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TITLE:基底成分表記
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/作業メモ
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* 基底成分表記 [#gf3d8093]
y=f(x,t)=g(τ) で表されるべき関係を以下に分析する：
ベクトルの成分表記には、
列ベクトル
$$
\arrs{
F_x
\\ F_y
\\ F_z
}
$$
線形結合$$ F_x \b e_x + F_y \b e_y + F_z \b e_z $$、
総和規約$$ F_i \b e^i $$があり、この順番で習うのが普通。
列ベクトルは基底を省いた表記で、直観的で初心者に易しいため、最初に習う((厳密には、高校では成分を横に並べた横ベクトル$$ (F_x, F_y, F_z) $$が一番最初だが、行列表記としては同類。))。
その後、座標変換などを扱うとき、基底を省いた裏目で対応できず、ベクトルの基本表現である線形結合を覚えさせられる。
続いて、線形結合は記述量が多くて大変なため、すぐに成分計算の頂点に立つ総和規約を叩き込まれる。
しかし、総和規約の計算は添字計算の嵐で、機械的に計算が進むのは良いが、直観的ではなく、基底間の対応と成分間の対応が確認しにくい。
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////////////////////////////////////////////////////////////////
Ch.1【１変数関数】
これに対し、猫式ではベクトルを
$$
\arrb{
\b e_x & F_x
\\ \b e_y & F_y
\\ \b e_z & F_z
}
$$
と表記。
列ベクトルのように基底と成分の両方を並べ、縦線で分離。
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§1〖変数〗
対応する基底と成分の倍積を成分ベクトルと呼ぶと、全成分ベクトルの和がベクトルの値になる。
このため、基底と成分の位置さえ対応していれば、
$$
\arrb[cc|cc]{
\b e_x & & F_x
\\ \b e_y & \b e_z & F_y & F_z
}
$$
のような不規則な並びも許す。
まず仮に、x を何らかの物理変数とする。
数学的には要は変数である。
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§2〖関数〗
一般に、1 変数関数 f は f(x) と表記される。
定数 a を代入した値を f(a) と書くため、
関数表記と代入表記が表記だけでは区別できない。
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* 混合基底 [#e4fc0392]
そこで、1 変数であることを f:x と表記しよう。
さらに定義域が X 、値域 Y と関数値 y を合わせて、
f:X→Y:x→y と表記しよう。
ストークスの定理を列ベクトルで書くと、
前回のベクトル置換積分では列ベクトルで記述して
$$
\inte[S]
\arrs{ \fracstrut \ppd{}{x} \\ \fracstrut \ppd{}{y} \\ \fracstrut \ppd{}{z} }
\vx \arrs{ \fracstrut F_x \\ \fracstrut F_y \\ \fracstrut F_z }
\sx \arrs{ \fracstrut dydz \\ \fracstrut dzdx \\ \fracstrut dxdy }
$$
＝
$$
\inte[R]
\arrs{ F_x \\ F_y \\ F_z }
\sx \arrs{ d x \\ d y \\ d z }
$$
になるため、
基底成分表記で書くと
$$
\inte[S]
\arrb{ \b e_x & \fracstrut \ppd{}{x} \\ \b e_y & \fracstrut \ppd{}{y} \\ \b e_z & \fracstrut \ppd{}{z} }
\vx \arrb{ \b e_x & \fracstrut F_x \\ \b e_y & \fracstrut F_y \\ \b e_z & \fracstrut F_z }
\sx \arrb{ \b e_x & \fracstrut d y d z \\ \b e_y & \fracstrut d z d x \\ \b e_z & \fracstrut d x d y }
$$
＝
$$
\inte[R] \,
\arrb{ \b e_x & F_x \\ \b e_y & F_y \\ \b e_z & F_z }
\sx \arrb{ \b e_x & d x \\ \b e_y & d y \\ \b e_z & d z }
$$
になる。
この x は関数 f の束縛変数と呼ばれ、
変数の一種ではあるが、未使用の文字に書き換えても同じ関数を表す。
これをベクトル演算だけで無理に計算しても失敗する。
正しく計算するには、$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$を基底とする微分形式を使う必要がある。
このため、ベクトル置換積分では２系統の基底が混在している。
例示1、f:x＝f:a＝f:p
猫式では、区別のため、
$$ \b e_x $$、$$ \b e_y $$、$$ \b e_z $$を通常基底((通常空間の広がりを表すため。マクロ基底という名前も検討中。))と呼び、
$$ dx $$、$$ dy $$、$$ dz $$を微小基底((微小空間の広がりを表すため。ミクロ基底という名前も検討中。))と呼ぶ。
対応して、
$$ \arrb{ \b e_x & F_x \\ \b e_y & F_y \\ \b e_z & F_z } $$、
$$ \arrb{ d x & F_x \\ d y & F_y \\ d z & F_z } $$、
$$ \arrb{ \b e_x & d x \\ \b e_y & d y \\ \b e_z & d z } $$のように、
通常基底のみ、微小基底のみ、両方の基底を含むベクトルをそれぞれ、
通常ベクトル、微小ベクトル、混合ベクトルと呼ぶ。
束縛変数以外の変数を自由変数と呼ばれる。
また、混合ベクトルの一般型として、
$$
\arrb[c|c|c]
{ \b e_x & dx & F_x
\\ \b e_y & dy & F_y
\\ \b e_z & dz & F_z
}
$$
＝
$$
\arrb
{ \b e_x dx & F_x
\\ \b e_y dy & F_y
\\ \b e_z dz & F_z
}
$$
＝
$$
\arrb
{ \b e_x & dx F_x
\\ \b e_y & dy F_y
\\ \b e_z & dz F_z
}
$$
＝
$$
\arrb
{ dx & \b e_x F_x
\\ dy & \b e_y F_y
\\ dz & \b e_z F_z
}
$$
のように表現する。
３つ区切りは基底毎の位取り表記、２つ区切りは基底側に書く基底に対するハイライト表記。
以後、従来表記に対し、この表記を厳密表記と呼ぶ。
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例示2、一般的にf(x)＝2x と書く場合、
f:R:x＝(2x):R:x＝2x:R:x と厳密に表記できる。
f:x＝2x:x と略すが、
f:p＝2p:p と書いても
f:x＝2p:p と書いても同じである。
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* ベクトルの二項演算 [#b7d09378]
2x だけなら x を不定元とする多項式に見えるが、
2x:x で x を変数とする関数と書き分けできると理解して良い。
混合基底の演算もベクトル同様に、通常ベクトル演算、 微小ベクトル演算、混合ベクトル演算と分類できる。
実際、ベクトル置換積分で登場するのは３種類の通常ベクトル演算と３種類の微小ベクトル演算のみで、混合ベクトル演算は出番無し。
以下に、その６種類の演算を表に纏める。
これらは作用する基底にしか影響を与えず、他方を成分扱いするため、ハイライト表記で記述。
また、スカラの基底は$$ 1 $$であることに注意。
#br
#ceq
&font(b){通常ベクトルの倍積};&br;
$$ \arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z} $$
$$ \arrb{1 & B } $$
＝
$$ \arrb{\b e_x & A_x B \\ \b e_y & A_y B \\ \b e_z & A_z B} $$
#ceq
&font(b){１次形式 $$ \wx $$ ０次形式};&br;
$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
$$ \wx $$
$$ \arrb{1 & B } $$
＝
$$ \arrb{dx & A_xB \\ dy & A_yB \\ dz & A_zB } $$
#ceq
&font(b){通常ベクトルの外積};&br;
$$ \arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z} $$
$$ \vx $$
$$ \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z} $$
＝
$$
\arrb{
\b e_x & A_y B_z - A_z B_y
\\ \b e_y & A_z B_x - A_x B_z
