概要 EditToHeaderToFooter

2016年現在、
中学校・高校（以下、中高）で教える「多項式」と数学の「多項式」が異なっている。
昔から気づいていたものの、大した害も無かろうと高を括っていた。
しかし、こういうのが、中高と大学の壁に繋がる。

例えば、現行の教科書では以下の定義が良く用いられる：

  • 数や文字についての乗法だけでつくられた式を単項式という。
  • 単項式の和の形で表された式を多項式という。

この定義を指して、「単項式は多項式に含まれない」と解釈する人*1が存在する。
しかし、数学では「単項式は多項式に含まれる」とするのが習慣である。
単なる名前衝突ならまだしも、式の形を定義とする解釈まで目立っている。

そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。
また、関連して語句の運用も範囲とした。
調査結果を以下に綴る。

※量が多いため、ページ分割する可能性があります。その場合でも、このページのURLは不変とします。

【TODO】

  • 日本の中学校教科書、日本の高校教科書、海外の教科書、一般数学書を別ページに分離しろ。
*1 生徒も含まれるが、先生も含まれる！

目次 EditToHeaderToFooter

用語の定義 EditToHeaderToFooter

「多項式」という言葉自体が異なる概念を指す現象についての議論であるため、
曖昧を回避するべく以下の用語を定義する。
また、問題を単純にするべく１変数の場合のみを扱う。

  • $$ \mathbb{N}_0 $$を非負整数の集合とする。$$ n $$や$$ i $$、$$ j $$を$$ \mathbb{N}_0 $$の要素とする。
  • $$ R $$を環*2を成す集合とする。$$ c $$を$$ R $$の要素とする。
  • $$ x $$は変数で、冪が定義でき、$$ R $$を係数とする線形性を持つとする。
数式$$ m(x) $$と集合Ｍ
  • 数式$$ m(x) $$$$ = $$$$ c $$$$ x^n $$と定義する*3。
  • 集合Ｍを$$ m(x) $$の集合とする。すなわち、Ｍ$$ = $$$$ \big\{ $$$$ r $$$$ x^n $$$$ \big| $$$$ r \in R $$$$ , $$$$ n $$$$ \in $$$$ \mathbb{N}_0 $$$$ \big\} $$。
数式$$ p(x) $$、集合Ｐ
  • 数式$$ p(x) $$$$ = $$$$ \sum_{i=0}^{n} $$$$ c_i $$$$ x^i $$と定義する。
  • 集合Ｐを$$ p(x) $$の集合とする。すなわち、Ｐ$$ = $$$$ \Bigg\{ $$$$ \sum_{i=0}^{n} $$$$ c_i $$$$ x^i $$$$ \Bigg| $$$$ n $$$$ \in $$$$ \mathbb{N}_0 $$$$ , $$$$ c_i \in $$$$ R $$$$ \Bigg\} $$。
数式$$ s(x) $$、集合Ｓ
  • 集合Ｓを集合Ｐと集合Ｍの差集合と定義する。すなわち、Ｓ$$ = $$ Ｐ$$ - $$Ｍ。
  • 集合Ｓの要素を$$ s(x) $$と表記する。
表現
  • 数式を記述する記号列ないし模様自体を表現と呼ぶ。
  • 曖昧で無い限り、数式と表現は基本的に１対多の関係にある。
    • 例：$$ 2x $$と$$ x+x $$は数式として同じでも、見た目が異なるために異なる表現になる。
  • 以下では通常の表現は専ら数式を表すとする。表現を表す場合は引用符で括る。
    • 例：$$ 2x $$と$$ x+x $$は数式を表す。数式として$$ 2x $$$$ = $$$$ x+x $$と表記する。
    • 例：“$$ 2x $$”と“$$ x+x $$”は表現を表す。表現として“$$ 2x $$”$$ \neq $$“$$ x+x $$”と表記する。
  • ただし、異なる記号列ないし模様を同一の表現と認める場合もありえる。
    • 例：$$ x-1 $$と$$ x+(-1) $$は異なる綴りだが、和の表現として同一と見なす場合がある。
命名法の流派
  • 「多項式」を集合Ｐの要素を指す命名法をＰ流と呼ぶ。
  • 「多項式」を集合Ｓの要素を指す命名法をＳ流と呼ぶ。
  • 特定の表現を指す命名法をＦ流と呼ぶ。
表１：各命名法の用語と概念の関係
概念要素の命名法
Ｐ流Ｓ流Ｆ流
Ｍ   
Ｐ多項式環  
Ｓ   
$$ m(x) $$単項式単項式 
$$ p(x) $$多項式整式 
$$ s(x) $$ 多項式 
“$$ m(x) $$”  単項式
“$$ p(x) $$”標準形 整式
“$$ s(x) $$”  多項式
*2 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29
*3 多変数の場合は$$ m(x) $$$$ = $$$$ c $$$$ \prod_{j=0}^m $$$$ x_j^{n_j} $$に差し替えれば良い。

