教育多項式のバックアップ差分(No.29)

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/教育多項式【執筆中】
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* 概要 [#l5264d7b]

;,2016年現在、
;,中学校・高校（以下、中高）で教える「多項式」と数学の「多項式」が異なっている。
;,昔から気づいていたものの、大した害も無かろうと高を括っていた。
;,しかし、こういうのが、中高と大学の壁に繋がる。

;,例えば、現行の教科書では以下の定義が良く用いられる：
- 数や文字についての乗法だけでつくられた式を''単項式''という。
- 単項式の和の形で表された式を''多項式''という。

;,この定義を指して、「単項式は多項式に含まれない」と解釈する人((生徒も含まれるが、先生も含まれる！))が存在する。
;,しかし、数学では「単項式は多項式に含まれる」とするのが習慣である。
;,単なる名前衝突ならまだしも、式の形を定義とする解釈まで目立っている。

;,そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。
;,また、関連して語句の運用も範囲とした。
;,調査結果を以下に綴る。

;,&font(#C00){※量が多いため、ページ分割する可能性があります。その場合でも、このページのURLは不変とします。};

【TODO】
- 日本の中学校教科書、日本の高校教科書、海外の教科書、一般数学書を別ページに分離しろ。

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** 目次 [#b71981cf]
#contents

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* 用語の定義 [#e72cba6a]

;,「多項式」という言葉自体が異なる概念を指す現象についての議論であるため、
;,曖昧を回避するべく以下の用語を定義する。
;,また、問題を単純にするべく１変数の場合のみを扱う。

- $$ \mathbb{N}_0 $$を非負整数の集合とする。$$ n $$や$$ i $$、$$ j $$を$$ \mathbb{N}_0 $$の要素とする。
- $$ R $$を環((https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29))を成す集合とする。
  $$ c $$を$$ R $$の要素とする。
- $$ x $$は変数で、冪が定義でき、$$ R $$を係数とする線形性を持つとする。

:数式$$ m(x) $$と集合Ｍ|
- 数式$$ m(x) $ = $ c $ x^n $$と定義する((多変数の場合は$$ m(x) $ = $ c $ \prod_{j=0}^m $ x_j^{n_j} $$に差し替えれば良い。))。
- 集合Ｍを$$ m(x) $$の集合とする。
  すなわち、Ｍ$$ = $ \big\{ $ r $ x^n $ \big| $ r \in R $,$ n $ \in $ \mathbb{N}_0 $ \big\} $$。

:数式$$ p(x) $$、集合Ｐ|
- 数式$$ p(x) $ = $ \sum_{i=0}^{n} $ c_i $ x^i $$と定義する。
- 集合Ｐを$$ p(x) $$の集合とする。
  すなわち、Ｐ$$ = $ \Bigg\{ $ \sum_{i=0}^{n} $ c_i $ x^i $ \Bigg| $ n $ \in $ \mathbb{N}_0 $,$ c_i \in $ R $ \Bigg\} $$。

:数式$$ s(x) $$、集合Ｓ|
- 集合Ｓを集合Ｐと集合Ｍの差集合と定義する。
  すなわち、Ｓ$$ = $$ Ｐ$$ - $$Ｍ。
- 集合Ｓの要素を$$ s(x) $$と表記する。

:表現|
- 数式を記述する記号列ないし模様自体を表現と呼ぶ。
- 曖昧で無い限り、数式と表現は基本的に１対多の関係にある。
-- 例：$$ 2x $$と$$ x+x $$は数式として同じでも、見た目が異なるために異なる表現になる。
- 以下では通常の表現は専ら数式を表すとする。表現を表す場合は引用符で括る。
-- 例：$$ 2x $$と$$ x+x $$は数式を表す。数式として$$ 2x $ = $ x+x $$と表記する。
-- 例：“$$ 2x $$”と“$$ x+x $$”は表現を表す。表現として“$$ 2x $$”$$ \neq $$“$$ x+x $$”と表記する。
- ただし、異なる記号列ないし模様を同一の表現と認める場合もありえる。
-- 例：$$ x-1 $$と$$ x+(-1) $$は異なる綴りだが、和の表現として同一と見なす場合がある。

:命名法の流派|
- 「多項式」を集合Ｐの要素を指す命名法を''Ｐ流''と呼ぶ。
- 「多項式」を集合Ｓの要素を指す命名法を''Ｓ流''と呼ぶ。
- 特定の表現を指す命名法を''Ｆ流''と呼ぶ。

#ceq(e)
  |*l:表１：各命名法の用語と概念の関係|<|<|<|h
  |*概念         |*要素の命名法  |<|<      |
  |^             |*Ｐ流    |*Ｓ流  |*Ｆ流  |
  |     Ｍ       |         |       |       |
  |     Ｐ       | 多項式環|       |       |tx:
  |     Ｓ       |         |       |       |tx:
  |  $$ m(x) $$  | 単項式  | 単項式|       |
  |  $$ p(x) $$  | 多項式  | 整式  |       |tx:
  |  $$ s(x) $$  |         | 多項式|       |tx:
  |“$$ m(x) $$”|         |       | 単項式|
  |“$$ p(x) $$”| 標準形  |       | 整式  |tx:
  |“$$ s(x) $$”|         |       | 多項式|tx:
#ceq(d)

%bodynote

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* 日本の教科書 [#a6fe4170]
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** 中学校教科書 [#kb78a912]
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*** 東書2015#28：『新編 新しい数学』 1/2/3 [#w92b4a22]
- 出版：東京書籍、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 728/828/928

;,数2のP10にて、単項式と多項式が定義されている：
> 　$$ 2a $$や$$ 2x $$，$$ \frac13a^2 $$などのように，
> 数や文字についての乗法だけでつくられた式を''単項式''という。
> １つの文字や１つの数，たとえば，$$ x $$や$$ -5 $$なども単項式と考える。
> 　また，$$ 2a $ + $ 2\pi r $$や$$ 3x $ + $ 10$$，$$ 3a^2 $ + $ 4ab $ + $ 1 $$などのように，
> 単項式の和の形で表された式を''多項式''といい，
> そのひとつひとつの単項式を，多項式の''項''という。

;,文字や数と単項式の包含関係が明記されているのに対し、
;,単項式と多項式の包含関係は明記されてない。
;,また、単項式は演算（乗法）、多項式は表示（表された）に基づく定義と解釈できる。