\\ \b e_z & A_x B_y - A_y B_x
}
$$
#ceq
&font(b){１次形式 $$ \wx $$ １次形式};&br;
$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
$$ \wx $$
$$ \arrb{dx & B_x \\ dy & B_y \\ dz & B_z} $$
＝
$$
\arrb{
dydz & A_y B_z - A_z B_y
\\ dxdy & A_z B_x - A_x B_z
\\ dydx & A_x B_y - A_y B_x
}
$$
#ceq
&font(b){微小ベクトルの内積};&br;
$$ \arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z} $$
$$ \Sx $$
$$ \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z} $$
＝
$$ \arrb{ \fracstrut\,1\,& A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z} $$
#ceq
&font(b){１次形式 $$ \wx $$ ２次形式};&br;
$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
$$ \wx $$
$$
\arrb{
\b dydz & B_{yz}
\\ \b dzdx & B_{zx}
\\ \b dxdy & B_{xy}
}
$$
＝
$$ \arrb{ \fracstrut dxdydz\,& A_x B_{yz} + A_y B_{zx} + A_z B_{xy}} $$
#ceq(end)
#br
一般的に、通常基底も ｐ ベクトルとして$$ \wx $$を適用できる。
むしろ、通常ベクトルの倍積、外積、内積を先に$$ \wx $$で纏めてから微分形式に応用するのが歴史に沿った手順である。
しかし、この手順では$$ \wx $$が通常基底と微分基底の両方に使われるため、混同が起こる。
普通は両系統の基底が同時に登場しないよう、上手く問題を避けているが、
これがベクトル解析の授業と微分形式の授業の間に要らぬギャップを作ってしまう。
厳密表記では、定数関数と定数を区別する。
成分基底表記も、元々はこのギャップの橋渡しのために考案した表記で、
演算子を$$ \wx $$に統一しても基底のハイライト表現で十分に区別できる。
しかし、３次元を扱う限り、倍積、外積、内積の方が敷居が低いため、
今回は混乱を避けるよう一般的に対する演算に$$ \wx $$を使わないでおく。
例示3
値が2の定数： 2
値が2の定数関数： 2:x＝2:p
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* 成分基底表記によるストークスの定理 [#z4a2ff70]
ストークスの定理は、猫式の基底成分表記とベクトル積分演算子で表記すると次のようになる。
$$
\inte[S] d^{-2}
\arrb{ \b e_x & \fracstrut \ppd{}{x} \\ \b e_y & \fracstrut \ppd{}{y} \\ \b e_z & \fracstrut \ppd{}{z} }
\vx \arrb{ \b e_x & \fracstrut F_x \\ \b e_y & \fracstrut F_y \\ \b e_z & \fracstrut F_z }
\sx \arrb{ \b e_x & \fracstrut d y d z \\ \b e_y & \fracstrut d z d x \\ \b e_z & \fracstrut d x d y }
$$
＝
$$
\inte[R] d^-
\arrb{ \b e_x & F_x \\ \b e_y & F_y \\ \b e_z & F_z }
\sx \arrb{ \b e_x & d x \\ \b e_y & d y \\ \b e_z & d z }
$$
#br
#ceq
左辺＝
#ceq(e)
＝
$$
\inte[S] d^{-2} $
\arrb{
\b e_x & \ppd{F_z}{y} - \ppd{F_y}{z}
\\ \b e_y & \ppd{F_x}{z} - \ppd{F_z}{x}
\\ \b e_z & \ppd{F_y}{x} - \ppd{F_x}{y}
}
\sx
\arrb{
\b e_x & dydz
\\ \b e_y & dzdx
\\ \b e_z & dxdy
}
$$
#ceq
通常基底外積を実行
#ceq(e)
＝
$$
\inte[S] d^{-2} $
\arrb{
1 & dydz \left( \ppd{F_z}{y} - \ppd{F_y}{z} \right)
\\ 1 & dzdx \left( \ppd{F_x}{z} - \ppd{F_z}{x} \right)
\\ 1 & dxdy \left( \ppd{F_y}{x} - \ppd{F_x}{y} \right)
}
$$
#ceq
通常基底内積を実行
#ceq(e)
＝
$$
\inte[S] d^{-2} $
\arrb{
dydz & \ppd{F_z}{y} - \ppd{F_y}{z}
\\ dzdx & \ppd{F_x}{z} - \ppd{F_z}{x}
\\ dxdy & \ppd{F_y}{x} - \ppd{F_x}{y}
}
$$
#ceq
微小基底にハイライト
&br;ココから、微小基底の計算を開始
&br;微分形式では普通この段階から始めるため、通常基底が登場しない
#ceq(e)
＝
$$
\inte[S] d^{-2} $
\arrb{
dx & \ppd{}{x}
\\ dy & \ppd{}{y}
\\ dz & \ppd{}{z}
}
\wx
\arrb{
dx & F_x \fracstrut
\\ dy & F_y \fracstrut
\\ dz & F_z \fracstrut
}
$$
#ceq
１次形式$$ \wx $$１次形式に分解
#ceq
＝
$$
\inte[S] d^{-2}d $
\arrb{
dx & F_x
\\ dy & F_y
\\ dz & F_z
}
$$
#ceq
外微分演算子の定義より
&br;もしくは、第一因子は$$ d\b r \sx \ddd{}{\b r} $$のため、全微分の関係より
&br;いずれもの解釈でも$$ d $$は０次形式のため、$$ \wx $$は省略可能
#ceq(e)
#ceq(e)
＝
$$
\inte[R] d^- $
\arrb{
dx & F_x
\\ dy & F_y
\\ dz & F_z
}
$$
#ceq
$$ d $$について累次積分を実行
&br;積分領域を適当に再解釈
&br;微小基底の計算はココまで
#ceq(e)
#ceq(e)
＝
$$
\inte[R] d^- $
\arrb{
1 & dx F_x
\\ 1 & dy F_y
\\ 1 & dz F_z
}
$$
＝
$$
\inte[R] d^-
\arrb{
\b e_x \sx \b e_x & dx F_x
\\ \b e_y \sx \b e_y & dy F_y
\\ \b e_z \sx \b e_z & dz F_z
}
$$
#ceq
再び通常基底にハイライト
&br;このような割り込みは一般的に成立しないが、
&br;各成分に微小基底があるため、ここは可能
#ceq
＝
$$
\inte[R] d^- $
\arrb{
\b e_x & dx
\\ \b e_y & dy
\\ \b e_z & dz
}
$ \sx $
\arrb{
\b e_x & F_x
\\ \b e_y & F_y
\\ \b e_z & F_z
}
$$
#ceq
通常基底の内積に分解
#ceq(e)
＝右辺
#ceq(end)
////////////////////////////////////////////////////////////////
§3〖関数に対する定数の代入〗
//////////////////////////////////////////////////////////////////
* 通常ベクトルの内積による簡略表記 [#ybd3f103]
f:x の束縛変数に対し、
具体的な定数 3 で置換することを f:x.3 と書こう。
f:x.3 では x が 3 に置換される。
上の計算途中で、
$$
\arrb{
dx & F_x
\\ dy & F_y
\\ dz & F_z
}
$$
＝
$$
\arrb{
\b e_x & dx
\\ \b e_y & dy
\\ \b e_z & dz
}
$ \sx $
\arrb{
\b e_x & F_x
\\ \b e_y & F_y
\\ \b e_z & F_z
}
$$
とあるが、注釈にもあるように、
微小基底があるため、通常基底の内積を取っても３つ成分ベクトルは混ざることはなく、
このような割り込みは可能となる。
この置換が一般に言う代入になる。
「.」を代入演算子と呼ぶ。
これを利用して、$$ \arrb{d\:r & \:F} $$＝$$ d\:r \sx \:F $$と定義すれば、
通常ベクトルの内積と基底成分表記が簡単に行き来できる。
もともと基底と成分は積で扱われるため、ベクトルの場合に対し内積を取るのは自然の拡張と言える。
例示1、2x:x.3＝2×3＝6 である。
これより、微小基底の３種類の演算は次のように書ける。
#ceq(begin)
&font(b){１次形式 $$ \wx $$ ０次形式};： $$ [ d\b r | \b A ] $ \wx $ [ \spc{ 1}{d\b S} | B ] $$＝$$ [ d\b r \wx \spc{ 1}{d\b S} | \b A B ] $$＝$$ [ d\b r | \b A B ] $$