日本の教科書 EditToHeaderToFooter

中学校教科書 EditToHeaderToFooter

東書2015#28：『新編 新しい数学』 1/2/3 EditToHeaderToFooter

  • 出版：東京書籍、2015、教科書センター用見本
  • 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 728/828/928

数2のP10にて

$$ 2a $$や$$ 2x $$，$$ \frac13a^2 $$などのように，

数や文字についての乗法だけでつくられた式を単項式という。

補足として、文字や数との包含関係を明記している：

１つの文字や１つの数，たとえば，$$ x $$や$$ -5 $$なども単項式と考える。

対して、多項式は以下と定義し、単項式との包含関係は明記されてない。

また，$$ 2a $$$$ + $$$$ 2\pi r $$や$$ 3x $$$$ + $$$$ 10 $$，$$ 3a^2 $$$$ + $$$$ 4ab $$$$ + $$$$ 1 $$などのように，

単項式の和の形で表された式を多項式といい，

そのひとつひとつの単項式を，多項式の項という。

さらに、続けて記される例１にも注目すべき。
例１では、「単項式の和の形」になってない式を「単項式の和の形」に表せること、
つまり変形できることを、多項式である否かを判断する根拠としている。

例１ $$ 3x^2 $$$$ - $$$$ 2x $$$$ - $$$$ 5 $$の項を考えて見よう。

$$ 3x^2 $$$$ - $$$$ 2x $$$$ - $$$$ 5 $$は$$ 3x^2 $$$$ + $$$$ ( $$$$ -2x $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ -5 $$$$ ) $$と単項式の和の形で表せるから，多項式であり，

その項は$$ 3x^2 $$，$$ -2x $$，$$ -5 $$

この考え方を単項式$$ 2a $$に適応していけば、
「$$ 2a $$は$$ a + a $$」と単項式の和で表せるから、多項式である」と言える。
このため、東京書籍の教科書の文面では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。

数3のP12には「展開する」が定義されている：

単項式や多項式の積の形の式を，かっこうをはずして単項式の和の形に表すことを，

はじめの式を展開するという。

まず、「単項式や多項式の積の形の式」は式の形に関する表現と読める。
次に、「単項式や多項式」は、単項式を多項式に含ませない考え方への配慮とも取れる。
他方、「単項式の和の形」は式の形の表現であり、「多項式」と書かない理由勘ぐらせる*4。

*4 「多項式」が表記ではなく式という解釈であれば、「多項式」では形が決まらないため、形を記述する文脈では不適切となる。その結果、「単項式の和の形」という表記が至って適切な表記となる。

学図2015#30：中学校 数学 1/2/3 EditToHeaderToFooter

  • 出版：学校図書、2015、教科書センター用見本
  • 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 730/830/930

数１のP31では加法の式について項が定義されている：

加法の式$$ ( $$$$ +2 $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ -5 $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ +4 $$$$ ) $$で，

加法の記号$$ + $$で結ばれた$$ +2 $$，$$ -5 $$，$$ +4 $$を，この式の項という。

数１のP75で文字式についての項が定義されている：

Ｑの(1)で，面積の差は$$ 3a $$$$ - $$$$ 7 $$と表すことができ，

加法の記号$$ + $$を使うと，$$ 3a $$$$ + $$$$ ( $$$$ -7 $$$$ ) $$と表すこともできる。

このとき，$$ 3a $$，$$ -7 $$を，この式の項という。

数２のP14で単項式、多項式、定数項が定義されている：

Ｑの$$ 4x $$や$$ xy $$のように，数や文字をかけ合わせた形の式を単項式という。

$$ y $$や$$ -6 $$のように，１つの文字や１つの数も単項式と考える。

また，$$ 10x $$$$ + $$$$ 20 $$や$$ 2x $$$$ + $$$$ 2y $$のように，

単項式の和の形で表された式を多項式といい，

それぞれの単項式を，その多項式の項という。

多項式で，数だけの項を定数項という。

単項式の定義から、「かけ合わせた形の式」と言っても、
$$ y $$や$$ -6 $$のような１つの因数しかなく、形式的にかけ合わせてない形の式も含まれる考えが覗える。

