教育多項式のバックアップ差分(No.2)

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* 概要 [#l5264d7b]

;,2016年現在、中学校・高校でいう「多項式」と、数学で扱う「多項式」の意味が異なっている。
;,昔から気づいていたものの、大した害も無かろうと高を括っていた。
;,しかし、こういうのが中学校・高校や、高校・大学の壁に繋がる。

;,そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。
;,調査結果を以下に綴る。

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* 教科書での定義例 [#q54c5b57]




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* 代数学の定義 [#wf47a435]
***『共立講座 21世紀の数学⑨ 代数と数論の基礎』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614))（著者：中島 匠一、共立出版） [#ce0fb613]

;,『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
;, P102、§2.3.1「1変数の多項式環」にて「多項式」を以下のように定義している：
> $$ R $$を環とする。$$ R $$の元を係数とする変数$$ T $$の''多項式''(polynomial)とは
>　　$$ f(T) $ = $ a_n $ T^n $ + $ a_{n-1} $ T^{n-1} $ + $ \cdots $ + $ a_1 $ T $ + $ a_0 $$（$$ n \geq 0 $,$ a_0 $,\cdots,$ a_n $ \in $ R $$）　(2.7)
> という式のことである。

;,$$ f(T) $$の$$ j $$次の係数(coefficient of degree $$ j $$)や定数項(constant term)を定義した後、
;,以下のように補足し、多項式の特例として定数多項式を定義している：
> 　　(2.7)は$$ f(T) $ = $ \sum_{j=0}^n $ a_j $ T^j $$
> とも表せる。ここで$$ n =  0 $$の場には$$ f(T) $ = $ a_0 $$（$$ \in $ R $$）となり
> 変数$$ T $$が登場しないが，これも多項式とみなす（定数多項式）。

;,同様に、多項式の特例として、単項式を以下のように定義している：
> (2.7)に現れる１つ１つの項$$ a_j $ T^j $$は''単項式''(monomial)と呼ばれる。
> 「単項式」をいくつか足し合わせてできるものが「多項式」というわけである。
> ただし，(2.7)で項が１つだけの場合（すなわち，単項式）も多項式とみなすのが数学の習慣であるので，
> 誤解のないように。

;,その上で、わざわざ脚注25)を加えている：
> １つしかないものに「多」という言葉は使わないのが“日常語”の常識だろうが、
> そうすると(2.7)を見たときにいちいち“単項式または多項式”と言わねばならず，非常に不便である。
> それで，単項式も多項式に含めておくほうが得策だ，というわけである。

;,『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める：
- 多項式は変数$$ T $$に関する式である。
- その「式」とは、式(2.7)そのものである。
- 「式そのもの」とは、式(2.7)に対し、式として等価な全ての式が「多項式」と呼べることを意味する。

;,その結果、定数多項式も単項式も自ずと多項式に包まれる。
;,このため、義務教育を卒業した人であれば、以下の事実を知って欲しいものだ：
- 「多」が付くからって必ずしも「２以上」を意味するとは限らない。
- 「いくつか」と書いたからって「１つや０つでなく２つ以上』とは限らない。
- 式(2.7)で定義したからって、(2.7)にそっくりな形＝同じ記号列である必要は無い((記号列の定義であれば、「表記の分類である」と明言する必要がある。))。
教育多項式 のバックアップ差分(No.2)

教育多項式のバックアップ差分(No.2)