&br;&font(b){１次形式 $$ \wx $$ １次形式};： $$ [ d\b r | \b A ] $ \wx $ [ \spc{d\b r}{d\b S} | \b B ] $$＝$$ [ d\b r \wx \spc{d\b r}{d\b S} | \b A \vx \b B ] $$＝$$ [ d\b S | \b A \vx \b B ] $$
&br;&font(b){１次形式 $$ \wx $$ ２次形式};： $$ [ d\b r | \b A ] $ \wx $ [ \spc{d\b S}{d\b S} | \b B ] $$＝$$ [ d\b r \wx \spc{d\b S}{d\b S} | \b A \Sx \b B ] $$＝$$ [ d V | \b A \sx \b B ] $$
#ceq(end)
#br
この簡略表記と猫式のベクトル微分演算子により、ストークスの定理は次のように変形できる。&br;
$$ \inte[S] d^{-2} $ \ddd{}{\b r} \vx \b F \sx d^2\b S $$
＝$$ \inte[R] d^- $ \arrb{ d\b r \wx d\b r & \ffd{1}{d\b r} \vx \b F } $$
＝$$ \inte[R] d^- $ \arrb{ d\b r & \ffd{1}{d\b r} } \wx \arrb{ d\b r & \b F } $$
＝$$ \inte[R] d^- $ \arrb{ d\b r & \b F } $$
＝$$ \inte[R] d^- $ \b F \sx d\b r $$
&br;同様に、ガウスの定理は次のように変形できる。&br;
$$ \inte[V] d^{-3} $ \ddd{}{\b r} \sx \b F \, d^3V $$
＝$$ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d\b r \wx d\b S & \ffd{1}{d\b r} \sx \b F } $$
＝$$ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d\b r & \ffd{1}{d\b r} } \wx \arrb{ d^2\b S & \b F } $$
＝$$ \inte[S] d^{-2} $ \arrb{ d^2\b S & \b F } $$
＝$$ \inte[S] d^{-2} $ \b F \sx d^2\b S $$
例示2、a を定数と決め付けると、
2x:x.a＝2a になる。
%bodynote
関数に定数を代入したら、定数になる。
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* まとめ・つなぎ [#e7d87ca4]
////////////////////////////////////////////////////////////////
§4〖関数に対する変数の代入〗
今回は、微分形式を経由して、積分公式を導きいた。
ベクトル形の積分公式と微分形式を橋渡しするため独自の表記を用いたが、個々の手順自体は合法的。
やってることは、$$ d\b r \wx d\b r $$＝$$ d^2\b S $$、$$ d\b r \wx d\b S $$＝$$ d^3V $$によって微小要素を分解してから、
$$ d\b r \wx \ffd{1}{d\b r} $$単位で消している。
前節の濫用として、
f:x の束縛変数に対し、
具体的な変数 v で置換することを f:x.v と書こう。
これと同じことを、前回は$$ \ddd{^3V}{\b r} $$＝$$ d^2\b S $$、$$ d^2\b S \vx \ffd{1}{d\b r} $$＝$$ d\b r $$と理解していた。
その結果を作り出すために考えたインチキ規則は、
微小基底の二項演算を眺めば、成分側の演算手順から基底側の演算手順への変換規則であるの分かる。
$$ \wx $$の演算では、成分が加算項と減算項の２つに分かれ、基底の並びは必ず加算項と一致する。
一方で、通常基底と微傷基底の演算を比較すると、成分側の計算が完全に一致する。
このため、通常基底として計算して置き、減算項を抜けば、微小基底の基底側の演算結果が出てくる。
例示1、2x:x.v＝2v である。
直観的センスとしては、今回は$$ \ffd{6}{2} $$＝$$ \ffd{2 \times 3}{2} $$＝$$ 3 $$と回りくどいのに対し、
前回は$$ \ffd{6}{2} $$＝$$ 3 $$と直接割ってるため、一枚上手と思う。
関数に変数を代入したら、変数になる。
微分形式では、１次形式が線積分、２次形式が面積分、３次形式が体積分に対応。
３、２、１の次は０。体、面、線の次は点。
というわけで、次回、０次形式に対応する「点積分」。
////////////////////////////////////////////////////////////////
§5〖関数に対する関数の代入〗
//////////////////////////////////////////////////////////////////
更なる濫用として、
f:x の束縛変数 x に対し、
具体的な関数 g:y で置換することを f:x.(g:y)と書こう。
例示1、
2x:x.(g:y)＝2(g:p)＝(2g):p＝2g:p である。
//////////////////////////////////////////////////////////////////
//:１次形式 $$ \wx $$ １次形式（通常基底の外積に相当）|
//#ceq
// $$ \arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z} $$
// $$ \vx $$
// $$ \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z} $$
//#ceq
// $$ (A_x \b e_x + A_y \b e_y + A_z \b e_z) $$
// $$ \vx $$
// $$ (B_x \b e_x + B_y \b e_y + B_z \b e_z) $$
//#ceq
// ＝
// $$
// \arrb[ccc|ccc]{
// \clr[rd]{\b e_x \vx \b e_x} & \clr[bl]{\b e_y \vx \b e_x} & \clr[bk]{\b e_z \vx \b e_x} & A_x B_x & A_y B_x & A_z B_x
// \\ \clr[bk]{\b e_x \vx \b e_y} & \clr[rd]{\b e_y \vx \b e_y} & \clr[bl]{\b e_z \vx \b e_y} & A_x B_y & A_y B_y & A_z B_y
// \\ \clr[bl]{\b e_x \vx \b e_z} & \clr[bk]{\b e_y \vx \b e_z} & \clr[rd]{\b e_z \vx \b e_z} & A_x B_z & A_y B_z & A_z B_z
// }
// $$
//#ceq
// $$ = A_x B_x \, \clr[rd]{\b e_x \vx \b e_x} + A_y B_x \, \clr[bl]{\b e_y \vx \b e_x} + A_z B_x \, \clr[bk]{\b e_z \vx \b e_x} $$
// &br;$$ + A_x B_y \, \clr[bk]{\b e_x \vx \b e_y} + A_y B_y \, \clr[rd]{\b e_y \vx \b e_y} + A_z B_y \, \clr[bl]{\b e_z \vx \b e_y} $$
// &br;$$ + A_x B_z \, \clr[bl]{\b e_x \vx \b e_z} + A_y B_z \, \clr[bk]{\b e_y \vx \b e_z} + A_z B_z \, \clr[rd]{\b e_z \vx \b e_z} $$
// &br;手順としては、とりあえず展開。
//#ceq(e)
//#ceq(e)
// ＝
// $$
// \arrb[rrr|ccc]{
// \phantom{\b e_x} & -\clr[bl]{\b e_z} & \clr[bk]{\b e_y} & \phantom{A_x B_x} & A_y B_x & A_z B_x
// \\ \clr[bk]{\b e_z} & \phantom{\b e_y} & -\clr[bl]{\b e_x} & A_x B_y & \phantom{A_y B_y} & A_z B_y
// \\ -\clr[bl]{\b e_y} & \clr[bk]{\b e_x} & \phantom{\b e_z} & A_x B_z & A_y B_z & \phantom{A_z B_z}
// }
// $$
// &br;＝
// $$
// \arrb[ccc|rrr]{
// \phantom{\b e_x} & \clr[bl]{\b e_z} & \clr[bk]{\b e_y} & \phantom{A_x B_x} & - A_y B_x & A_z B_x
// \\ \clr[bk]{\b e_z} & \phantom{\b e_y} & \clr[bl]{\b e_x} & A_x B_y & \phantom{A_y B_y} & - A_z B_y
// \\ \clr[bl]{\b e_y} & \clr[bk]{\b e_x} & \phantom{\b e_z} & - A_x B_z & A_y B_z & \phantom{A_z B_z}
// }
// $$
//#ceq