数３のP16では展開が定義されている：

単項式と多項式や，多項式どうしの積の形をした式のかっこをはずして，

単項式の和の形に表すことを，もとの式を展開するという。

数３のP22では因数分解への導入として、用語が欠けているための長い記述がある：

式の展開とは逆に，多項式を，単項式や多項式の積の形に直せるのかな？

数３のP28では因数分解が定義されている：

多項式の中には，いくつかの式の積の形で表すことができるものがある。

たとえば，前ページのＱの(1)，(2)から，次の式が成立つことがわかる。

　　$$ x^2 $$$$ + $$$$ 3x $$$$ = $$$$ x $$$$ ( $$$$ x+3 $$$$ ) $$　　　　　　　　��

　　$$ x^2 $$$$ + $$$$ 3x $$$$ + $$$$ 2 $$$$ = $$$$ ( $$$$ x+1 $$$$ ) $$$$ + $$$$ ( $$$$ x+2 $$$$ ) $$　　　　　��

このように，多項式をいくつかの単項式や多項式の積の形で表すとき，

一つひとつの式をもとの多項式の因数という。

たとえば，�，�$$ x $$，$$ x+2 $$は，多項式$$ x^2 $$$$ + $$$$ 3x $$の因数であり，

�△�$$ ( $$$$ x+1 $$$$ ) $$，$$ ( $$$$ x+2 $$$$ ) $$は，多項式$$ x^2 $$$$ + $$$$ 3x $$$$ + $$$$ 2 $$の因数である。

多項式をいくつかの因数の積の形で表すことを，その多項式を因数分解するという。

以上より、教育出版の教科書では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈していて、共に式の表記に関する定義と言える。

大日本2015#29：新版 数学の世界 EditToHeaderToFooter

  • 出版：大日本図書、2015、教科書センター用見本
  • 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 729/829/929

数１のP76では文字式に関しての項が定義されている：

式$$ 3x $$$$ - $$$$ 2 $$は，加法の記号$$ + $$を使うと，次のように表せます。

　　$$ 3x $$$$ - $$$$ ( $$$$ -2 $$$$ ) $$

このとき，$$ 3x $$，$$ -2 $$を，それぞれ式$$ 3x $$$$ - $$$$ 2 $$の項といいます。

数２のP10では単項式と多項式、定数項が定義されている：

$$ 4a $$，$$ x^2 $$、$$ -2 $$，$$ ab $$などのように，

項が１つだけの式を単項式という。

$$ a^2 $$$$ - $$$$ 9 $$，$$ x^2 $$$$ - $$$$ 3x $$$$ - $$$$ 2 $$などのように，

項が２つ以上ある式を多項式という。

多項式，単項式の和とみることができる。

また，多項式の項で，$$ -9 $$や$$ -2 $$のように文字をふくまない項を定数項という。

数３のP13では展開が定義されている：

単項式と多項式との積や，多項式と多項式との積の形をした式を１つの多項式に表すことを，

もとの式を展開するという。

単項式を多項式に含めない立場のため、積の形に関する記述が煩雑になる一方で、
展開結果を「１つの多項式」と簡潔に記述している。

数３のP26では因数が定義されている：

 1  のように，１つの式をいくつかの単項式や多項式の積の形に表すとき，

その１つ１つの式を，もとの式の因数という。

教出2015#31：中学数学 1/2/3 EditToHeaderToFooter

  • 出版： 教育出版、2015、教科書センター用見本
  • 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 731/831/931