;,しかし、続けて記される例１では、
;,「単項式の和の形」でない式を「単項式の和の形」に変形できることを、多項式である否かを判断する根拠としている。
> 例１ $$ 3x^2 $ - $ 2x $ - $ 5 $$の項を考えて見よう。
> 　　 $$ 3x^2 $ - $ 2x $ - $ 5 $$は$$ 3x^2 $ + $ ( $ -2x $ ) $ + $ ( $ -5 $ ) $$と単項式の和の形で表せるから，多項式であり，
> その項は$$ 3x^2 $$，$$ -2x $$，$$ -5 $$
< このため、多項式の定義も演算による定義として運用されることになる。
;,この考え方を単項式$$ 2a $$に適応していけば、
;,「$$ 2a $$は$$ a + a $$」と単項式の和で表せるから、多項式である」と言えてしまう。

;,このため、東京書籍の教科書の文面では((以下、「文面では」は「著者や出版社の電話番がどういう意図であれ、書かれている内容から判断する」という意味で使う。))、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。

;,数3のP12には「展開する」が定義されている：
> 　単項式や多項式の積の形の式を，かっこうをはずして単項式の和の形に表すことを，
> はじめの式を''展開する''という。
< まず、「単項式や多項式の積の形の式」は''式の形''に関する表現と読める。
;,次に、「単項式や多項式」は、単項式を多項式に含ませない考え方への配慮と取れる。
;,他方、「単項式の和の形」は、明示的な''式の形''に関する表現であり、
;,「多項式」に対応する数式表現の表現と取れる
((「多項式」が表記ではなく式という解釈であれば、「多項式」では表現方法にあたる式の形が決まらない。そのため、形を記述する文脈では不適切となる。対して「単項式の和の形」という表記が至って適切な表記である。))。

%bodynote 
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*** 学図2015#30：中学校 数学 1/2/3 [#uaf4aa49]
- 出版：学校図書、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 730/830/930

;,数１のP31では加法の式について項が定義されている：
> 　加法の式$$ ($ +2 $) $ + $ ($ -5 $) $ + $ ($ +4 $) $$で，
> 加法の記号$$ + $$で結ばれた$$ +2 $$，$$ -5 $$，$$ +4 $$を，この式の''項''という。

;,数１のP75で文字式についての項が定義されている：
> 　&font(bg#508398,#FFF){ Ｑ }; の(1)で，面積の差は$$ 3a $ - $ 7 $$と表すことができ，
> 加法の記号$$ + $$を使うと，$$ 3a $ + $ ($ -7 $) $$と表すこともできる。
> 　このとき，$$ 3a $$，$$ -7 $$を，この式の''項''という。

;,数２のP14で単項式、多項式、定数項が定義されている：
> 　&font(bg#BA6034,#FFF){ Ｑ }; の$$ 4x $$や$$ xy $$のように，数や文字をかけ合わせた形の式を''単項式''という。
> $$ y $$や$$ -6 $$のように，１つの文字や１つの数も単項式と考える。
> 　また，$$ 10x $ + $ 20 $$や$$ 2x $ + $ 2y $$のように，
> 単項式の和の形で表された式を''多項式''といい，
> それぞれの単項式を，その多項式の項という。
<
> 多項式で，数だけの項を''定数項''という。

;,項、単項式、多項式とも表現に基づく定義と読める。
;,しかし、「かけ合わせた形の式」と定義された単項式に対し、
;,$$ y $$や$$ -6 $$のように表記上では掛け合わせてない形の式も含む扱い方から、演算に基づく定義となる。

;,その扱い方では、
;,「和の形で表された式」と定義された多項式に対しても、
;, $$ 4x $$や$$ xy $$のように表記上では和の形で表されてない式も含むことになる。

;,このため、学校図書の教科書の文面では、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると、直ちに矛盾が生じる。

;,数３のP16では展開が定義されている：
> 　単項式と多項式や，多項式どうしの積の形をした式のかっこをはずして，
> 単項式の和の形に表すことを，もとの式を''展開''するという。
< 数３のP22では因数分解への導入に以下の文面がある：
> 　式の展開とは逆に，多項式を，単項式や多項式の積の形に直せるのかな？
< 数３のP28では因数分解が定義されている：
> 　多項式の中には，いくつかの式の積の形で表すことができるものがある。
> たとえば，前ページのＱの(1)，(2)から，次の式が成立つことがわかる。
> 　　$$ x^2 $ + $ 3x $ = $ x $ ($ x+3 $) $$　　　　　　　　①
> 　　$$ x^2 $ + $ 3x $ + $ 2 $ = $ ($ x+1 $) $ + $ ($ x+2 $) $$　　　　　②
> 　
> 　このように，多項式をいくつかの単項式や多項式の積の形で表すとき，
> 一つひとつの式をもとの多項式の因数という。
> 　たとえば，①の$$ x $$，$$ x+2 $$は，多項式$$ x^2 $ + $ 3x $$の因数であり，
> ②の$$ ($ x+1 $) $$，$$ ($ x+2 $) $$は，多項式$$ x^2 $ + $ 3x $ + $ 2 $$の因数である。
<
> 　多項式をいくつかの因数の積の形で表すことを，その多項式を''因数分解''するという。

;,単項式を多項式に含ませない立場を取りながら、「整式」という用語が欠けてるため、
;,「単項式と多項式や，多項式どうし」「単項式や多項式」など長ったらしい表現を用いる羽目になっている。
;,さらに長いが故の分り難さを回避するためか、ただ「式」と曖昧に略す表現も用いられている。

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*** 大日本2015#29：新版 数学の世界 [#pb60a3b5]
- 出版：大日本図書、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 729/829/929

;,数１のP76では１次式に関しての項が定義されている：
> 　式$$ 3x $ - $ 2 $$は，加法の記号$$ + $$を使うと，次のように表せます。
> 　　　　$$ 3x $ - $ ($ -2 $) $$
> 　このとき，$$ 3x $$，$$ -2 $$を，それぞれ式$$ 3x $ - $ 2 $$の''項''といいます。

;,数２のP10では単項式と多項式、定数項が定義されている：
> 　$$ 4a $$，$$ x^2 $$、$$ -2 $$，$$ ab $$などのように，
> 項が１つだけの式を''単項式''という。
> 　$$ a^2 $ - $ 9 $$，$$ x^2 $ - $ 3x $ - $ 2 $$などのように，
> 項が２つ以上ある式を''多項式''という。
> 　
> 　多項式は，単項式の和とみることができる。
> また，多項式の項で，$$ -9 $$や$$ -2 $$のように文字をふくまない項を''定数項''という。