// $$ = \phantom{A_x B_x} \, \phantom{\b e_x} - A_y B_x \, \clr[bl]{\b e_z} + A_z B_x \, \clr[bk]{\b e_y} $$
// &br;$$ + A_x B_y \, \clr[bk]{\b e_z} \phantom{+ A_y B_y} \, \phantom{\b e_y} - A_z B_y \, \clr[bl]{\b e_x} $$
// &br;$$ - A_x B_z \, \clr[bl]{\b e_y} + A_y B_z \, \clr[bk]{\b e_x} \phantom{+ A_z B_z} \, \phantom{\b e_z} $$
// &br;これは線形結合では曖昧だが、厳密には基底計算と因数移動の２手。
// &br;&font(#FFF,#000,u+#000,o+#000,b){## ##規則２## ##}; 因数は対応する基底と成分の間を移動可能。
//#ceq
// ＝
// $$
// \arrb{
// \b e_x & A_y B_z - A_z B_y
// \\ \b e_y & A_z B_x - A_x B_z
// \\ \b e_z & A_x B_y - A_y B_x
// }
// $$
//#ceq
// $$ = (A_y B_z - A_z B_y) \b e_x $$
// $$ + (A_z B_x - A_x B_z) \b e_y $$
// $$ + (A_x B_y - A_y B_x) \b e_z $$
// &br; &font(#FFF,#000,u+#000,o+#000,b){## ##規則３## ##}; 基底が同じ成分は合併可能。
//#ceq(end)
例示2、具体に、
2x:x.(3y:y)＝2(3y:y)＝6y:y
そこで、関数に関数を代入した結果を関数と見なす。
一般的に、関数に関数を代入して得られる関数を合成関数と呼ぶ。
////////////////////////////////////////////////////////////////
§6〖変数の関数化〗
vを変数とすると、2v は変数である。
これらは、関数となる v:v と 2v:v とは厳密に区別される。
その一方で、関数 v:v は変数 v の束縛変数化と見なせる。
同様に、2v:v は変数 2v に対し、v を束縛変数化した関数と見なせる。
2v:2v も同様に解釈でき、2v:2v＝x:x＝v:v である。
//////////////////////////////////////////////////////////////////
また、関数 2v:v に対し、定数 u を代入した結果は、
2v:v.u＝2u であるため、
関数 2v:v は自由変数 2u と u の関係を表す関数とも見なせる。
////////////////////////////////////////////////////////////////
§7〖定数の関数化〗
定数が変数の特別な形態であるため、変数の関数化も自ずと定義されることになる。
定数 2 に対し、2:x は x の値に依らず定数値 2 を取る定数値関数となる。
関数であるため、2:x＝2:y＝2:p と束縛変数の表記は任意である。
ただ、2＝2:x の真偽に関する議論は保留とする。
左辺が関数ではないため、まず関数同士の同値関係の範疇ではない。
次に左辺を0変数の関数と見なしても、それは次の多変数関数の範疇になる。
//////////////////////////////////////////////////////////////////
//** 幾何基底の計算 [#h891786f]
//
//以下では幾何基底の計算規則を示す。
//細かい計算は、線形結合表記と照らし合わせて計算し、
//最後に、結果だけをベクトル表記と照らし合わせる。
//
///////////////////////////////////
//*** 倍積 [#kf6a4f1e]
//
//スカラは基底が１と見なせば、次のように表記できる。
//
//#ceq
// $$ \arrb{\fracstrut\,1\,& A} $$
// $$ \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z} $$
//#ceq
// $$ (A \times 1) $$
// $$ (B_x \b e_x + B_y \b e_y + B_z \b e_z) $$
//#ceq
// ＝$$ \arrb{1 \b e_x & A B_x \\ 1 \b e_y & A B_y \\ 1 \b e_z & A B_z} $$
//#ceq
// ＝$$ (A B_x \times 1 \b e_x + A B_y \times 1 \b e_y + A B_z \times 1 \b e_z) $$~
// &font(#FFF,#000,u+#000,o+#000,b){## ##規則１ }; 展開の要領で、基底と成分を別々に計算可能。
//#ceq
// ＝$$ \arrb{\b e_x & A B_x \\ \b e_y & A B_y \\ \b e_z & A B_z} $$
//#ceq
// ＝$$ (A B_x \b e_x + A B_y \b e_y + A B_z \b e_z) $$
//#ceq(end)
//
//結果として、基底１を略せば、直感的にスカラを各成分に分配できる。~
//$$ A $$
//$$ \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z} $$
//＝
//$$ \arrb{\b e_x & A B_x \\ \b e_y & A B_y \\ \b e_z & A B_z} $$
//$$ \Longleftrightarrow $$
//$$ A $$
//$$ \arrs{B_x \\ B_y \\ B_z} $$
//＝
//$$ \arrs{A B_x \\ A B_y \\ A B_z} $$
//
///////////////////////////////////
//*** 外積 [#v468f592]
//
//#ceq
// $$ \arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z} $$
// $$ \vx $$
// $$ \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z} $$
//#ceq
// $$ (A_x \b e_x + A_y \b e_y + A_z \b e_z) $$
// $$ \vx $$
// $$ (B_x \b e_x + B_y \b e_y + B_z \b e_z) $$
//#ceq
// ＝
// $$
// \arrb[ccc|ccc]{
// \clr[rd]{\b e_x \vx \b e_x} & \clr[bl]{\b e_y \vx \b e_x} & \clr[bk]{\b e_z \vx \b e_x} & A_x B_x & A_y B_x & A_z B_x
// \\ \clr[bk]{\b e_x \vx \b e_y} & \clr[rd]{\b e_y \vx \b e_y} & \clr[bl]{\b e_z \vx \b e_y} & A_x B_y & A_y B_y & A_z B_y
// \\ \clr[bl]{\b e_x \vx \b e_z} & \clr[bk]{\b e_y \vx \b e_z} & \clr[rd]{\b e_z \vx \b e_z} & A_x B_z & A_y B_z & A_z B_z
// }
// $$
//#ceq
// $$ = A_x B_x \, \clr[rd]{\b e_x \vx \b e_x} + A_y B_x \, \clr[bl]{\b e_y \vx \b e_x} + A_z B_x \, \clr[bk]{\b e_z \vx \b e_x} $$
// &br;$$ + A_x B_y \, \clr[bk]{\b e_x \vx \b e_y} + A_y B_y \, \clr[rd]{\b e_y \vx \b e_y} + A_z B_y \, \clr[bl]{\b e_z \vx \b e_y} $$
// &br;$$ + A_x B_z \, \clr[bl]{\b e_x \vx \b e_z} + A_y B_z \, \clr[bk]{\b e_y \vx \b e_z} + A_z B_z \, \clr[rd]{\b e_z \vx \b e_z} $$
// &br;手順としては、とりあえず展開。
//#ceq(e)
//#ceq(e)
// ＝
// $$
// \arrb[rrr|ccc]{
// \phantom{\b e_x} & -\clr[bl]{\b e_z} & \clr[bk]{\b e_y} & \phantom{A_x B_x} & A_y B_x & A_z B_x
// \\ \clr[bk]{\b e_z} & \phantom{\b e_y} & -\clr[bl]{\b e_x} & A_x B_y & \phantom{A_y B_y} & A_z B_y
// \\ -\clr[bl]{\b e_y} & \clr[bk]{\b e_x} & \phantom{\b e_z} & A_x B_z & A_y B_z & \phantom{A_z B_z}
// }
// $$
// &br;＝
// $$
// \arrb[ccc|rrr]{
// \phantom{\b e_x} & \clr[bl]{\b e_z} & \clr[bk]{\b e_y} & \phantom{A_x B_x} & - A_y B_x & A_z B_x