数１のP29で数に関して「項」が定義されている：

加法だけの式のそれぞれの数を，その式の項という。
数１のP71で１次式に関して「項」が定義されている：

式$$ 5x $$$$ - $$$$ 7 $$や，$$ 5x $$$$ + $$$$ ( $$$$ -7 $$$$ ) $$と表すことができる。

このとき，加法の記号$$ + $$で結んだ$$ 5x $$と$$ -7 $$を，その式の項という。

数２のP12とP13で単項式、多項式、定数項が定義されている：

文字を使った式が書かれたカードを，式の形に着目して，下のＡ，Ｂに分類しました。

同じように㋐〜㋒のカードを，Ａ，Ｂに分類してみましょう。

　　Ａ：　$$ 25x $$　　$$ 2x^2 $$　　$$ ab $$　　$$ \frac x2 $$

　　Ｂ：　$$ 6a $$$$ - $$$$ b $$$$ + $$$$ 5 $$　　$$ 2x $$$$ - $$$$ 2x $$$$ - $$$$ 5 $$　　$$ 100x $$$$ + $$$$ 20 $$

　　㋐：　$$ 100x $$$$ + $$$$ y $$

　　㋑：　$$ 3a $$

　　㋒：　$$ 5mn $$$$ - $$$$ 3 $$

Ａに分類された$$ 25x $$や$$ ab $$のように，項が１つだけの式を単項式という。

単項式は，数や文字の積の形だけでつくられた式とみることができる。

また，$$ x $$のような１つだけの文字，$$ -2 $$のような１つだけの数も単項式である。

Ｂに分類された$$ 6a $$$$ - $$$$ b $$$$ + $$$$ 5 $$のように，項が２つ以上ある式を多項式という。

多項式は，単項式の和の形とみることができる。

多項式で，数だけの項を定数項という。

「式の形」に着目した分類について、項の数を数えて単項式と多項式を定義しているのが分る。
また、根拠を明示して単項式と多項式を分類する例題は存在しない。
代わりに、「たしかめ１」で分類結果が示される：

たしかめ１　次の式を単項式と多項式に分けなさい。

また，多項式については，その項をいいなさい。

　　㋐ $$ 5a $$$$ - $$$$ 2 $$　　　　㋑ $$ -4xy $$　　　　㋒ $$ 3x $$$$ + $$$$ y $$$$ - $$$$ 6 $$

　　㋓ $$ 2a $$　　　　　　　　㋔ $$ \frac12a $$$$ - $$$$ b $$$$ - $$$$ \frac13 $$　　　　㋕$$ x^2 $$$$ - $$$$ 3x $$$$ + $$$$ 5 $$

【TOOD】教出２のP281を撮れ

このため、教育出版の教科書では、
「単項式は多項式に含まれる」と解釈できない。

数３のP15では展開が定義されている：

単項式や多項式の積の形で表された式を計算して単項式の和の形に表すことを，

もとの式を展開するという。

式の形に関する表現として「積の形」や「和の形」が用いられ、
「単項式の和の形」と等価なはずの「多項式」が用いられず、細かく表現されている。
「単項式や多項式」という表現は、両方を合わせた用語が欠けてるための表現と推測できる。

数3のP24では因数分解が定義されている：

１つの式がいくつかの式の積の形に表されるとき，かけ合わされた１つ１つの式を，

もとの式の因数という。

多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，もとの式を因数分解するという。

興味深い運用として、因数の積を因数と見なす考え方を明記している：

たとえば，$$ x+1 $$，$$ x+3 $$は$$ x^2 $$$$ + $$$$ 4x $$$$ + $$$$ 3 $$の因数である。

また，$$ 5xy $$では$$ 5 $$，$$ x $$，$$ y $$，$$ 5x $$などが因数で，

$$ 3a $$$$ (a+2) $$では$$ a $$，$$ 3(a+2) $$などが因数である。

教育出版の教科書では、索引で英語が併記されている：
数１

 項　　　　term           ………………… 24, 71

数２

 多項式　　polynomial     ………………… 13
 単項式　　monomial       ………………… 13
 定数項　　constant term  ………………… 13
 同類項　　similar terms / like terms … 15

数３

 因数　　　factor         ………………… 24, 32
 因数分解　factorization  ………………… 24
 展開　　　expansion      ………………… 12

以上より、教育出版の教科書では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈していて、共に式の表記に関する定義と言える。

啓林館2015#32：未来へひろがる 数学 1/2/3 EditToHeaderToFooter

  • 出版：啓林館、2015、教科書センター用見本
  • 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 732/832/932