;,注目すべきは、以下の事実と、これらの事実から導けかれる悪い結果。
- 単項式と多項式は、明示的に項の数で定義されている。
- 項の定義は、加法記号による表記に基づいている。
- 数１のP67のQ2(2)で分数式$$ a $ \div $ b $ + $ c $ \div $ 8 $$が既に扱われている。

;,その結果：$$ a $ \div $ b $$は１つ項に分類される。
;,悪い結果：$$ a $ \div $ b $$は単項式に分類される。
;,これは、大日本図書の教科書の「単項式」は、
;,数字と文字の積として定義される他社教科書の「単項式」と異なることを意味する。

;,数３のP13では展開が定義されている：
> 単項式と多項式との積や，多項式と多項式との積の形をした式を１つの多項式に表すことを，
> もとの式を''展開する''という。
< 数３のP26では因数が定義されている：
> &font(bg#111,#FFF){&nbsp;1&nbsp;}; のように，１つの式をいくつかの単項式や多項式の積の形に表すとき，
> その１つ１つの式を，もとの式の''因数''という。

;,単項式を多項式に含ませない立場を取りながら、「整式」という用語が欠けてるため、
;,「単項式と多項式との積や，多項式と多項式との積」「いくつかの単項式や多項式の積」など長く曖昧な表現を用いる羽目になっている。

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*** 教出2015#31：中学数学 1/2/3 [#o0118054]
- 出版： 教育出版、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 731/831/931

;,数１のP29で数に関して「項」が定義されている：
>
>> 　加法だけの式のそれぞれの数を，その式の''項''という。
< 数１のP71で１次式に関して「項」が定義されている：
>
>> 　式$$ 5x $ - $ 7 $$や，$$ 5x $ + $ ($-7$) $$と表すことができる。
>> このとき，加法の記号$$ + $$で結んだ$$ 5x $$と$$ -7 $$を，その式の''項''という。

;,数２のP12とP13で単項式、多項式、定数項が定義されている：
> 　文字を使った式が書かれたカードを，式の形に着目して，下のＡ，Ｂに分類しました。
> 同じように&#13008;～&#13010;のカードを，Ａ，Ｂに分類してみましょう。
> 　　Ａ：　$$ 25x $$　　$$ 2x^2 $$　　$$ ab $$　　$$ \frac x2 $$
> 　　Ｂ：　$$ 6a $ - $ b $ + $ 5 $$　　$$ 2x $ - $ 2x $ - $ 5 $$　　$$ 100x $ + $ 20 $$
> 　　&#13008;：　$$ 100x $ + $ y $$
> 　　&#13009;：　$$ 3a $$
> 　　&#13010;：　$$ 5mn $ - $ 3 $$
<
>
>>　Ａに分類された$$ 25x $$や$$ ab $$のように，項が１つだけの式を''単項式''という。
>単項式は，数や文字の積の形だけでつくられた式とみることができる。
> また，$$ x $$のような１つだけの文字，$$ -2 $$のような１つだけの数も単項式である。
>> Ｂに分類された$$ 6a $ - $ b $ + $ 5 $$のように，項が２つ以上ある式を''多項式''という。
> 多項式は，単項式の和の形とみることができる。
>> 多項式で，数だけの項を''定数項''という。

;,単項式と多項式は、項の数によって定義されている。
;,その項は、加法記号区切りの表記として定義されている。
;,これは、教育出版の「単項式」は大日本図書の「単項式」と同じく、
;,数字と文字の積として定義される他社教科書の「単項式」と異なることを意味する。

;,ただし、大日本図書の教科書と異なるのは、これまでに分数式が確認してない((細心の注意を払って確認してないので、単に確認漏れの可能性もある。))。
;,そのため、辛うじて「扱ってる文字式の範囲では正しい」と言い訳できる。
;,しかし、後に再定義されないため、$$ \frac{a}{b} $$を単項式に分類するまま卒業するだろう。

//P34で単／多の区別を問い、P233で回答
//P13で単／多の区別を問い、P237で回答

;,P34の「章の問題」で単項式・多項式の分類を問い、
;,P233の解答で「単項式が多項式に含まれない立場」を示している：
> １　下の&#13008;～&#13010;の式について，次の問いに答えなさい。
> 　　&#13008;　$$ 2x $ - $ 3 $$　　　　&#13009;　$$ -3a^2b $$　　　　&#13010;　$$ a^2 $ - $ 5ab $ + $ 4 $$
> 　　(1) 単項式と多項式に分けなさい。また，多項式について，その項をいいなさい。
> 　　(2) それぞれ何次式ですか。
<
> １(1) 単項式…①
> 　　　多項式…&#13008; $$ 2x $$，$$ -3 $$
> 　　　　　　　&#13010; $$ a^2 $$，$$ -5ab $$，$$ 4 $$
> 　(2) &#13008;　１次式　　&#13009;　２次式　　&#13010;　２次式

;,数３のP15では展開が定義されている：
> 
>> 単項式や多項式の積の形で表された式を計算して単項式の和の形に表すことを，
>> もとの式を''展開''するという。
< 数３のP24では因数分解が定義されている：
>
>> １つの式がいくつかの式の積の形に表されるとき，かけ合わされた１つ１つの式を，
>> もとの式の因数という。
>
>> 多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，もとの式を因数分解するという。

;, 式の形に関する表現として「積の形」や「和の形」が用いられ、
;,「単項式の和の形」と等価なはずの「多項式」が用いられず、細かく表現されている。
;,「単項式や多項式」という表現は、両方を合わせた用語が欠けてるための表現と読める。

//;,興味深い運用として、因数の積を因数と見なす考え方を明記している：
//> たとえば，$$ x+1 $$，$$ x+3 $$は$$ x^2 $ + $ 4x $ + $ 3 $$の因数である。
//> また，$$ 5xy $$では$$ 5 $$，$$ x $$，$$ y $$，$$ 5x $$などが因数で，
//> $$ 3a $ (a+2) $$では$$ a $$，$$ 3(a+2) $$などが因数である。

;,また、教育出版の教科書では、索引で英語が併記されている：
;,数１
#code(nonumber){{{
 項　　　　term           ………………… 24, 71
}}}
数２
#code(nonumber){{{
 多項式　　polynomial     ………………… 13
 単項式　　monomial       ………………… 13
 定数項　　constant term  ………………… 13
 同類項　　similar terms / like terms … 15
}}}
数３
#code(nonumber){{{
 因数　　　factor         ………………… 24, 32
 因数分解　factorization  ………………… 24
 展開　　　expansion      ………………… 12
}}}