// \\ \clr[bk]{\b e_z} & \phantom{\b e_y} & \clr[bl]{\b e_x} & A_x B_y & \phantom{A_y B_y} & - A_z B_y
// \\ \clr[bl]{\b e_y} & \clr[bk]{\b e_x} & \phantom{\b e_z} & - A_x B_z & A_y B_z & \phantom{A_z B_z}
// }
// $$
//#ceq
// $$ = \phantom{A_x B_x} \, \phantom{\b e_x} - A_y B_x \, \clr[bl]{\b e_z} + A_z B_x \, \clr[bk]{\b e_y} $$
// &br;$$ + A_x B_y \, \clr[bk]{\b e_z} \phantom{+ A_y B_y} \, \phantom{\b e_y} - A_z B_y \, \clr[bl]{\b e_x} $$
// &br;$$ - A_x B_z \, \clr[bl]{\b e_y} + A_y B_z \, \clr[bk]{\b e_x} \phantom{+ A_z B_z} \, \phantom{\b e_z} $$
// &br;これは線形結合では曖昧だが、厳密には基底計算と因数移動の２手。
// &br;&font(#FFF,#000,u+#000,o+#000,b){## ##規則２## ##}; 因数は対応する基底と成分の間を移動可能。
//#ceq
// ＝
// $$
// \arrb{
// \b e_x & A_y B_z - A_z B_y
// \\ \b e_y & A_z B_x - A_x B_z
// \\ \b e_z & A_x B_y - A_y B_x
// }
// $$
//#ceq
// $$ = (A_y B_z - A_z B_y) \b e_x $$
// $$ + (A_z B_x - A_x B_z) \b e_y $$
// $$ + (A_x B_y - A_y B_x) \b e_z $$
// &br; &font(#FFF,#000,u+#000,o+#000,b){## ##規則３## ##}; 基底が同じ成分は合併可能。
//#ceq(end)
//
//結果として、~
//$$ \arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z} $$
//$$ \vx $$
//$$ \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z} $$
//＝
//$$
// \arrb{
// \b e_x & A_y B_z - A_z B_y
// \\ \b e_y & A_z B_x - A_x B_z
// \\ \b e_z & A_x B_y - A_y B_x
// }
//$$
//$$ \Longleftrightarrow $$
//$$ \arrs{A_x \\ A_y \\ A_z} $$
//$$ \vx $$
//$$ \arrs{B_x \\ B_y \\ B_z} $$
//＝
//$$
// \arrs{
// A_y B_z - A_z B_y
// \\ A_z B_x - A_x B_z
// \\ A_x B_y - A_y B_x
// }
//$$
//&br;基底成分表記で覚えるなら、先に基底を埋め、輪環順で加算項を埋め、逆順で減算項を埋めると良い。~
//$$
// \arrb{
// \b e_{\clr[gr]{x}} & \phantom{ A_y B_z - A_z B_y }
// \\ \b e_{\clr[gr]{y}} & \phantom{ A_z B_x - A_x B_z }
// \\ \b e_{\clr[gr]{z}} & \phantom{ A_x B_y - A_y B_x }
// }
//$$
//⇒
//$$
// \arrb{
// \b e_{\clr[gr]{x}} & A_{\clr[gr]{y}} B_{\clr[gr]{z}} \phantom{ - A_z B_y }
// \\ \b e_{ y } & A_{ z } B_{ x } \phantom{ - A_x B_z }
// \\ \b e_{ z } & A_{ x } B_{ y } \phantom{ - A_y B_x }
// }
//$$
//⇒
//$$
// \arrb{
// \b e_{\clr[gr]{x}} & A_y B_z - A_{\clr[gr]{z}} B_{\clr[gr]{y}}
// \\ \b e_{ y } & A_z B_x - A_{ x } B_{ z }
// \\ \b e_{ z } & A_x B_y - A_{ y } B_{ x }
// }
//$$
//
///////////////////////////////////
//*** 内積 [#fea029d6]
//
//内積は外積と手順が同じのため、結果だけを示す。&br;
//$$ \arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z} $$
//$$ \sx $$
//$$ \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z} $$
//＝
//$$ \arrb{ \fracstrut\,1\,& A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z} $$
//$$ \Longleftrightarrow $$
//$$ \arrs{A_x \\ A_y \\ A_z} $$
//$$ \sx $$
//$$ \arrs{B_x \\ B_y \\ B_z} $$
//＝
//$$ A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z $$
//
//ところが、この結果も積和の形をしているため、
//仮に$ A $を基底と見なせば、$$ \arrb{A_x & B_x \\ A_y & B_y \\ A_z & B_z} $$と形式的に変形できる。
//
//例えば、線積分に現れるベクトルと線要素ベクトルの内積では、
//&br;
//$$
// d\b r \sx \b F
//$$
//＝
//$$
// \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z}
//$$
//
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//** 微分基底の計算 [#h0d5d14b]
//
//微分基底の乗算はウェッジ積と呼ばれる拡張された外積に統一されるている。
//普通はウェッジ記号「$$ \wx $$」で常に表記されるが、猫式では互換性を考え、省略可能とする。
//代わりに、微分基底間の乗算は常に外積規則が適応され、交換不可とする。
//
//手順は幾何基底の外積演算と全く同じのため、結果のみを示す。
//
//&font(b){１次形式 $$ \wx $$ ０次形式}: 幾何基底の倍積に相当。微分基底の倍積でもある。
//$$ \arrb{dx & A_x \\ dy & A_y \\ dz & A_z} $$
//$$ \wx $$
//$$ B $$
//＝
//$$ \arrb{dx & A_xB \\ dy & A_yB \\ dz & A_zB } $$
//
//&font(b){１次形式 $$ \wx $$ １次形式}: 幾何基底の外積に相当。
//$$ \arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z} $$
//$$ \wx $$
//$$ \arrb{\b e_x & B_x \\ \b e_y & B_y \\ \b e_z & B_z} $$
//＝
//$$
// \arrb{
// \b dydz & A_y B_z - A_z B_y
// \\ \b dzdx & A_z B_x - A_x B_z
// \\ \b dxdy & A_x B_y - A_y B_x
// }
//$$
//
//&font(b){１次形式 $$ \wx $$ ２次形式}: 幾何基底の内積に相当。微分基底の内積でもある。
//$$ \arrb{\b e_x & A_x \\ \b e_y & A_y \\ \b e_z & A_z} $$
//$$ \wx $$
//$$
// \arrb{
// \b dydz & B_{yz}
// \\ \b dzdx & B_{zx}
// \\ \b dxdy & B_{xy}
// }
//$$
//＝
//$$ \arrb{ \fracstrut dxdydz\,& A_x B_{yz} + A_y B_{zx} + A_z B_{xy}} $$
//
//*** インチキ規則の正体 [#f8025b94]
//
//ベクトル積分演算子のところで、微小量に対する計算では減算項を抜くインチキ規則を導入した。
//実は、その意味は１次形式 $$ \wx $$ １次形式の右辺にある。
//注目すべき点は、基底側と成分側の非対称性である。
//
//まず、成分側は幾何基底の外積の成分側と一致する。
//このため、通常のベクトル計算は成分側の計算と言える。
//次ぎに、基底側には減算項が無く、成分側の計算と異なっている。
//通常のベクトル計算をしようとしても、
//微分基底が成分側になく、別の計算となっているため、当然失敗する。
//
//一方で、加算項と基底は常に対応しているため、成分側として計算した結果から減算項を消すだけで、基底側の計算になる。
//後付けではあるが、これがインチキ規則の真の意味である。
//
//また、倍積と内積の演算には元から減算項が現れないため、インチキするまでもない。
