α鉄とγ鉄の充填率比と密度比 のバックアップソース(No.3)

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* 概要 [#o8bb88ff]
;,鉄は約910℃で体心立方構造のα鉄から、面心立方構造のγ鉄に相転移する。
;,そこで、α鉄に対するγ鉄の密度比を計算せよ、という類の問題があるらしい。

> cf: http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/support/cgbukka_pdf/05.pdf

;,解答例として、密度比が充填率比に等しいとして、構造から一義に計算できる充填率比で代用する方法が挙げられる。
;,しかしながら、この方法は、α鉄とγ鉄の原子半径が同じことを暗に仮定するため、非現実的な出題である可能性がある。

* 原子半径の差異、および、充填率と密度の乖離 [#hefbd3f8]

;,http://fracmech.me.es.osaka-u.ac.jp/days/staff/kizaiB1.pdf pp.9-10/26より、単位格子中の原子数と格子定数は以下の通り((p11の値を使うともっと大きく異なるが、差の小さい方でも充分な差異が出たため、本稿では差の小さい方で示す。))。
#ceq(e)
#ceq(c)
　　α鉄（フェライト）
#ceq(c)
　　γ鉄（オーステナイト）
#ceq(e)
　　結晶構造　　　
#ceq(c)
　　体心立方格子
#ceq(c)
　　面心立方格子
#ceq(e)
　　原子数
#ceq(c)
　　$$ n_\alpha $$＝2個
#ceq(c)
　　$$ n_\gamma $$＝4個
#ceq(e)
　　格子定数　　　
#ceq(c)
　　$$ a_\alpha $$＝0.287nm
#ceq(c)
　　$$ a_\gamma $$＝0.358nm
#ceq(d)

一般に、幾何的には格子定数だけで以下の量が計算できる。
#ceq(e)
#ceq(c)
　　α鉄（フェライト）　　
#ceq(c)
　　γ鉄（オーステナイト）
#ceq(e)
　　原子間距離
#ceq(c)
　　$$ d_\alpha $$＝$$ \ffd{\sqrt{3}}{2} $$＝0.249nm
#ceq(c)
　　$$ d_\gamma $$＝$$ \ffd{\sqrt{2}}{2} $$＝0.253nm
#ceq(e)
　　''原子半径''
#ceq(c)
　　$$ r_\alpha $$＝$$ \ffd{d_\alpha}{2} $$＝0.124nm
#ceq(c)
　　$$ r_\gamma $$＝$$ \ffd{d_\gamma}{2} $$＝0.127nm
#ceq(q)
  　$$ r^{\circ}$$＝$$\ffd{r_\gamma}{r_\alpha} $$＝1.018
#ceq(e)
　　原子体積
#ceq(c)
　　$$ v_\alpha $$＝0.0161nm³
#ceq(c)
　　$$ v_\gamma $$＝0.0340nm³
#ceq(a)
    $$ v $$＝$$ n \cdot \ffd43 \pi r^3 $$
#ceq(e)
　　格子体積
#ceq(c)
　　$$ V_\alpha $$＝$$ a_\alpha^3 $$＝0.0236nm³
#ceq(c)
　　$$ V_\gamma $$＝$$ a_\gamma^3 $$＝0.0459nm³
#ceq(e)
　　''充填率''
#ceq(c)
　　$$ f_\alpha $$＝$$ \ffd{v_\alpha}{V_\alpha} $$＝0.680
#ceq(c)
　　$$ f_\gamma $$＝$$ \ffd{v_\gamma}{V_\gamma} $$＝0.740
#ceq(q)
  　$$ f^{\circ}$$＝$$\ffd{f_\gamma}{f_\alpha} $$＝1.089
#ceq(d)
ここで、鉄の原子１個の質量$$ m $$と置くと、
#ceq(e)
#ceq(c)
　　α鉄（フェライト）
#ceq(c)
　　γ鉄（オーステナイト）
#ceq(e)
　　''密度''
#ceq(c)
　　$$ \rho_\alpha $$＝$$ \ffd{n_\alpha m}{V_\alpha} $$＝84.6$$ m $$/nm³
#ceq(c)
　　$$ \rho_\gamma $$＝$$ \ffd{n_\gamma m}{V_\gamma} $$＝87.2$$ m $$/nm³
#ceq(q)
    $$ \rho^{\circ} $$＝$$\ffd{\rho_\gamma}{\rho_\alpha} $$＝1.030
#ceq(d)

;,原子半径が0.124nmと0.127nmと差で0.003nm、比で1.018程度の差異に対し、
;,充填率と密度は1.089と1.030と、比で$$ \ffd{f^{\circ}}{\rho^{\circ}} $$＝1.056も乖離している。

* 充填率と密度の乖離と半径の関係 [#s7f0c13f]

$$ f^{\circ}$$
＝$$\ffd{f_\gamma}{f_\alpha} $$
＝$$\ffd{\ffd{v_\gamma}{V_\gamma}}{\ffd{v_\alpha}{V_\alpha}} $$
＝$$\ffd{\ffd{n_\gamma \cdot \ffd43 \pi r_\gamma^3}{V_\gamma}}{\ffd{n_\alpha \cdot \ffd43 \pi r_\alpha^3}{V_\alpha}} $$
＝$$\ffd{\ffd{n_\gamma}{V_\gamma}r_\gamma^3}{\ffd{n_\alpha}{V_\alpha}r_\alpha^3} $$
＝$$\ffd{\ffd{n_\gamma m}{V_\gamma}r_\gamma^3}{\ffd{n_\alpha m}{V_\alpha}r_\alpha^3} $$
＝$$\ffd{\rho_\gamma r_\gamma^3}{\rho_\alpha r_\alpha^3} $$
＝$$ \rho^\circ $ (r^\circ)^3 $$

;,原子半径が変わらない場合は、$$ r^\circ $$＝1となり、充填率と密度が一致する。
;,対して、原子半径が変る場合は、充填率と密度の乖離は半径比の三乗で乖離する。
;,半径比$$ r^{\circ}$$＝1.018に対し、充填率と密度の乖離は1.018³＝1.056となる。