;,残念なことに、折角対応する英語を示しているのに、
;,教育出版の単項式は単なる項termに過ぎず、数字と文字の積からなるmonomialとは異なる、
;,そうすると多項式も単なる加算式に過ぎず、monomialの和であるpolynomialとは異なる。

%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
*** 啓林館2015#32：未来へひろがる 数学 1/2/3 [#d787e467]
- 出版：啓林館、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 732/832/932

;,数2のP15で単項式、多項式と項が定義されている：
>
>> 　$$ 3a $$，$$ xy $$，$$ p $$のように，
>> 数や文字についての乗法だけでできている式を，''単項式''といいます。
>> $$ c $$や$$ 500 $$のような，１つの文字や１つの数も単項式と考えます。
>
>> 　また，$$ 10a $ + $ 2b $$のように，
>> 単項式の和の形で表された式を''多項式''といい，
>> １つ１つの単項式$$ 10a $$，$$ 2b $$を，多項式$$ 10a $ + $ 2b $$の''項''といいます。

;,また、直後の例１は多項式の判定をせず、あくまでも項の判定に焦点を当てている：
> 問１＞ 多項式の項
> $$ 3a^2 $ - $ 2a $ + $ 1 $$は，$$ 3a^2 $ + $ ($ -2a $) $ + $ 1 $$と書けるから，
> 多項式$$ 3a^2 $ - $ 2a $ + $ 1 $$の項は，$$ 3a^2 $$，$$ ($ -2a $) $$，$$ 1 $$

;,このため、啓林館の教科書では、
;,単項式は演算、多項式は表現に基づく定義と解釈しても、直ちには矛盾は生じない。

;,数3のP16では、「展開する」が定義されている：
>
>>　このように，積の形で書かれた式を計算して，和の形で表すことを，もとの式を''展開''するといいます。
< 同じ数3のP24では、「因数分解」が定義されている：
>
> 　$$ (a+3) $ (a-3) $$は，展開すると$$ a^2 $ - $ 9 $$になります。
> これを逆にみると，$$ a^2 $ - $ 9 $$は，次のように積の形に表されます。
> 　　$$ a^2 $ - $ 9 $ = $ (a+3) $ (a-3) $$
>>　このとき，整数の場合と同じように，$$ (a+3) $$，$$ (a-3) $$を$$ a^2 $ - $ 9 $$の''因数''といいます。
>
>>　また，多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，
>>その多項式を''因数分解''するといいます。

;,このように、式の表現が問題となる展開と因数分解では、
;,明示的に表現であることを表す「和の形」と「積の形」を用いている。
;,そのため、啓林館の教科書では「多項式」の解釈は、確認できない。

%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
*** 数研2015#34：『改訂版 中学校 数学』 1/2/3 [#a77af4c4]
- 出版：数研出版、2015、教科書センター見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 734/834/934

;,数2のP16で、単項式、多項式と項が定義されている。
> 　$$ x^2 $$，$$ 3x $$のように，数や文字をかけ合わせてできる式を''単項式''という。
> $$ a $$，$$ -8 $$のように，１つの文字や数字も単項式である。
<
> 　また，$$ x^2 $ + $ 3 $$のように，単項式の和の形で表される式を多項式といい，
> その１つ１つの単項式を，多項式の''項''という。

;,直後の例１は多項式の判定をせず、あくまでも項の判定に焦点を当てている：
> 　$$ 2x^2 $ - $ 7x $ + $ + $ 4 $$は，$$ 2x^2 $ + $ ($ -7x $) $ + $ 4 $$と書けるから，
> ３つの項
> 　　$$ 2x^2 $$，　$$ -7x $$，　$$ 4 $$
> からできる多項式である。

;,このため、数研出版の教科書では、
;,単項式は演算、多項式は表現に基づく定義と解釈しても、直ちには矛盾は生じない。

;,数3のP26で、展開が定義されている：
> 　単項式と多項式の積，あるいは，多項式と多項式の積の計算をして，
> 単項式の和の形に表すことを，もとの式を''展開する''という。
// 下の図では、「多項式の積」と略している
<数3のP26とP27で、因数分解が定義されている：
> 　このように，１つの式が多項式や単項式の積の形に表されるとき，
> 積をつくっている１つ１つの式を，もとの式の''因数''という。
<
> 　多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，もとの式を''因数分解''するという。
> 因数分解は，展開を逆にみたものである。

%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
*** 日文2015#35：『中学数学』1/2/3 [#u6e1adf4]
- 出版：日本文教出版、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 735/835/935

;,数２のP12に単項式、多項式と項が定義されている：
>
>> 　$$ 4x $$や$$ ab $$，$$ x^2 $$のように，
>> 数や文字についての乗法だけでできている式を''単項式''といいます。
>> $$ x $$や$$ -1 $$のような，１つの文字や１つの数も，単項式と考えます。
>
>> 　一方，$$ 2x+1 $$のように，
>> ２つ以上の単項式の和の形で表される式を''多項式''といい，
>> １つ１つの単項式$$ 2x $$，$$ 1 $$を，多項式$$ 2x+1 $$の''項''といいます。
<
> $$ x $ - $ 1 $ = $ x $+ $ (-1) $$だから，$$ x $ - $ 1 $$も多項式です。
<多項式の定義に「２つ以上の単項式」とあるため、単項式を多項式に含めない立場と勘ぐれる。
;,しかし、$$ x $ - $ 1 $$を多項式と判定する理由に$$ x $ - $ 1 $ = $ x $+ $ (-1) $$を使うため、
;,同じ論法で、「$$ 4x $ = $ x $ + $ 3x $$だから，$$ 4x $$も多項式です。」と言えてしまう。

;,直後の例１は多項式の判定をせず、あくまでも項の判定に焦点を当てている：
> 例１ 多項式の項
> 多項式$$ 6ab $ - $ a^2 $$の項は，$$ 6ab $$，$$ -a^2 $$です。

;,このため、数研出版の教科書では、
;,単項式は演算、多項式は表現に基づく定義と解釈しても、直ちには矛盾は生じない。

#attachref(./中2文教P12図.PNG,right,around);
;,ただ、P12における導入では、
;,文字式の加算として$$($ 2x $ - $ 1 $)$ + $($ 2x $ + $ 1 $) $ = $ 4x $$が登場し、
;,$$($ 2x $ - $ 1 $)$ + $($ 2x $ + $ 1 $) $$は単項式か多項式かを
;,考えさせる良い機会を与えているのが興味深い。

