/教育多項式【執筆中】
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* 概要 [#l5264d7b]
;,2016年現在、中学校・高校でいう「多項式」と、数学で扱う「多項式」の意味が異なっている。
;,昔から気づいていたものの、大した害も無かろうと高を括っていた。
;,しかし、こういうのが、中学校・高校と大学の壁に繋がる。
;,例えば、現行の教科書では以下の定義が良く用いられる：
- 数や文字についての乗法だけでつくられた式を''単項式''という。
- 単項式の和の形で表された式を''多項式''という。
;,この定義を指して、「単項式は多項式に含まれない」と解釈する人((生徒も含まれるが、先生も含まれる！))が存在する。
;,しかし、数学では「単項式は多項式に含まれる」とする習慣があり、２つの「多項式」は似て非なるもの。
;,そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。
;,また、関連して「単項式」「項」「整式」や英語の「monomial」「polynomial」「multinomial」や「term」も範囲とした。
;,調査結果を以下に綴る。
;,&font(#C00){※量が多いため、ページ分割する可能性があります。その場合でも、このページのURLは不変とします。};
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** 目次 [#b71981cf]
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* 日本の中学校教科書 [#kb78a912]
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*** 東書2015#28：『新編 新しい数学』 1/2/3 [#w92b4a22]
- 出版：東京書籍、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 728/828/928
;,数2のP10にて
> $$ 2a $$や$$ 2x $$，\frac13a^2 $$などのように，
> 数や文字についての乗法だけでつくられた式を''単項式''という。
< 補足として、文字や数との包含関係を明記している：
> １つの文字や１つの数，たとえば，$$ x $$や$$ -5 $$なども単項式と考える。
<対して、多項式は以下と定義し、単項式との包含関係は明記されてない。
> また，$$ 2a $ + $ 2\pi r $$や$$ 3x $ + $ 10$$，$$ 3a^2 $ + $ 4ab $ + $ 1 $$などのように，
> 単項式の和の形で表された式を''多項式''といい，
> そのひとつひとつの単項式を，多項式の''項''という。
;,さらに、続けて記される例１にも注目すべき。
;,例１では、「単項式の和の形」になってない式を「単項式の和の形」に表せること、
;,つまり変形できることを、多項式である否かを判断する根拠としている。
> 例１ $$ 3x^2 $ - $ 2x $ - $ 5 $$の項を考えて見よう。
> $$ 3x^2 $ - $ 2x $ - $ 5 $$は$$ 3x^2 $ + $ ( $ -2x $ ) $ + $ ( $ -5 $ ) $$と単項式の和の形で表せるから，多項式であり，
> その項は$$ 3x^2 $$，$$ -2x $$，$$ -5 $$
<この考え方を単項式$$ 2a $$に適応していけば、
;,「$$ 2a $$は$$ a + a $$」と単項式の和で表せるから、多項式である」と言える。
;,このため、東京書籍の教科書の文面では、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。
;,数3のP12には「展開する」が定義されている：
> 単項式や多項式の積の形の式を，かっこうをはずして単項式の和の形に表すことを，
> はじめの式を''展開する''という。
< まず、「単項式や多項式の積の形の式」は''式の形''に関する表現と読める。
;,次に、「単項式や多項式」は、単項式を多項式に含ませない考え方への配慮とも取れる。
;,他方、「単項式の和の形」は''式の形''の表現であり、「多項式」と書かない理由勘ぐらせる((「多項式」が表記ではなく式という解釈であれば、「多項式」では形が決まらないため、形を記述する文脈では不適切となる。その結果、「単項式の和の形」という表記が至って適切な表記となる。))。
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*** 日文2015#35：『中学数学』1/2/3 [#u6e1adf4]
- 出版：日本文教出版、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 735/835/935
;,数2のP12に単項式、多項式と項が定義されている：
> $$ 4x $$や$$ ab $$，$$ x^2 $$のように，
> 数や文字についての乗法だけでできている式を''単項式''といいます。
> $$ x $$や$$ -1 $$のような，
> １つの文字や１つの数も，単項式と考えます。
<
> 一方，$$ 2x+1 $$のように，
> ２つ以上の単項式の和の形で表される式を''多項式''といい，
> １つ１つの単項式$$ 2x $$，$$ 1 $$を，多項式$$ 2x+1 $$の''項''といいます。
<
> $$ x $ - $ 1 $ = $ x $+ $ (-1) $$だから，$$ x $ - $ 1 $$も多項式です。
<多項式の定義に「２つ以上の単項式」とあるため、単項式を多項式に含めない立場と勘ぐれる。