//したがって、通常のベクトル演算で上手く処理できないのは微分基底間の外積のみと言える。
//
////////////////////////////////////////////////////////////////////
////////////////////////////////////////////////////////////////////
//
//
//
//
////////////////////////////////////////////////////////////////
////////////////////////////////////////////////////////////////
Ch.2【多変数関数】
////////////////////////////////////////////////////////////////
§1〖関数〗
一般に、2 変数関数 f は f(x,y) と表記される。
定義域を x∈X、y∈Y、値 z と値域 Z の場合の
厳密表記を f:X×Y→Z:(x,y)→z と表そう。
定義域と値域と値が気にならない場合は、f:(x,y)と略す。
//例のように、線形結合表記では式が長くなりがちで、基底間、要素間の対応関係が分かりにくい。
//
//対して、列ベクトルでは
//と成分間の対応関係を直観的に表せるが、基底を明示できない。
//
//また、総和規約は、異なる系統の基底に対する演算が混在する、例のような式を忠実に表現するには工夫が必要
//((普通は、$$ \inte[R] F_k dx^k $$＝$$ \inte\nte[S] \ffd12\left(\ppd{F_j}{i} - \ppd{F_i}{j}\right) dx^idx^j $$のように通常基底に対する演算を済ました形で始めるため、基底の混在は回避され、困ることはない。))。
//例えば、$$ \delta_{ij} $$や$$ \epsilon_{ijk} $$のように、$$ \zeta_{ijk} $$でも作れば、$$ \inte\nte[S] \delta_{k}\epsilon_i^{jk}\ppd{F_i}{j}\zeta_{ijk}dx^kdx^l $$＝$$ \inte[R] F_k dx^k $$と書けるが、もはや「$$ \vx $$」と「$$ \sx $$」の跡形もない。
//このように、総和規約は、少い記述で形式的に計算できる意味で成分表記の頂点ではあるが、直観的ではない。
//
//以上より、高校から学んだベクトルをベクトル積分に繋げるには、
//線形結合のように基底と成分を全て書き出しながらも、列ベクトルのように直観的な表記が必要。
例1 f:(x,y)＝(2x＋3y):(x,y)
束縛変数の数が自然数個の多変数関数も同様に表せる。
例2 f:(x,y,z)＝(2x＋3y＋4z):(x,y,z)
定数を束縛変数 0 個の関数と見なすこともできる。
例3 f:()＝2:()
確認、2:() と 2:(x) は異なる関数。
////////////////////////////////////////////////////////////////
§2〖ベクトル値束縛変数〗
多変数関数の複数の束縛変数を１組の束縛変数と見なせる。
その束縛変数の組をベクトル値と呼び、(x,y) のように書こう。
今までの引数列もベクトル値と見なす。
１変数では特例として括弧を省けるものとする。
v＝(x,y) と置くと、
f:(x,y)＝f:v と書ける。
v＝(x,y)、c＝(a,b) と置くと、
f:(x,y).(a,b)＝f:(x,y).c＝f:v.c＝f:v.(a,b) と書ける。
////////////////////////////////////////////////////////////////
§3〖ベクトル値関数〗
ベクトル値を生成する関数も考えられる。
f:x、g:y について、h:(x,y)＝(f:x, g:y) と定義できる。
例 h:(x,y)＝(f:x, g:y)＝(2x:x, 3y:y) のとき、
h:(x.y).(4,5)＝(2x:x, 3y:y).(4,5) ＝(2×4, 3×5)
注意：(f:x, g:y) は h:(x,y) と書けるが、
(f:x, g:y)≠(f,g):(x,y) とする。
対して、(f,g):(x,y)＝(f:(p,q).(x,y), g(r,s).(x,y)):(x,y)と定義する。
(f,g):(x,y) は f と g が共に (x,y) に関する2変数関数を表すが、
(F:x, G:y) では F と G がそれぞれ x と y に関する1変数関数を表す。
f:(x,y)≠F(x) である。
ただ、(f:x, g:y)＝(f:p, g:q)＝(f:p.x, g:q.y):(x,y) と書くのは厳密である。
そのため、h:(x,y)＝(f:x, g:y)＝(f:p.x, g:q.y):(x,y) と書けて、
z＝(x,y)と定義すると、h:z＝h:(x,y) と書ける。
////////////////////////////////////////////////////////////////
§2〖多変数関数への定数の代入〗
1 変数関数と同様、定数を代入すると定数になる。
例1 (2x＋3y).(4,5)＝2×4＋3×5＝23
////////////////////////////////////////////////////////////////
§3〖多変数関数への変数の代入〗
1 変数関数と同様、変数を代入すると変数になる。
例1 (2x＋3y).(A,B)＝2A＋3B
なお、一部の束縛変数に定数を代入しても、
１つでも変数が含まれば関数値は変数になる。
例2 (2x＋3y).(A,5)＝2A＋3×5＝2A＋15
////////////////////////////////////////////////////////////////
§4〖多変数関数への関数の代入〗
1 変数関数と同様、関数を代入すると関数になる。
例1 (2x＋3y).(4u:u,5v:v)
＝2(4u:u)＋3(5v:v)
＝8u:u＋15v:v
＝(8u＋15v):(u,v)
＝(8x＋15y):(x,y)
なお、一部の束縛変数に定数を代入しても、
１つでも関数が含まれば関数値は関数になる。
例2 (2x＋3y).(4u:u,5)
＝2(4u:u)＋3×5
＝8u:u＋15
＝(8u＋15):(u)
＝(8x＋15):(x)
注意、代入する関数の束縛変数を揃えて書いても、
関数の束縛変数の任意性により、異なる変数と見なす。
例3 (2x＋3y).(4w:w,5w:w)＝(2x＋3y).(4u:u,5v:v)
そこで、共通の束縛変数を表すのに、
多関数値関数を (4w, 5w):w のように表す。
例4 (2x＋3y).((4w, 5w):w)
＝(2(4w)＋3(5w)):w
＝(8w＋15w):w
＝23w:w
////////////////////////////////////////////////////////////////
////////////////////////////////////////////////////////////////
Ch.3 【微分】
////////////////////////////////////////////////////////////////
§1〖１変数関数の微分係数〗
一般に、１変数関数 f(x)の x＝A における微分係数は
f'(A)＝ lim_{o→0} {f(A＋o)−g(A)}/o と定義される。
他にも f'(A)＝ ∂f(A)/∂x ＝ ∂f(x)/∂x|_{x=A} と表記される。
A が定数であるとき、f'(A) は何者になるのか。
結論から言うと、f'(A)は存在すれば定数になる。
o は lim の束縛変数である。
f(A＋o) は関数への変数の代入で変数となる。
f(A)は関数への定数の代入で定数となる。
{f(A＋o)−g(A)}/o は o を含むために変数になるが、
lim の計算結果として o が消えてなくなり、定数と化す。
以上を踏まえて、微分係数の定義を厳密表記に書き換えると、
f:x の点 A における微分係数は、
f'(A)＝lim_{o→0} {f:x.(A＋o)−f:x.A}/o
既存の微分表記も情報が足りないため、
便宜的に ∇:(g:n, m).(f:x, A) と表そう。
∇:(g:n, m) は 2 変数関数となるが、
第1束縛変数には1変数関数を取る。
束縛した関数が代入される定義となっていて、
定数を代入すれば結果は定数値になる。
微分係数の定義式は以下に表現できる。
∇:(g:n, m)
＝(lim_{o→0} {g:n.(m＋o)−g:n.m}/o):(g:n, m)
例示1、
∇:(g:n, m).(x², 3)
＝(lim_{o→0} {g:n.(m＋o)−g:n.m}/o):(g:n, m).(x², 3)
＝ lim_{o→0} {x².(3＋o)−x².3}/o
＝ lim_{o→0} {(3＋o)²−3²}/o
＝ lim_{o→0} {3²＋6o＋o²−3²}/o
＝ lim_{o→0} (6＋o)
＝ 6
////////////////////////////////////////////////////////////////
§2〖１変数関数の常微分（＝導関数）〗
一般に、１変数関数 f(x) の常微分は
f'(x) ＝ lim_{o→0} {f(x＋o)−f(x)}/o と定義される。
常微分は導関数とも呼ばれる。
微分係数との違いは、定数を動かして変数としている点である。
その結果、常微分の結果は関数となる。
厳密表記では、まず定数 A を自由変数 V に変えた表現が考えられる。
すなわち、f:x の常微分を ∇:(g:n, p).(f.x, V) と表す。
この表記では、結果に V が残って変数になる。
区別のため、これを便宜的に変数常微分または導変数と呼ぶ。