数2のP15で単項式、多項式と項が定義されている：

$$ 3a $$，$$ xy $$，$$ p $$のように，

数や文字についての乗法だけでできている式を，単項式といいます。

$$ c $$や$$ 500 $$のような，１つの文字や１つの数も単項式と考えます。

また，$$ 10a $$$$ + $$$$ 2b $$のように，

単項式の和の形で表された式を多項式といい，

１つ１つの単項式$$ 10a $$，$$ 2b $$を，多項式$$ 10a $$$$ + $$$$ 2b $$の項といいます。

他の教科書と異なるのは、例１は多項式の判定として機能せず、あくまでも項の判定に留めている：

$$ 3a^2 $$$$ - $$$$ 2a $$$$ + $$$$ 1 $$は，$$ 3a^2 $$$$ + $$$$ ( $$$$ -2a $$$$ ) $$$$ + $$$$ 1 $$と書けるから，

多項式$$ 3a^2 $$$$ - $$$$ 2a $$$$ + $$$$ 1 $$の項は，$$ 3a^2 $$，$$ ( $$$$ -2a $$$$ ) $$，$$ 1 $$

このため、啓林館の教科書では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈しても、直ちに矛盾が生じることは無い。

数3のP16では、「展開する」が定義されている：

このように，積の形で書かれた式を計算して，和の形で表すことを，もとの式を展開するといいます。

同じ数3のP24では、「因数分解」が定義されている：

$$ (a+3) $$$$ (a-3) $$は，展開すると$$ a^2 $$$$ - $$$$ 9 $$になります。

これを逆にみると，$$ a^2 $$$$ - $$$$ 9 $$は，次のように積の形に表されます。

　　$$ a^2 $$$$ - $$$$ 9 $$$$ = $$$$ (a+3) $$$$ (a-3) $$

このとき，整数の場合と同じように，$$ (a+3) $$，$$ (a-3) $$を$$ a^2 $$$$ - $$$$ 9 $$の因数といいます。

また，多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，

その多項式を因数分解するといいます。

このように、展開では「多項式」ではなく「和の形」としながらも、
因数分解では「多項式」が用いられ、「多項式」の用法が確認できない。

数研2015#34：『改訂版 中学校 数学』 1/2/3 EditToHeaderToFooter

  • 出版：数研出版、2015、教科書センター見本
  • 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 734/834/934

数2のP16で、単項式、多項式と項が定義されている。

$$ x^2 $$，$$ 3x $$のように，数や文字をかけ合わせてできる式を単項式という。

$$ a $$，$$ -8 $$のように，１つの文字や数字も単項式である。

また，$$ x^2 $$$$ + $$$$ 3 $$のように，単項式の和の形で表される式を多項式といい，

その１つ１つの単項式を，多項式の項という。

直後の例１で多項式の判定方法が与えられる：

$$ 2x^2 $$$$ - $$$$ 7x $$$$ + $$$$ + $$$$ 4 $$は，$$ 2x^2 $$$$ + $$$$ ( $$$$ -7x $$$$ ) $$$$ + $$$$ 4 $$と書けるから，

３つの項

　　$$ 2x^2 $$，　$$ -7x $$，　$$ 4 $$

からできる多項式である。

同じ論法で、
「$$ 3x $$は$$ x $$$$ + $$$$ 2x $$と書けるから，２つの項$$ x $$と$$ 2x $$からできる多項式である」と言えてしまう。

このため、数研出版の教科書では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。

日文2015#35：『中学数学』1/2/3 EditToHeaderToFooter

  • 出版：日本文教出版、2015、教科書センター用見本
  • 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 735/835/935

数2のP12に単項式、多項式と項が定義されている：

$$ 4x $$や$$ ab $$，$$ x^2 $$のように，

数や文字についての乗法だけでできている式を単項式といいます。

$$ x $$や$$ -1 $$のような，

１つの文字や１つの数も，単項式と考えます。

一方，$$ 2x+1 $$のように，

２つ以上の単項式の和の形で表される式を多項式といい，

１つ１つの単項式$$ 2x $$，$$ 1 $$を，多項式$$ 2x+1 $$の項といいます。

$$ x $$$$ - $$$$ 1 $$$$ = $$$$ x $$$$ + $$$$ (-1) $$だから，$$ x $$$$ - $$$$ 1 $$も多項式です。

多項式の定義に「２つ以上の単項式」とあるため、単項式を多項式に含めない立場と勘ぐれる。
しかし、$$ x $$$$ - $$$$ 1 $$を多項式と判定する理由に$$ x $$$$ - $$$$ 1 $$$$ = $$$$ x $$$$ + $$$$ (-1) $$を使うため、
同じ論法で、「$$ 4x $$$$ = $$$$ x $$$$ + $$$$ 3x $$だから，$$ 4x $$も多項式です。」と言えてしまう。