;,また、P12では式の形に着目するよう促す誘導が成されている：
> ★ 文字式について，式の形や，かけ合わされた文字の個数に着目して調べましょう。

#clear

;,数３のP14では展開が定義されている：
>
>> 　単項式と多項式，または多項式と多項式の積の形でかかれた式を，
>> 単項式の和の形にかき表すことを，もとの式を''展開''するといいます。

;,数３のP26では因数と因数分解が定義されている：
> 
>> 　１つの多項式がいくつかの単項式や多項式の積の形に表せるとき，
>> そのおのおのの式を，もとの多項式の''因数''といいます。
>
>> 　また１つの多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，
>> もとの多項式を''因数分解''するといいます。

%bodynote
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** 高校教科書での定義 [#s2bb7e47]

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*** 東書2012：新編 数学 Ⅰ/Ⅱ [#v899e42b]
- 出版：東京書籍、2012、教科書センター用見本
- 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数Ⅰ302 / 数Ⅱ302

;,数ⅠのP6で、単項式と多項式、そして整式が定義されている：
> 　$$ 2x $$，$$ -3x^2 $$，$$ 4x^2y^3 $$のように，数，文字およびそれらの積として表される式を''単項式''という。
<
> 　単項式の和として表される式を''多項式''といい，その１つ１つの単項式を多項式の''項''という。
> 単項式と多項式を合わせて''整式''という。

;,その直後で、単項式と多項式の包含関係について別流派があると明記している。
> (注意) 単項式を項の数１つだけの多項式と考えることもできる。


;,数ⅠのP10に展開が定義されている：
> 　整式の積を単項式の和の形に表すことを''展開''するという。

;,数ⅠのP14に因数分解が定義されている：
> 　$$($ x+1 $)$($ x+2 $)$$を展開すると
> 　　$$ x^2+3x+2 $$
> になる。逆に，$$ x^2+3x+2 $$を
> 　　$$($ x+1 $)$($ x+2 $)$$
> のような積の形にすることを''因数分解''といい，
> $$ x+1 $$や$$ x+2 $$を$$($ x+1 $)$($ x+2 $)$$の''因数''という。
<
> 　すなわち，因数分解とは，与えられた整式を１次以上の整式の積の形に表すことである。

;,数ⅡのP31で除余の定理が与えられている：
> 　整式$$ P(x) $$を$$ x-a $$で割ったときの余りは$$ P(a) $$である。

;,数ⅡのP32で因数定理が与えられている：
> 　整式$$ P(x) $$が$$ x-a $$で割り切れる　$$ \Longleftrightarrow $$　$$ P(a) $ = $ 0 $$

;,このように、以後の説明では、多項式は基本的に登場せず、単項式と整式が多用される。
;,式の形に焦点を当てる場合は、「積の形」や「和の形」で明示的に記述している。

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*** 実教2012：新版 数学 Ⅰ/Ⅱ [#i4e7c626]
- 出版：実教出版、2012、教科書センター用見本
- 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数Ⅰ305 / 数Ⅱ305

;,数ⅠのP6で、単項式が定義されている：
> 　$$ 3x^2 $$や$$ \frac13a^2h $$のように，
> いくつかの数や文字の積の形で表されている式を''単項式''という。

;,数ⅠのP7で、多項式と整式が定義されている：
> 　$$ 2x $ + $ 3 $$や$$ 3x^2 $ - $ 4x $ + $ 5 $$のように，
> いくつかの単項式の和の形で表されている式を''多項式''といい，
> それぞれの単項式を''項''という。
<
> 　単項式と多項式を合わせて''整式''という。

;,数ⅠのP12に展開が定義されている：
> 多項式と多項式の乗法も，分配法則を用いて単項式の和の形に直すことができる。
> 　多項式と多項式の乗法も，分配法則を用いて単項式の和の形に直すことができる。
> 乗法により，整式の積を計算して単項式の和の形に直すことを''展開する''という。

;,数ⅠのP20に因数分解が定義されている：
> 展開とは逆に，
> 　展開とは逆に，
> １つの整式を２つ以上の整式の積の形にすることを，整式を''因数分解''するといい，
> 積をつくっているそれぞれの式を''因数''という。

;,数ⅡのP39で除余の定理が与えられている：
> 整式$$ P(x) $$を１次式$$ x-a $$で割ったときの余り$$ R $$は
> 　整式$$ P(x) $$を１次式$$ x-a $$で割ったときの余り$$ R $$は
> 　　$$ R $ = $ P(a) $$

;,このように、以後の説明では、多項式は基本的に登場せず、単項式と整式が多用される。
;,式の形に焦点を当てる場合は、「積の形」や「和の形」で明示的に記述している。

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*** 啓林館2012：新編 数学 Ⅰ/Ⅱ [#ydabfc0e]
- 出版：啓林館、2012、教科書センター用見本
- 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数Ⅰ309 / 数Ⅱ316

;,数ⅠのP10で、単項式が定義されている：
> $$ -3x^2 $$や$$ 4x^3 $$のように，
> 　$$ -3x^2 $$や$$ 4x^3 $$のように，
> 定数と$$ x $$をいくつか掛け合わている式を$$ x $$についての''単項式''という。

;,数ⅠのP11で、多項式と整式が定義されている：
> $$ 3x^2 $ - $ 2x $ + $ 1 $$のように，
> 　$$ 3x^2 $ - $ 2x $ + $ 1 $$のように，
> 単項式の和として表されている式を''多項式''といい，
> その１つ１つの単項式を，その多項式の''項''という。
<
> また，単項式と多項式を合わせて''整式''という。
> 単項式は項が１つの多項式と考えることができる。
> 　また，単項式と多項式を合わせて''整式''という。
> 　単項式は項が１つの多項式と考えることができる。

【MEMO】
- 「～についての単項式」という概念を教えている。$$ x $$はメタ文字の解釈となる。
- ＡとＢを合わせてＣ、ＡはＢの特例。→ Ｂ＝Ｃ？
;,このように、単項式と多項式の包含関係を明示している。


;,数ⅠのP16に展開が定義されている：
> 整式の積は，計算法則
> 　　$$ A $($ B $ + $ C $ $ = $ AB $ + $ AC $$
> 　　$$ A $ + $ B $)$ C $ $ = $ AC $ + $ BC $$
> 　整式の積は，計算法則
> 　　$$ A $($ B $ + $ C $)$ = $ AB $ + $ AC $$
> 　　$$($ A $ + $ B $)$ C $ = $ AC $ + $ BC $$
> を使って，単項式の和の形、すなわち，１つの多項式にすることができる。
> 　これを，整式の積を''展開する''という。