;,しかし、$$ x $ - $ 1 $$を多項式と判定する理由に$$ x $ - $ 1 $ = $ x $+ $ (-1) $$を使うため、
;,同じ論法で、「$$ 4x $ = $ x $ + $ 3x $$だから，$$ 4x $$も多項式です。」と言えてしまう。
;,このため、日本文教出版の教科書では、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。
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*** 数研2015#34：『改訂版 中学校 数学』 1/2/3 [#m8ea6a5e]
- 出版：数研出版、2015、教科書センター見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 734/834/934
;,数2のP16で、単項式、多項式と項が定義されている。
> $$ x^2 $$，$$ 3x $$のように，数や文字をかけ合わせてできる式を''単項式''という。
> $$ a $$，$$ -8 $$のように，１つの文字や数字も単項式である。
<
> また，$$ x^2 $ + $ 3 $$のように，単項式の和の形で表される式を多項式といい，
> その１つ１つの単項式を，多項式の''項''という。
;,直後の例１で多項式の判定方法が与えられる：
> $$ 2x^2 $ - $ 7x $ + $ + $ 4 $$は，$$ 2x^2 $ + $ ($ -7x $) $ + $ 4 $$と書けるから，
> ３つの項
> $$ 2x^2 $$， $$ -7x $$， $$ 4 $$
> からできる多項式である。
< 同じ論法で、
;,「$$ 3x $$は$$ x $ + $ 2x $$と書けるから，２つの項$$ x $$と$$ 2x $$からできる多項式である」と言えてしまう。
;,このため、数研出版の教科書では、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。
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*** 啓林館2015#32：未来へひろがる 数学 1/2/3 [#z52881a1]
- 出版：啓林館、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 732/832/932
;,数2のP15で単項式、多項式と項が定義されている：
> $$ 3a $$，$$ xy $$，$$ p $$のように，
> 数や文字についての乗法だけでできている式を，''単項式''といいます。
> $$ c $$や$$ 500 $$のような，１つの文字や１つの数も単項式と考えます。
<
> また，$$ 10a $ + $ 2b $$のように，
> 単項式の和の形で表された式を''多項式''といい，
> １つ１つの単項式$$ 10a $$，$$ 2b $$を，多項式$$ 10a $ + $ 2b $$の''項''といいます。
;,他の教科書と異なるのは、例１は多項式の判定として機能せず、あくまでも項の判定に留めている：
> $$ 3a^2 $ - $ 2a $ + $ 1 $$は，$$ 3a^2 $ + $ ($ -2a $) $ + $ 1 $$と書けるから，
> 多項式$$ 3a^2 $ - $ 2a $ + $ 1 $$の項は，$$ 3a^2 $$，$$ ($ -2a $) $$，$$ 1 $$
;,このため、啓林館の教科書では、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈しても、直ちに矛盾が生じることは無い。
;,数3のP16では、「展開する」が定義されている：
> このように，積の形で書かれた式を計算して，和の形で表すことを，もとの式を''展開''するといいます。
< 同じ数3のP24では、「因数分解」が定義されている：
> $$ (a+3) $ (a-3) $$は，展開すると$$ a^2 $ - $ 9 $$になります。
> これを逆にみると，$$ a^2 $ - $ 9 $$は，次のように積の形に表されます。
> $$ a^2 $ - $ 9 $ = $ (a+3) $ (a-3) $$
<
> このとき，整数の場合と同じように，$$ (a+3) $$，$$ (a-3) $$を$$ a^2 $ - $ 9 $$の''因数''といいます。
<
> また，多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，
> その多項式を''因数分解''するといいます。
< このように、展開では「多項式」ではなく「和の形」としながらも、
;,因数分解では「多項式」が用いられ、「多項式」の用法が確認できない。
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*** 教出2015#31：中学数学 1/2/3 [#q6dfb8b6]
- 出版： 教育出版、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 731/831/931
;,数１のP29で数に関して「項」が定義されている：
> 加法だけの式のそれぞれの数を，その式の''項''という。
;,数１のP71で１次式に関して「項」が定義されている：
> 式$$ 5x $ - $ 7 $$や，$$ 5x $ + $ ($-7$) $$と表すことができる。
> このとき，加法の記号$$ + $$で結んだ$$ 5x $$と$$ -7 $$を，その式の''項''という。
;,数２のP12とP13で単項式、多項式、定数項が定義されている：
> 文字を使った式が書かれたカードを，式の形に着目して，下のＡ，Ｂに分類しました。
> 同じように㋐〜㋒のカードを，Ａ，Ｂに分類してみましょう。