このため、日本文教出版の教科書では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。

高校教科書での定義 EditToHeaderToFooter

東書2012：新編 数学 ��/�� EditToHeaderToFooter

  • 出版：東京書籍、2012、教科書センター用見本
  • 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数��302 / 数��302

数�気�P6で、単項式と多項式、そして整式が定義されている：

$$ 2x $$，$$ -3x^2 $$，$$ 4x^2y^3 $$のように，数，文字およびそれらの積として表される式を単項式という。

単項式の和として表される式を多項式といい，

その１つ１つの単項式を多項式の項という。

単項式と多項式を合わせて整式という。

(注意) 単項式を項の数１つだけの多項式と考えることもできる。

数�気�P10に展開が定義されている：

整式の積を単項式の和の形に表すことを展開するという。

数�気�P14に因数分解が定義されている：

$$ ( $$$$ x+1 $$$$ ) $$$$ ( $$$$ x+2 $$$$ ) $$を展開すると

　　$$ x^2+3x+2 $$

になる。逆に，$$ x^2+3x+2 $$を

　　$$ ( $$$$ x+1 $$$$ ) $$$$ ( $$$$ x+2 $$$$ ) $$

のような積の形にすることを因数分解といい，

$$ x+1 $$や$$ x+2 $$を$$ ( $$$$ x+1 $$$$ ) $$$$ ( $$$$ x+2 $$$$ ) $$の因数という。

すなわち，因数分解とは，与えられた整式を１次以上の整式の積の形に表すことである。

【MEMO】

  • 「整式」
  • 「単項式の和の形」「整式の積の形」

数�兇�P31で除余の定理が与えられている：

整式$$ P(x) $$を$$ x-a $$で割ったときの余りは$$ P(a) $$である。

数�兇�P32で因数定理が与えられている：

整式$$ P(x) $$が$$ x-a $$で割り切れる　$$ \Longleftrightarrow $$　$$ P(a) $$$$ = $$$$ 0 $$

東書2012：新 数学 ��/�� EditToHeaderToFooter

  • 出版：東京書籍、2012、教科書センター用見本
  • 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数��303 / 数��303

数�気�P16で、単項式と多項式、そして整式が定義されている：

数や文字の積として表される式を単項式という。

　　$$ 2x^2 $$$$ + $$$$ 3x $$$$ + $$$$ 5 $$

は，単項式$$ 2x^2 $$と$$ 3x $$と$$ 5 $$の和として表されている。

このように，単項式の和として表されている式を多項式という。

単項式と多項式を合わせて整式という。

【MEMO】

  • 単項式を多項式の特例とする流儀について言及せず

実教2012：新版 数学 ��/�� EditToHeaderToFooter

  • 出版：実教出版、2012、教科書センター用見本
  • 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数��305 / 数��305

数�気�P6で、単項式が定義されている：

$$ 3x^2 $$や$$ \frac13a^2h $$のように，

いくつかの数や文字の積の形で表されている式を単項式という。

数�気�P7で、多項式と整式が定義されている：

$$ 2x $$$$ + $$$$ 3 $$や$$ 3x^2 $$$$ - $$$$ 4x $$$$ + $$$$ 5 $$のように，

いくつかの単項式の和の形で表されている式を多項式といい，

それぞれの単項式を項という。

単項式と多項式を合わせて整式という。

【MEMO】

  • 単項式を多項式の特例とする流儀について言及せず

数�気�P12に展開が定義されている：

多項式と多項式の乗法も，分配法則を用いて単項式の和の形に直すことができる。

乗法により，整式の積を計算して単項式の和の形に直すことを展開するという。

数�気�P20に因数分解が定義されている：

展開とは逆に，

１つの整式を２つ以上の整式の積の形にすることを，整式を因数分解するといい，

積をつくっているそれぞれの式を因数という。

数�兇�P39で除余の定理が与えられている：

整式$$ P(x) $$を１次式$$ x-a $$で割ったときの余り$$ R $$は

　　$$ R $$$$ = $$$$ P(a) $$

啓林館2012：新編 数学 ��/�� EditToHeaderToFooter

  • 出版：啓林館、2012、教科書センター用見本
  • 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数��309 / 数��316