例示１、
∇:(g:n, p).(x², V)
＝(lip_{o→0} {g:n.(p＋o)−g:n.p}/o):(g:n, p).(x², V)
＝ lip_{o→0} {x².(V＋o)−x².V}/o
＝ lip_{o→0} {(V＋o)²−V²}/o
＝ lip_{o→0} {V²＋2Vo＋o²−V²}/o
＝ lip_{o→0} (2V＋o)
＝ 2V
次に、定数 A を関数 v:v に変えた表現も考えられる。
すなわち、f:x の常微分を ∇:(g:n, p).(f.x, v:v) と表す。
この表記では、結果に v:v が残って関数になる。
区別のため、これを便宜的に関数常微分または導関数と呼ぶ。
例示２、
∇:(g:n, p).(x², v:v)
＝(lip_{o→0} {g:n.(p＋o)−g:n.p}/o):(g:n, p).(x², v:v)
＝ lip_{o→0} {x².(v:v＋o)−x².(v:v)}/o
＝ lip_{o→0} {(v:v＋o)²−(v:v)²}/o
＝ lip_{o→0} {(v:v)²＋2(v:v)o＋o²−(v:v)²}/o
＝ lip_{o→0} (2v:v＋o)
＝ 2v:v
＝ 2x:x
通常表記では変数と関数を区別せずに表記するため、
厳密表記では２通りの表現に分かれる。
また、通常では導関数を関数と見なすため、
以後では断らない限り関数常微分で考える。
////////////////////////////////////////////////////////////////
§3〖２変数関数の偏微分係数〗
一般に、２変数関数 f(x,y) の x＝A、y＝B における偏微分係数は、
以下の通りに x と y の２つの方向に関して別々に定義される。
f'_x(A,B) ＝ lim_{o→0} {f(A＋o,B)−f(A,B)}/o
f'_y(A,B) ＝ lim_{o→0} {f(A,B＋o)−f(A,B)}/o
偏微分関数に関して、以下の捉え方ができる。
////////////////////////////////
¶1〔微分対象外の変数を定数と見なす〕
f'_x と f'_y の違いは f(A＋o,B) と f(A,B＋o) の違いとなる。
この場合、x と y は o を加える束縛変数を表す。
逆に、f'_x は「 x 以外の束縛変数を定数と見なして微分する」解釈が行われる。
この解釈に忠実に厳密表記に書くと、
x 以外の束縛変数を定数と見なすというのは、1変数関数化であり、
定数と見なすというものの、あとで束縛変数に戻すので、
厳密表記で区別される変数と見なせる。
すなわち、
f'_x(A,B) ＝ lim_{o→0} {f(A＋o,B)−f(A,B)}/o
は
∂:(g:(m,n), (i:i,j), (p,q))
＝{lim_{o→0} {[g:(m,n).(i:i,j)].(v＋o)−[g:(m,n).(i:i,j)].(v)}/o}:[(i:i,j).v].(p,q):[g:(m,n), (i:i,j), (p,q)]
しかし、これを単純に ∂:(g:(p,q),s,(a,b)).(f:(x,y),x,(3,4)) とは書けない。
f:(x,y) は関数表記として完結していて、
f:(x,y)＝f:(u,v)＝f:(y,x) のように束縛変数は任意である。
(f:(x,y),x,(3,4))と書いても、外部から特定の束縛変数を参照すべきでない。
そのため、先に自由関数と自由変数を代入して１変数関数に変えてから微分し、
後で再び 2 変数関数に戻してから、定数を代入する手順に分解できる。
f:(x,y).(i:i,j)＝(f:(x,y).(i,j)):i で 2 変数関数 f:(x,y) を 1 変数関数に変換している。
この際、i は :i の指定により束縛変数となり、束縛指示無しの j は自由変数となる。
f:(x,y).(i:i,j):i.(v＋o) と f:(x,y).(i:i,j):i.(v) は v や o に連動する変数となる。
:[(i:i,j).v] は束縛表記であり、束縛すべき(v,j)を (i:i,j) と v から形式的に計算している。
結果は (i:i,j).v＝(i,j):i.v＝(v,j)
.(p,q) は代入による変数化であり、
結果的に :[g:(m,n), (i:i,j), (p,q)] にある (p,q) で再束縛するので、
単なる名前の整理と思って良い。
例：
∂:(g:(m,n), (i:i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(k:k,l),(4,5))
＝{lim_{o→0} {[g:(m,n).(i:i,j)].(v＋o)−[g:(m,n).(i:i,j)].(v)}/o}:[(i:i,j).v].(p,q):[g:(m,n), (i:i,j), (p,q)].(x²y³:(x,y),(k:k,l),(4,5))
＝{lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).(k:k,l)].(v＋o)−[x²y³:(x,y).(k:k,l)].(v)}/o}:[(k:k,l).v].(4,5)
＝{lim_{o→0} {(k:k)²l³.(v＋o)−(k:k)²l³.(v)}/o}:(v,l).(4,5)
＝{lim_{o→0} {k²l³:k.(v＋o)−k²l³:k.v}/o}:(v,l).(4,5)
＝{lim_{o→0} {(v＋o)²l³−v²l³}/o}:(v,l).(4,5)
＝{lim_{o→0} {(v²＋2vo＋o²−v²)l³}/o}:(v,l).(4,5)
＝{lim_{o→0} (2v＋o)l³}:(v,l).(4,5)
＝2vl³:(v,l).(4,5)
＝2×4×5³＝2³×5³
＝1000
対して、
f'_y(A,B) ＝ lim_{o→0} {f(A,B＋o)−f(A,B)}/o
は
∂:(g:(m,n), (i,j:j), (p,q))
＝{lim_{o→0} {[g:(m,n).(i,j:j)].(v＋o)−[g:(m,n).(i,j:j)].(v)}/o}:[(i,j:j).v].(p,q):[g:(m,n), (i,j:j), (p,q)]
例：
∂:(g:(m,n), (i,j:j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(k,l:l),(4,5))
＝{lim_{o→0} {[g:(m,n).(i,j:j)].(v＋o)−[g:(m,n).(i,j:j)].(v)}/o}:[(i,j:j).v].(p,q):[g:(m,n), (i,j:j), (p,q)].(x²y³:(x,y),(k,l:l),(4,5))
＝{lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).(k,l:l)].(v＋o)−[x²y³:(x,y).(k,l:l)].(v)}/o}:[(k,l:l).v].(4,5)
＝{lim_{o→0} {k²(l:l)³.(v＋o)−k²(l:l)³.(v)}/o}:(k,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {k²l³:l.(v＋o)−k²l³:l.v}/o}:(k,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {k²(v＋o)³−k²v³}/o}:(k,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {k²(v³＋3v²o＋2vo²＋o³−v³)}/o}:(k,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {k²(3v²＋2vo＋o²)}/o}:(k,v).(4,5)
＝3k²v²:(k,v).(4,5)
＝3×4²×5²
＝1200
ここで、2つの偏微分係数の第2束縛が異なるため、統一した記述を考える必要がある。
f'_x 〜 ∂:(g:(m,n), (i:i,j), (p,q))
f'_y 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j:j), (p,q))
そこで、(i,j):u として u∈{i,j}と定義し、これを束縛子と呼ぶ。
束縛子を使えば、
偏微分演算子を∂:(g:(m,n), (i,j):u, (p,q)) と統一的に記述でき、
f'_x(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):u, (p,q)).(f(x,y), (i,j):i, (A,B))
f'_y(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):u, (p,q)).(f(x,y), (i,j):j, (A,B))
と書ける。
具体的な定義は
∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q))
＝{lim_{o→0} {[g:(m,n).((i,j):s)].(v＋o)−[g:(m,n).((i,j):s)].(v)}/o}:[(i,j):s.v].(p,q):[g:(m,n), (i,j):s, (p,q)]
例：
∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(x²y³:(x,y),(k:k,l),(4,5))
＝{lim_{o→0} {[g:(m,n).((i,j):s)].(v＋o)−[g:(m,n).((i,j):s)].(v)}/o}:[(i,j):s.v].(p,q):[g:(m,n), (i,j):s, (p,q)].(x²y³:(x,y),(k,l):k,(4,5))