> Ａ： $$ 25x $$ $$ 2x^2 $$ $$ ab $$ $$ \frac x2 $$
> Ｂ： $$ 6a $ - $ b $ + $ 5 $$ $$ 2x $ - $ 2x $ - $ 5 $$ $$ 100x $ + $ 20 $$
> ㋐： $$ 100x $ + $ y $$
> ㋑： $$ 3a $$
> ㋒： $$ 5mn $ - $ 3 $$
<
> Ａに分類された$$ 25x $$や$$ ab $$のように，項が１つだけの式を''単項式''という。
<
> 単項式は，数や文字の積の形だけでつくられた式とみることができる。
> また，$$ x $$のような１つだけの文字，$$ -2 $$のような１つだけの数も単項式である。
<
> Ｂに分類された$$ 6a $ - $ b $ + $ 5 $$のように，項が２つ以上ある式を''多項式''という。
<
> 多項式は，単項式の和の形とみることができる。
<
> 多項式で，数だけの項を''定数項''という。
;,「式の形」に着目した分類について、項の数を数えて単項式と多項式を定義しているのが分る。
;,また、根拠を明示して単項式と多項式を分類する例題は存在しない。
;,代わりに、「たしかめ１」で分類結果が示される：
> たしかめ１ 次の式を単項式と多項式に分けなさい。
> また，多項式については，その項をいいなさい。
> ㋐ $$ 5a $ - $ 2 $$ ㋑ $$ -4xy $$ ㋒ $$ 3x $ + $ y $ - $ 6 $$
> ㋓ $$ 2a $$ ㋔ $$ \frac12a $ - $ b $ - $ \frac13 $$ ㋕$$ x^2 $ - $ 3x $ + $ 5 $$
&font(#00C){【TOOD】教出２のP281を撮れ};
;,このため、教育出版の教科書では、
;,「単項式は多項式に含まれる」と解釈できない。
;,数３のP15では展開が定義されている：
> 単項式や多項式の積の形で表された式を計算して単項式の和の形に表すことを，
> もとの式を''展開''するという。
< 式の形に関する表現として「積の形」や「和の形」が用いられ、
;,「単項式の和の形」と等価なはずの「多項式」が用いられず、細かく表現されている。
;,「単項式や多項式」という表現は、両方を合わせた用語が欠けてるための表現と推測できる。
;,数3のP24では因数分解が定義されている：
> １つの式がいくつかの式の積の形に表されるとき，かけ合わされた１つ１つの式を，
> もとの式の因数という。
<
> 多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，もとの式を因数分解するという。
;,興味深い運用として、因数の積を因数と見なす考え方を明記している：
> たとえば，$$ x+1 $$，$$ x+3 $$は$$ x^2 $ + $ 4x $ + $ 3 $$の因数である。
> また，$$ 5xy $$では$$ 5 $$，$$ x $$，$$ y $$，$$ 5x $$などが因数で，
> $$ 3a $ (a+2) $$では$$ a $$，$$ 3(a+2) $$などが因数である。
;,教育出版の教科書では、索引で英語が併記されている：
;,数１
#code(nonumber){{{
項 term ………………… 24, 71
}}}
数２
#code(nonumber){{{
多項式 polynomial ………………… 13
単項式 monomial ………………… 13
定数項 constant term ………………… 13
同類項 similar terms / like terms … 15
}}}
数３
#code(nonumber){{{
因数 factor ………………… 24, 32
因数分解 factorization ………………… 24
展開 expansion ………………… 12
}}}
;,以上より、教育出版の教科書では、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈していて、共に式の表記に関する定義と言える。
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*** 学図：中学校 数学 1/2/3 [#u0238aec]
- 出版：学校図書、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 730/830/930
;,数１のP31では加法の式について項が定義されている：
> 加法の式$$ ($ +2 $) $ + $ ($ -5 $) $ + $ ($ +4 $) $$で，
> 加法の記号$$ + $$で結ばれた$$ +2 $$，$$ -5 $$，$$ +4 $$を，この式の''項''という。
;,数１のP75で文字式についての項が定義されている：
> Ｑの(1)で，面積の差は$$ 3a $ - $ 7 $$と表すことができ，
> 加法の記号$$ + $$を使うと，$$ 3a $ + $ ($ -7 $) $$と表すこともできる。
<
> このとき，$$ 3a $$，$$ -7 $$を，この式の''項''という。
;,数２のP14で単項式、多項式、定数項が定義されている：
> Ｑの$$ 4x $$や$$ xy $$のように，数や文字をかけ合わせた形の式を''単項式''という。
> $$ y $$や$$ -6 $$のように，１つの文字や１つの数も単項式と考える。
<
> また，$$ 10x $ + $ 20 $$や$$ 2x $ + $ 2y $$のように，
> 単項式の和の形で表された式を''多項式''といい，
> それぞれの単項式を，その多項式の項という。
<
> 多項式で，数だけの項を''定数項''という。
< 単項式の定義から、「かけ合わせた形の式」と言っても、