数�気�P10で、単項式が定義されている：

$$ -3x^2 $$や$$ 4x^3 $$のように，

定数と$$ x $$をいくつか掛け合わている式を$$ x $$についての単項式という。

数�気�P11で、多項式と整式が定義されている：

$$ 3x^2 $$$$ - $$$$ 2x $$$$ + $$$$ 1 $$のように，

単項式の和として表されている式を多項式といい，

その１つ１つの単項式を，その多項式の項という。

また，単項式と多項式を合わせて整式という。

単項式は項が１つの多項式と考えることができる。

【MEMO】

  • 「〜についての単項式」という概念を教えている。$$ x $$はメタ文字の解釈となる。
  • ＡとＢを合わせてＣ、ＡはＢの特例。→ Ｂ＝Ｃ？

数�気�P16に展開が定義されている：

整式の積は，計算法則

　　$$ A $$$$ ( $$$$ B $$$$ + $$$$ C $$$$ $$$$ = $$$$ AB $$$$ + $$$$ AC $$

　　$$ A $$$$ + $$$$ B $$$$ ) $$$$ C $$$$ $$$$ = $$$$ AC $$$$ + $$$$ BC $$

を使って，単項式の和の形、すなわち，１つの多項式にすることができる。

　これを，整式の積を展開するという。

数�気�P20に因数分解が定義されている：

　整式の積$$ ( $$$$ x $$$$ + $$$$ 3 $$$$ ) $$$$ ( $$$$ x $$$$ - $$$$ 2 $$$$ ) $$は，乗法公式を利用して，

　　$$ ( $$$$ x $$$$ + $$$$ 3 $$$$ ) $$$$ ( $$$$ x $$$$ - $$$$ 2 $$$$ ) $$$$ = $$$$ x^2 $$$$ + $$$$ x $$$$ - $$$$ 6 $$

と展開することができる。

　この展開を逆に見ると，

　　整式$$ x^2 $$$$ + $$$$ x $$$$ - $$$$ 6 $$が２つの整式$$ x $$$$ + $$$$ 3 $$と$$ x $$$$ - $$$$ 2 $$の積

になっていることがわかる。

　このように，整式を２つ以上の整式の積の形にすることを$$ 因数分解 $$するといい，

積を構成する１つ１つのの整式を，もとの整式の因数という。

数研2012：新編 数学 ��/�� EditToHeaderToFooter

  • 出版：数研出版、2012、教科書センター用見本
  • 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数��312 / 数��311

数研2012：新 高校の数学 ��/�� EditToHeaderToFooter

  • 出版：数研出版、2012、教科書センター用見本
  • 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数��314 / 数��311

数�気�P10で、単項式と多項式、そして整式が定義されている：

$$ 5x^3 $$，$$ -x^3 $$のように，文字や数をかけてできた式を単項式といいます。

$$ x^2 $$$$ + $$$$ 3x $$$$ + $$$$ 2 $$のように，いくつかの単項式をたしてできた式を多項式といいます。

多項式のことを，整式ともいいます。

【MEMO】

  • 単項式を多項式の特例とする流儀について言及せず
  • 整式を多項式の別名として定義している

【TODO】

  • 新 高校の数学 �機伸兇鮓�直せ
  • 必要とあれば他の出版社の別名教科書も当れ

第一2012：高等学校 新編 数学 ��/�� EditToHeaderToFooter

  • 出版：第一学習社、2012、教科書センター用見本
  • 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数��316 / 数��315

代数学教科書での定義 EditToHeaderToFooter

[共立2000]：『共立講座 21世紀の数学�� 代数と数論の基礎』*5 EditToHeaderToFooter

  • 著者：中島 匠一、共立出版 2000年11月25日 初版1刷発行

『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
P102、§2.3.1「1変数の多項式環」にて「多項式」を以下のように定義している：

$$ R $$を環とする。$$ R $$の元を係数とする変数$$ T $$の多項式(polynomial)とは

　　$$ f(T) $$$$ = $$$$ a_n $$$$ T^n $$$$ + $$$$ a_{n-1} $$$$ T^{n-1} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ + $$$$ a_1 $$$$ T $$$$ + $$$$ a_0 $$（$$ n \geq 0 $$$$ , $$$$ a_0 $$$$ ,\cdots, $$$$ a_n $$$$ \in $$$$ R $$）　(2.7)