;,数ⅠのP20に因数分解が定義されている：
> 　整式の積$$($ x $ + $ 3 $)$($ x $ - $ 2 $)$$は，乗法公式を利用して，
> 　　$$($ x $ + $ 3 $)$($ x $ - $ 2 $)$ = $ x^2 $ + $ x $ - $ 6 $$
> と展開することができる。
> 　この展開を逆に見ると，
> 　　整式$$ x^2 $ + $ x $ - $ 6 $$が２つの整式$$ x $ + $ 3 $$と$$ x $ - $ 2 $$の積
> になっていることがわかる。
> 　このように，整式を２つ以上の整式の積の形にすることを$$ 因数分解 $$するといい，
> 　このように，整式を２つ以上の整式の積の形にすることを''因数分解''するといい，
> 積を構成する１つ１つのの整式を，もとの整式の''因数''という。

;,このように、「単項式の和の形」を「１つの多項式」と多項式を式の形として扱っている。

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*** 数研2012：新編 数学 Ⅰ/Ⅱ [#fa47072b]
*** 数研2012：新編 数学 Ⅰ/Ⅱ [#o25adf88]
- 出版：数研出版、2012、教科書センター用見本
- 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数Ⅰ312 / 数Ⅱ311

;,数ⅠのP6で、単項式が定義されている：
> 　$$ 3 $$，$$ x $$，$$ 2a $$，$$ (-5)x^2y $$などのように，
> 数や文字およびそれらを掛けただけで作られる式を''単項式''という。

;,数ⅠのP7で、多項式と整式が定義されている：
> 　$$ 5x^2 $ + $($ -4x $)$ + $ 2 $$のように，単項式の和として表される式を''多項式''といい，
> その１つ１つの単項式を，この多項式の''項''という。
> 　$$ 5x^2 $ + $($ -4x $)$ + $ 2 $$は，ふつう$$ 5x^2 $ - $ 4x $ + $ 2 $$と書く。
> 　単項式と多項式をあわせて''整式''という。

;,直後に、単項式を多項式の特例とする流儀について補足される：
> 補足　単項式を項が１つの多項式と考え，多項式を整式と同じ意味に用いることがある。

;,数ⅠのP11で、展開が定義されている：
> 　整式の積の形をした式について，その積を計算して１つの整式に表すことを，
> その式を''展開''するという。

;,数ⅠのP15で、因数分解が定義されている：
> $$ (x+2) $ (x+3) $$を展開すると，次の等式が成り立つことがわかる。
> 　　　　$$ x^2 $ + $ 5x $ + $ 6 $ = $ (x+2) $ (x+3) $$
> このように，１つの整式を１次以上の整式の積の形に表すことを，
> もとの式を''因数分解''するといい，積を作っている各式をもとの式の''因数''という。

;,数ⅡのP51では、除余の定理が定義されている：
> 剰余の定理
> 整式$$ P(x) $$を１次式$$ x-k $$で割った余りは，$$ P(k) $$に等しい。

;,このように、以後の説明では、多項式は基本的に登場せず、単項式と整式が多用される。
;,しかし、「１つの整式」とあるように、「整式」を式の形として用いられている。

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*** 数研2012：新 高校の数学 Ⅰ/Ⅱ [#o25adf88]
*** 数研2012：新 高校の数学 Ⅰ [#o25adf88]
- 出版：数研出版、2012、教科書センター用見本
- 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数Ⅰ314 / 数Ⅱ311
- 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数Ⅰ314

;,数ⅠのP10で、単項式と多項式、そして整式が定義されている：
> $$ 5x^3 $$，$$ -x^3 $$のように，文字や数をかけてできた式を''単項式''といいます。
<
> $$ x^2 $ + $ 3x $ + $ 2 $$のように，いくつかの単項式をたしてできた式を''多項式''といいます。
<
> 多項式のことを，''整式''ともいいます。

【MEMO】
- 単項式を多項式の特例とする流儀について言及せず
- 整式を多項式の別名として定義している
;,単項式の定義が「かけてできた式」と演算に基づくのと同じく、
;,多項式の定義も「たしてできた式」と演算に基づいでいることに注意。
;,それに相応しく、単項式を多項式に含ませる立場を取り、整式を多項式の別名として定義している。

【TODO】
- 新 高校の数学 Ⅰ／Ⅱを見直せ
- 必要とあれば他の出版社の別名教科書も当れ
;,このように、&font(#C00){同じ出版社の教科書でも、シリーズが異なれば流派が異なる};。
;,このため、出版社に問い合せる際、教科書単位まで限定する必要がある。

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*** 第一2012：高等学校 新編 数学 Ⅰ/Ⅱ [#g6dc786a]
- 出版：第一学習社、2012、教科書センター用見本
- 検定：高等学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数Ⅰ316 / 数Ⅱ315

;,数ⅠのP2で、単項式が定義されている：
> 　$$ 2x^2 $$，$$ 4xy $$のように，いくつかの文字や数字の積として表される式を''単項式''という。

;,数ⅠのP3で、多項式と整式が定義されている：
> 　$$ x^2 $ + $ 2x $ + $ 1 $$のように，いくつかの単項式の和として表される式を''多項式''といい，
> 各単行式をその多項式の''項''という。
> 　単項式と多項式を合わせて''整式''という。

;,単項式の定義が「いくつかの～の積として表される式」と同じく、
;,多項式の定義が「いくつかの～の和として表される式」と定義されているのに注目。
;,そのため、以下２つの命題はと同じ解釈される必要がある。
- １つの文字である$$ x $$は単項式である
- １つの単項式である$$ 2x $$は多項式である

;, 第一の教科書は以下の３通りの可能性が考えられる：
- 他の教科書と異なり、１つの文字である$$ x $$や１つの数字である「2」は単項式に含まれない。
- 単項式は多項式の特例とする立場である。
- 同じ形式の定義にも関わらず、異なる包含関係の解釈を求める矛盾を抱えている。

;,数ⅠのP7で展開が定義されている：
> 　整式の積で表された式を計算し，１つの多項式に表すことを，その式を''展開''するという。

;,数ⅠのP12で因数分解が定義されている：
> $$ (x+1) $ (x+2) $$を展開すると，$$ x^2 $ + $ 3x $ + $ 2 $$となるから，等式
> 　　　　$$ x^2 $ + $ 3x $ + $ 2 $ = $ (x+1) $ (x+2) $$
> が成り立つ。
> 　このように，整式をいくつかの整式の積の形に表すことを，
> 整式を''因数分解''するといい，積を作っているそれぞれの整式をもとの整式の''因数''という。