;,$$ y $$や$$ -6 $$のような１つの因数しかなく、形式的にかけ合わせてない形の式も含まれる考えが覗える。
;,数３のP16では展開が定義されている：
> 単項式と多項式や，多項式どうしの積の形をした式のかっこをはずして，
> 単項式の和の形に表すことを，もとの式を''展開''するという。
< 数３のP22では因数分解への導入として、用語が欠けているための長い記述がある：
> 式の展開とは逆に，多項式を，単項式や多項式の積の形に直せるのかな？
< 数３のP28では因数分解が定義されている：
> 多項式の中には，いくつかの式の積の形で表すことができるものがある。
> たとえば，前ページのＱの(1)，(2)から，次の式が成立つことがわかる。
> $$ x^2 $ + $ 3x $ = $ x $ ($ x+3 $) $$ ��
> $$ x^2 $ + $ 3x $ + $ 2 $ = $ ($ x+1 $) $ + $ ($ x+2 $) $$ ��
<
> このように，多項式をいくつかの単項式や多項式の積の形で表すとき，
> 一つひとつの式をもとの多項式の因数という。
<
> たとえば，�，�$$ x $$，$$ x+2 $$は，多項式$$ x^2 $ + $ 3x $$の因数であり，
> �△�$$ ($ x+1 $) $$，$$ ($ x+2 $) $$は，多項式$$ x^2 $ + $ 3x $ + $ 2 $$の因数である。
<
> 多項式をいくつかの因数の積の形で表すことを，その多項式を''因数分解''するという。
//【TOOD】図を貼る 単項式の和の形、因数の積の形
;,以上より、教育出版の教科書では、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈していて、共に式の表記に関する定義と言える。
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*** 大日本2015#29：新版 数学の世界 [#g7c25093]
- 出版：大日本図書、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 729/829/929
;,数１のP76では文字式に関しての項が定義されている：
> 式$$ 3x $ - $ 2 $$は，加法の記号$$ + $$を使うと，次のように表せます。
> $$ 3x $ - $ ($ -2 $) $$
> このとき，$$ 3x $$，$$ -2 $$を，それぞれ式$$ 3x $ - $ 2 $$の''項''といいます。
;,数２のP10では単項式と多項式、定数項が定義されている：
> $$ 4a $$，$$ x^2 $$、$$ -2 $$，$$ ab $$などのように，
> 項が１つだけの式を''単項式''という。
<
> $$ a^2 $ - $ 9 $$，$$ x^2 $ - $ 3x $ - $ 2 $$などのように，
> 項が２つ以上ある式を''多項式''という。
<
> 多項式，単項式の和とみることができる。
> また，多項式の項で，$$ -9 $$や$$ -2 $$のように文字をふくまない項を''定数項''という。
//【TODO】Q1の答えを調べる
;,数３のP13では展開が定義されている：
> 単項式と多項式との積や，多項式と多項式との積の形をした式を１つの多項式に表すことを，
> もとの式を''展開する''という。
< 単項式を多項式に含めない立場のため、積の形に関する記述が煩雑になる一方で、
;, 展開結果を「１つの多項式」と簡潔に記述している。
;,数３のP26では因数が定義されている：
> &font(bg#111,#FFF){ 1 }; のように，１つの式をいくつかの単項式や多項式の積の形に表すとき，
> その１つ１つの式を，もとの式の''因数''という。
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** 高校教科書での定義 [#s2bb7e47]
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* 代数学教科書での定義 [#wf47a435]
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***[共立2000]：『共立講座 21世紀の数学�� 代数と数論の基礎』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614)) [#v7b17a6b]
- 著者：中島 匠一、共立出版 2000年11月25日 初版1刷発行
;,『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
;, P102、§2.3.1「1変数の多項式環」にて「多項式」を以下のように定義している：
> $$ R $$を環とする。$$ R $$の元を係数とする変数$$ T $$の''多項式''(polynomial)とは
> $$ f(T) $ = $ a_n $ T^n $ + $ a_{n-1} $ T^{n-1} $ + $ \cdots $ + $ a_1 $ T $ + $ a_0 $$（$$ n \geq 0 $,$ a_0 $,\cdots,$ a_n $ \in $ R $$） (2.7)
> という式のことである。
;,$$ f(T) $$の$$ j $$次の係数(coefficient of degree $$ j $$)や定数項(constant term)を定義した後、
;,以下のように補足し、多項式の特例として定数多項式を定義している：
> (2.7)は$$ f(T) $ = $ \sum_{j=0}^n $ a_j $ T^j $$
> とも表せる。ここで$$ n = 0 $$の場には$$ f(T) $ = $ a_0 $$（$$ \in $ R $$）となり