という式のことである。

$$ f(T) $$の$$ j $$次の係数(coefficient of degree $$ j $$)や定数項(constant term)を定義した後、
以下のように補足し、多項式の特例として定数多項式を定義している：

　　(2.7)は$$ f(T) $$$$ = $$$$ \sum_{j=0}^n $$$$ a_j $$$$ T^j $$

とも表せる。ここで$$ n = 0 $$の場には$$ f(T) $$$$ = $$$$ a_0 $$（$$ \in $$$$ R $$）となり

変数$$ T $$が登場しないが，これも多項式とみなす（定数多項式）。

同様に、多項式の特例として、単項式を以下のように定義している：

(2.7)に現れる１つ１つの項$$ a_j $$$$ T^j $$は単項式(monomial)と呼ばれる。

「単項式」をいくつか足し合わせてできるものが「多項式」というわけである。

ただし，(2.7)で項が１つだけの場合（すなわち，単項式）も多項式とみなすのが数学の習慣であるので，

誤解のないように。

その上で、わざわざ脚注25)を加えている：

１つしかないものに「多」という言葉は使わないのが“日常語”の常識だろうが、

そうすると(2.7)を見たときにいちいち“単項式または多項式”と言わねばならず，非常に不便である。

それで，単項式も多項式に含めておくほうが得策だ，というわけである。

『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める：

  • 多項式は変数$$ T $$に関する式である。
  • その「式」とは、式(2.7)そのものである。
  • 「式そのもの」とは、式(2.7)に対し、式として等価な全ての式が「多項式」と呼べることを意味する。

その結果、定数多項式も単項式も自ずと多項式に含まれる。
このような数学書を読めるためには、以下の事実を知る必要がある：

  • 「多」が付くからって必ずしも「２以上」を意味するとは限らない。
  • 「いくつか」と書いたからって「１つや０つでなく２つ以上』とは限らない。
  • 式(2.7)で定義されても、(2.7)にそっくりな形＝同じ記号列であるとは限らない。
*5 Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614

[日評2009]：『代数入門』*6 EditToHeaderToFooter

  • 訳者：蟹江 幸博*7、日本評論社、2009年8月15日 第1版第1刷発行
  • 英語版：“Discourses on Algebra”*8
    • 著者：Igor R. Shafarevich、Springer出版 2003年

“Discourses on Algebra”はロシアで書かれた大学用教科書である*9。
P26 §1.3「素因数分解」の最後に、第2章「多項式の基本性質」への序説として、単項式や多項式を定義している：

$$ ax^k $$という形の表示を、$$ a $$が数で、$$ x $$が未知数で、$$ k $$が自然数か0であるときに、

単項式と言う（$$ k=0 $$のときは単に$$ a $$と書く）。

単項式の和を多項式という。

「単項式の和を多項式という」という文言は簡潔で、日本の学校教科書と同じ言い回しとなる。
しかし、以下の補足説明によって「単項式は多項式に含まれない」よいう表層だけの読み方が否定される：

次数$$ n $$の多項式は

　　$$ f(x) $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_1 $$$$ x $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ + $$$$ a_n $$$$ x^n $$

という一般形を持つ。

$$ n=0 $$であれば、多項式は数$$ a_0 $$と一致する。そのような多項式を定数という。

つまり、式「$$ a_0 $$」は定数であり、多項式である。
一方で、「一般形」という言葉は$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_1 $$$$ x $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ + $$$$ a_n $$$$ x^n $$の表現を表す名前である。

同様に、$$ a_n $$以外の係数が全て$$ 0 $$であれば、多項式$$ f(x) $$は式$$ a_n $$$$ x^n $$と一致する。そのような多項式を単項式となる。
つまり、「$$ a_n $$$$ x^n $$」は単項式であり、多項式でもある、という見方になる。

*6 Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81-%E3%82%A4%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BBR/dp/4535784000/ref=sr_1_7?s=books&ie=UTF8&qid=1459374770&sr=1-7&keywords=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80
*7 書面印字では「蟹」は「鮮」の下に「虫」。
*8 Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/Discourses-Algebra-Universitext-Igor-Shafarevich-ebook/dp/B000PY49O4/ref=sr_1_3?s=digital-text&ie=UTF8&qid=1459374941&sr=1-3
*9 本人は序文で「本書を教科書であると言うつもりはない。」とは言っているが、英語版は間違いなくSpringerのUniversitextに収録されている。

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