;,数ⅡのP49で因数定理が定義されている：
> 因数定理
> $$ x-\alpha $$は整式$$ P(x) $$の因数である$$ \Longleftrightarrow $ P(\alpha) $ = $ 0 $$

;,展開の定義で「整式」と区別して「１つの多項式」とあるように、第一学習社の教科書では、
;,多項式を式の形で捉え、和の形の意味で用いられている。
;,そのため、$$ x $$と$$ 2 $$を単項式としない立場か、矛盾を抱えることとなる。

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* 代数学教科書での定義 [#wf47a435]
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***[共立2000]：『共立講座 21世紀の数学⑨ 代数と数論の基礎』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614)) [#v7b17a6b]
- 著者：中島 匠一、共立出版 2000年11月25日 初版1刷発行

;,『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
;, P102、§2.3.1「1変数の多項式環」にて「多項式」を以下のように定義している：
> $$ R $$を環とする。$$ R $$の元を係数とする変数$$ T $$の''多項式''(polynomial)とは
>　　$$ f(T) $ = $ a_n $ T^n $ + $ a_{n-1} $ T^{n-1} $ + $ \cdots $ + $ a_1 $ T $ + $ a_0 $$（$$ n \geq 0 $,$ a_0 $,\cdots,$ a_n $ \in $ R $$）　(2.7)
> という式のことである。

;,$$ f(T) $$の$$ j $$次の係数(coefficient of degree $$ j $$)や定数項(constant term)を定義した後、
;,以下のように補足し、多項式の特例として定数多項式を定義している：
> 　　(2.7)は$$ f(T) $ = $ \sum_{j=0}^n $ a_j $ T^j $$
> とも表せる。ここで$$ n =  0 $$の場には$$ f(T) $ = $ a_0 $$（$$ \in $ R $$）となり
> 変数$$ T $$が登場しないが，これも多項式とみなす（定数多項式）。

;,同様に、多項式の特例として、単項式を以下のように定義している：
> (2.7)に現れる１つ１つの項$$ a_j $ T^j $$は''単項式''(monomial)と呼ばれる。
> 「単項式」をいくつか足し合わせてできるものが「多項式」というわけである。
> ただし，(2.7)で項が１つだけの場合（すなわち，単項式）も多項式とみなすのが数学の習慣であるので，
> 誤解のないように。

;,その上で、わざわざ脚注25)を加えている：
> １つしかないものに「多」という言葉は使わないのが“日常語”の常識だろうが、
> そうすると(2.7)を見たときにいちいち“単項式または多項式”と言わねばならず，非常に不便である。
> それで，単項式も多項式に含めておくほうが得策だ，というわけである。

;,『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める：
- 多項式は変数$$ T $$に関する式である。
- その「式」とは、式(2.7)そのものである。
- 「式そのもの」とは、式(2.7)に対し、式として等価な全ての式が「多項式」と呼べることを意味する。

;,その結果、定数多項式も単項式も自ずと多項式に含まれる。
;,このような数学書を読めるためには、以下の事実を知る必要がある：
- 「多」が付くからって必ずしも「２以上」を意味するとは限らない。
- 「いくつか」と書いたからって「１つや０つでなく２つ以上』とは限らない。
- 式(2.7)で定義されても、(2.7)にそっくりな形＝同じ記号列であるとは限らない。
//((記号列の定義であれば、「表記の分類である」と明言する必要がある。))。

%bodynote
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***[日評2009]：『代数入門』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81-%E3%82%A4%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BBR/dp/4535784000/ref=sr_1_7?s=books&ie=UTF8&qid=1459374770&sr=1-7&keywords=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80)) [#g413077f]
- 訳者：蟹江 幸博((書面印字では「蟹」は「鮮」の下に「虫」。))、日本評論社、2009年8月15日 第1版第1刷発行
- 英語版：“Discourses on Algebra”((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/Discourses-Algebra-Universitext-Igor-Shafarevich-ebook/dp/B000PY49O4/ref=sr_1_3?s=digital-text&ie=UTF8&qid=1459374941&sr=1-3))
-- 著者：Igor R. Shafarevich、Springer出版 2003年

;,“Discourses on Algebra”はロシアで書かれた大学用教科書である((本人は序文で「本書を教科書であると言うつもりはない。」とは言っているが、英語版は間違いなくSpringerのUniversitextに収録されている。))。
;,P26 §1.3「素因数分解」の最後に、第2章「多項式の基本性質」への序説として、単項式や多項式を定義している：
> $$ ax^k $$という形の表示を、$$ a $$が数で、$$ x $$が未知数で、$$ k $$が自然数か0であるときに、
> ''単項式''と言う（$$ k=0 $$のときは単に$$ a $$と書く）。

> 単項式の和を''多項式''という。

;,「単項式の和を多項式という」という文言は簡潔で、日本の学校教科書と同じ言い回しとなる。
;, しかし、以下の補足説明によって「単項式は多項式に含まれない」よいう表層だけの読み方が否定される：
> 次数$$ n $$の多項式は
> 　　$$ f(x) $ = $ a_0 $ + $ a_1 $ x $ + $ \cdots $ + $ a_n $ x^n $$
> という一般形を持つ。

> $$ n=0 $$であれば、多項式は数$$ a_0 $$と一致する。そのような多項式を定数という。

;,つまり、式「$$ a_0 $$」は定数であり、多項式である。
;,一方で、「一般形」という言葉は$$ a_0 $ + $ a_1 $ x $ + $ \cdots $ + $ a_n $ x^n $$の表現を表す名前である。

;,同様に、$$ a_n $$以外の係数が全て$$ 0 $$であれば、多項式$$ f(x) $$は式$$ a_n $ x^n $$と一致する。そのような多項式を単項式となる。
;,つまり、「$$ a_n $ x^n $$」は単項式であり、多項式でもある、という見方になる。


%bodynote

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***[岩波1999?]：『現代数学への入門 代数入門１』 [#mbf88a83]
- 著者：上野健爾、岩波書店 ????年??月??日 ??版?刷発行
【TODO】引用情報を探せ

