$ F(\omega) $$$$ e^{\:i \omega t} $$$$ d\omega $$

$$ t $$は時間
$$ \omega $$は角周波数*3

具体的に、時間$$ t $$と周波数$$ \omega $$が互いに逆基底の関係にある基底と見なせば、
関数$$ f(t) $$と$$ F(\omega) $$をそれぞれ$$ t $$と$$ \omega $$を基底とするベクトル*4で、
$$ f(t) $$と$$ F(\omega) $$は同一現象を異なる基底に基づいて記述した一対の関数に見える。

一方で、空間は波数と双対関係になる。
このため、フーリエ変換の空間版は次のように定義される*5。

正変換：　$$ F(k) $$$$ = $$$$ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} $$$$ \int^\infty_{-\infty}\! $$$$ f(x) $$$$ e^{-\:i k x} $$$$ dx $$
逆変換：　$$ f(x) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{2\pi} $$$$ \int^\infty_{-\infty}\! $$$$ F(k) $$$$ e^{\:i k x} $$$$ dk $$

$$ x $$は空間
$$ k $$は角波数*6

３次元空間を含む$$ n $$次元空間においてフーリエ変換を定義できる。

正変換：　$$ F(\:k) $$$$ = $$$$ \phantom{\ffd{1}{2\pi}} $$$$ \int^\infty_{-\infty}\! $$$$ f(\:x) $$$$ e^{-\:i \:k\sx\:r} $$$$ d\:r $$
逆変換：　$$ f(\:r) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{(2\pi)^n} $$$$ \int^\infty_{-\infty}\! $$$$ F(\:k) $$$$ e^{\:i \:k\sx\:r} $$$$ d\:k $$

$$ \:r $$は空間
$$ \:k $$は角波数*7

*1 物理のかぎしっぽ／数学／フーリエ解析／フーリエ変換の第一歩
*2 Wikipedia／フーリエ変換
*3 工学では角周波数$$ \omega $$が多用されるが、$$ 2\pi $$倍違いの周波数$$ \nu $$も用いられる。
*4 関数をベクトルを見なす例： 古典回路屋／フーリエ変換入門／前フリ／関数の基底，関数の内積
*5 EMANの物理学／物理数学／フーリエ解析／フーリエ変換
*6 工学では角波数$$ k $$が多用される上に単に波数と呼ぶ場合が多いが、$$ 2\pi $$倍違いの波数$$ \nu $$も用いられるため、定義に要注意。
*7 工学では角波数$$ k $$が多用される上に単に波数と呼ぶ場合が多いが、$$ 2\pi $$倍違いの波数$$ \nu $$も用いられるため、定義に要注意。
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