> 変数$$ T $$が登場しないが，これも多項式とみなす（定数多項式）。
;,同様に、多項式の特例として、単項式を以下のように定義している：
> (2.7)に現れる１つ１つの項$$ a_j $ T^j $$は''単項式''(monomial)と呼ばれる。
> 「単項式」をいくつか足し合わせてできるものが「多項式」というわけである。
> ただし，(2.7)で項が１つだけの場合（すなわち，単項式）も多項式とみなすのが数学の習慣であるので，
> 誤解のないように。
;,その上で、わざわざ脚注25)を加えている：
> １つしかないものに「多」という言葉は使わないのが“日常語”の常識だろうが、
> そうすると(2.7)を見たときにいちいち“単項式または多項式”と言わねばならず，非常に不便である。
> それで，単項式も多項式に含めておくほうが得策だ，というわけである。
;,『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める：
- 多項式は変数$$ T $$に関する式である。
- その「式」とは、式(2.7)そのものである。
- 「式そのもの」とは、式(2.7)に対し、式として等価な全ての式が「多項式」と呼べることを意味する。
;,その結果、定数多項式も単項式も自ずと多項式に含まれる。
;,このような数学書を読めるためには、以下の事実を知る必要がある：
- 「多」が付くからって必ずしも「２以上」を意味するとは限らない。
- 「いくつか」と書いたからって「１つや０つでなく２つ以上』とは限らない。
- 式(2.7)で定義されても、(2.7)にそっくりな形＝同じ記号列であるとは限らない。
//((記号列の定義であれば、「表記の分類である」と明言する必要がある。))。
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***[日評2009]：『代数入門』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81-%E3%82%A4%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BBR/dp/4535784000/ref=sr_1_7?s=books&ie=UTF8&qid=1459374770&sr=1-7&keywords=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80)) [#g413077f]
- 訳者：蟹江 幸博((書面印字では「蟹」は「鮮」の下に「虫」。))、日本評論社、2009年8月15日 第1版第1刷発行
- 英語版：“Discourses on Algebra”((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/Discourses-Algebra-Universitext-Igor-Shafarevich-ebook/dp/B000PY49O4/ref=sr_1_3?s=digital-text&ie=UTF8&qid=1459374941&sr=1-3))
-- 著者：Igor R. Shafarevich、Springer出版 2003年
;,“Discourses on Algebra”はロシアで書かれた大学用教科書である((本人は序文で「本書を教科書であると言うつもりはない。」とは言っているが、英語版は間違いなくSpringerのUniversitextに収録されている。))。
;,P26 §1.3「素因数分解」の最後に、第2章「多項式の基本性質」への序説として、単項式や多項式を定義している：
> $$ ax^k $$という形の表示を、$$ a $$が数で、$$ x $$が未知数で、$$ k $$が自然数か0であるときに、
> ''単項式''と言う（$$ k=0 $$のときは単に$$ a $$と書く）。
> 単項式の和を''多項式''という。
;,「単項式の和を多項式という」という文言は簡潔で、日本の学校教科書と同じ言い回しとなる。
;, しかし、以下の補足説明によって「単項式は多項式に含まれない」よいう表層だけの読み方が否定される：
> 次数$$ n $$の多項式は
> $$ f(x) $ = $ a_0 $ + $ a_1 $ x $ + $ \cdots $ + $ a_n $ x^n $$
> という一般形を持つ。
> $$ n=0 $$であれば、多項式は数$$ a_0 $$と一致する。そのような多項式を定数という。
;,つまり、式「$$ a_0 $$」は定数であり、多項式である。
;,一方で、「一般形」という言葉は$$ a_0 $ + $ a_1 $ x $ + $ \cdots $ + $ a_n $ x^n $$の表現を表す名前である。
;,同様に、$$ a_n $$以外の係数が全て$$ 0 $$であれば、多項式$$ f(x) $$は式$$ a_n $ x^n $$と一致する。そのような多項式を単項式となる。
;,つまり、「$$ a_n $ x^n $$」は単項式であり、多項式でもある、という見方になる。
%bodynote
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* 海外の学校教育 [#w498e8df]
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** アメリカ or イギリス、フランス、ドイツ [#r6e75acc]
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** 中国 or 韓国？ [#i5ab138f]
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中2文教P12図.PNG