＝{lim_{o→0} {[g:(m,n).(i,j)]:s.(v＋o)−[g:(m,n).(i,j)]:s.(v)}/o}:[(i,j):s.v].(p,q):[g:(m,n), (i,j):s, (p,q)].(x²y³:(x,y),(k,l):k,(4,5))
＝{lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).((k,l):k)].(v＋o)−[x²y³:(x,y).((k,l):k)].(v)}/o}:[(k,l):k.v].(4,5)
＝{lim_{o→0} {k²l³:k.(v＋o)−k²l³:k.v}/o}:(v,l).(4,5)
＝…
＝1000
∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(x²y³:(x,y),(k:k,l),(4,5))
＝{lim_{o→0} {[g:(m,n).((i,j):s)].(v＋o)−[g:(m,n).((i,j):s)].(v)}/o}:[((i,j):s).v].(p,q):[g:(m,n), (i,j):s, (p,q)].(x²y³:(x,y),(k,l):l,(4,5))
＝{lim_{o→0} {[x²y³:(x,y).((k,l):l)].(v＋o)−[x²y³:(x,y).((k,l):l)].(v)}/o}:[(k,l):l.v].(4,5)
＝{lim_{o→0} {k²l³:l.(v＋o)−k²l³:l.v}/o}:(k,v).(4,5)
＝…
＝1200
////////////////////////////////
¶2〔偏微分の違いを方向の違いと捉える〕
f'_x と f'_y の違いは f(A＋o,B) と f(A,B＋o) の違いである。
f(A＋o,B)＝f((A,B)＋(o,0))、
f(A,B＋o)＝f((A,B)＋(0,0))と見れば、
偏微分の違いは加える微小量(o,0)と(0,o)の違いとなる。
これを偏微分演算子に反映すると、
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)) と統一的に記述できる。
具体的な定義は、
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q))
＝{lim_{o→0} {g:(m,n).((u,v)+ o(i,j))−g:(m,n).(u,v)}/o}:(u,v).(p,q):(g:(m,n), (i,j), (p,q))
それぞれの対応は、
f'_x(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (1,0), (A,B))
f'_y(A,B) f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (0,1), (A,B))
例
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(1,0),(4,5))
＝{lim_{o→0} {g:(m,n).((u,v)+ o(i,j))−g:(m,n).(u,v)}/o}:(u,v).(p,q):(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(1,0),(4,5))
＝{lim_{o→0} {x²y³:(x,y).((u,v)+ o(1,0))−x²y³:(x,y).(u,v)}/o}:(u,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {x²y³:(x,y).(u＋o,v)−x²y³:(x,y).(u,v)}/o}:(u,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {(u＋o)²v³−u²v³}/o}:(u,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {(u²＋2uo＋o²−u²)v³}/o}:(u,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {(2u＋o)v³}/o}:(u,v).(4,5)
＝2uv³:(u,v).(4,5)
＝2×4×5³
＝1000
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(0,1),(4,5))
＝{lim_{o→0} {g:(m,n).((u,v)+ o(i,j))−g:(m,n).(u,v)}/o}:(u,v).(p,q):(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(x²y³:(x,y),(0,1),(4,5))
＝{lim_{o→0} {x²y³:(x,y).((u,v)+ o(0,1))−x²y³:(x,y).(u,v)}/o}:(u,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {x²y³:(x,y).(u,v＋o)−x²y³:(x,y).(u,v)}/o}:(u,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {u²(v＋o)³−u²v³}/o}:(u,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {u²(v³＋3v²o＋3vo²＋o³−v³)}/o}:(u,v).(4,5)
＝{lim_{o→0} {u²(3v²＋3vo＋o²)}/o}:(u,v).(4,5)
＝3u²v²:(u,v).(4,5)
＝3×4²×5²
＝1200
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)) の (i,j) に対する代入に関して、(0,1)と(0,1)以外も考えられる。
一般に、w＝(cosθ,sinθ)を代入すると、l方向への方向微分となる。
////////////////////////////////
¶3〔偏微分の違いを勾配の成分違いと捉える〕
一般に、2変数関数について、
両方の偏微分からなるベクトルを勾配と定義する。
定義より、偏微分は勾配の成分となる。
∇f(x,y)＝[f'_x(x,y), f'_y(x,y)]
f'_x(x,y)＝[f'_x(x,y), f'_y(x,y)]・[1,0]＝∇f(x,y)・[1,0]＝[∇f(x,y)]_x
f'_y(x,y)＝[f'_x(x,y), f'_y(x,y)]・[0,1]＝∇f(x,y)・[0,1]＝[∇f(x,y)]_y
厳密表記では
∇:(g:(m,n), (p,q))
＝[∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(g:(m,n), (1,0), (p,q)), ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(g:(m,n), (0,1), (p,q))]:(g:(m,n), (p,q))
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f:(x,y), (1,0), (A,B))＝∇:(g:(m,n), (p,q)).(f:(x,y), (A,B))・(1,0)
∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f:(x,y), (0,1), (A,B))＝∇:(g:(m,n), (p,q)).(f:(x,y), (A,B))・(0,1)
決まった２方向の偏微分となるので、勾配∇自体の束縛には方向の指定が含まれない。
この勾配が、１変数関数の常微分に相当する。
§4〖分数形微分表記の分母が表す情報〗
一般に、f(x,y) の x に対する偏微分を ∂f(x,y)/∂x と書く。
以下に、偏微分演算子 ∂/∂x の各厳密表記における解釈を考える。
////////////////////////////////
¶1〔微分対象外の変数を定数と見なす〕
(∂/∂x)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(f:(x,y), (i,j):i, (x,y))
(∂/∂y)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j):s, (p,q)).(f:(x,y), (i,j):j, (x,y))
多変数関数を１変数関数に変換する考え方になるので、
∂/∂x で残す唯一の変数を指定していることになる。
f(x,y) は関数と束縛変数を指定し、結果も関数で同じ束縛変数を使う。
f(4,5) は関数を指定するが、束縛変数の個数が形から分かるが、(x,y)なのは文脈判断となる。
∂/∂x は関数の束縛変数を名指して参照していることになる。
ただ、束縛変数の値には参照せず、メタ的に参照する束縛変数と他の束縛変数を区別するための参照となる。
////////////////////////////////
¶2〔偏微分の違いを向きの違いと捉える〕
(∂/∂x)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (1,0), (x,y))
(∂/∂y)f(x,y) 〜 ∂:(g:(m,n), (i,j), (p,q)).(f(x,y), (0,1), (x,y))
////////////////////////////////////////////////////////////////
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Ch.3 【微分表記の情報量】
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§1 演算子形
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