;,『代数入門１』は「代数を通した現代数学への入門書」である。
;,高校数学の「数と式」を扱うのが代数入門１、これを深めたが代数入門２である。

;,P86、第３章「多項式と方程式」(a)１変数多項式の節で、多項式と単項式が定義される：
> 変数$$ x $$と定数$$ a_0 $$，$$ a_1 $$，…，$$ a_n $$とから作られる式
> 　　$$ a_0 $ + $ a_1 $ x $ + $ a_2 $ x^2 $ + $ \dots $ + $ a_n $ x^n $$
> を$$ x $$の''多項式''(polynomial)と呼ぶ．
<
>$$ 3x^2 $$のよにただ１つの項からなる多項式を''単項式''(monomial)という．
>多項式は単項式の有限個の和であると考えることもできる．

//> 多項式では，その係数が0である項$$ 0x^m $$はその項がないものと考える．
//> 例えば、$$ 3 $ + $ 2x $ + $ x^3 $$と$$ 3 $ + $ 2x $ + $ 0x^2 $ + $ x^3 $$とは同じ多項式であると考える．

%bodynote

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***[裳華1983]：『基礎の数学』((http://www.amazon.co.jp/%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E7%9F%A2%E9%87%8E-%E5%81%A5%E5%A4%AA%E9%83%8E/dp/4785310596/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1461109517&sr=1-1&keywords=%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6)) [#jf467e06]
- 著者：矢野 健太郎、石原 繁、裳華房 2011年2月10日 第27版3刷発行

;,『基礎の数学』は「高等専門学校でのカリキュラムを効率よく学習」できるように編集されている。

;,P1の第１章「式の計算」§１整式で単項式と多項式が定義されている：
> いくつかの数と文字を掛け合わせて得られる式を''単項式''という．
<
> いくつかの単項式の和の形で表された式を''多項式''という．

;,P2で整式が定義されている：
> 単項式と多項式を合わせて''整式''という．
> また，用語「多項式」と「整式」を同じ意味に用いる．

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***[朝倉2013]：『関数事典』((http://www.amazon.co.jp/%E9%96%A2%E6%95%B0%E4%BA%8B%E5%85%B8-Keith-B-Oldham/dp/4254111363/ref=sr_1_2?s=books&ie=UTF8&qid=1461184861&sr=1-2&keywords=%E9%96%A2%E6%95%B0%E4%BA%8B%E5%85%B8)) [#y636cf90]
- 監訳：河村 哲也、朝倉書店、2013年12月10日 第1版第1刷発行
- 英語版：“An Atlas of Functions Secound Edition”((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/An-Atlas-Functions-Function-Calculator/dp/0387488065))
-- 著者：Keith B. Oldham、Jan Myland、Jerome Spanier、Springer出版 2009年（2008/12/29）

17章「多項式関数」17:1節「記法」で多項式が定義される：
> 　多項式関数は単に''多項式''とよばれることが多い，他の同義語は''積分関数''である。
> 　本書では一般的な記法
>
> 17:1:1　　　　$$ \mathrm{P}_n(x) $ = $ a_n $ x^n $ + $ a_{n-1} $ x^{n-1} $ + $ \cdots $ + $ a_1 $ x $ + $ a_0 $ = $ \sum_{j=0}^{n} $ a_j $ x^j $$　　　　$$ a_n $ \neq $ 0 $$
>
> を変数$$ x $$，次数$$ n $$の多項式関数を表すのに用いる．
//> $$ a $$は多項式の''係数''であるが，本章では実数とする．
//> $$ n+1 $$個の係数があるが，そのうち($$ a_n $$ではない)いくつかの係数が$$ 0 $$のこともある．
//> 17:1:1において$$ + $$で結ばれたもの，典型的には$$ a_j $ x^j $$は''項''とよばれる．

17:3節「定義」では多項式の別の表記が定義されている：

> ''連鎖の形''
>
> 17:3:1　　　　$$ \mathrm{P}_n(x) $ = $ a_0 $ + $ x $ \!\bigg( $ a_1 $ + $ x^{n-1} $ + $ x $ \!\Big( $ a_2 $ + $ x $ \!\big( $ \cdots $ + $ x $($ a_{n-2} $ x $($ a_{n-1} $ + $ x $ a_n $))\big)\!\Big)\!\!\bigg) $$
>
> で多項式関数を書き直すと，乗法と加法の算術演算で多項式関数を定義できる．
> この連鎖は「入れ子の和」としても記述できる．
> $$ n $$個の線形関数の積は$$ n $$次多項式をつくる．
>
> 17:3:2　　　　$$ \prod_{j=1}^{n} $ \big( $ bx $ + $ c_j $ \big) $ = $ \mathrm{P}_n(x) $$　　　　$$ b = (a_n)^{\frac1n} $$
>
> ただし，$$ c_j $$が実数の場合は，すべての多項式がこのように定義できるとは限らない．
> しかし，それぞれの$$ r $$が実数の$$ 0 $$点または複素数の$$ 0 $$点としたとき，$$ n $$次のすべての多項式は，
> 
> 17:3:3　　　　$$ \mathrm{P}_n(x) $ = $ a_n $($ x $ - $ r_1 $)($ x $ - $ r_2 $)$ \cdots $($ x $ - $ r_i $)$ \cdots $($ x $ - $ r_n $)$ = $ a_n $ \prod_{j=0}^{n} $ x $ - $ r_j $$
> 
> の形の$$ n $$個の積によって定義される．

多項式の表記は、17:1:1の「一般的な記法」の他に、「連鎖の形」として「入れ子の和」と「$$ n $$個の積」もある。
なお、この本では「単項式」が定義されない。

%bodynote
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***[森北1989]：『マグロウヒル 英和 物理・数学用語辞典』((http://www.amazon.co.jp/%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%A6%E3%83%92%E3%83%AB%E8%8B%B1%E5%92%8C-%E7%89%A9%E7%90%86%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E8%BE%9E%E5%85%B8-Daniel-N-Lapedes/dp/4627150709)) [#y0fe7616]
- 監訳：小野 周、一松 信、竹内 啓、森北出版 1991年5月1日 第1版第2刷発行
- 英語版：“McGraw-Hill Dictionary of Physics and Mathematics”((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/McGraw-Hill-Dictionary-Physics-Mathematics/dp/0070454809/ref=sr_1_cc_1?s=aps&ie=UTF8&qid=1461187471&sr=1-1-catcorr&keywords=Daniel+N.+Lapedes))
-- 著者：McGraw-Hill、Daniel N. Lapedes(編集)、Mcgraw-Hill(Tx)出版1978/6）

> ''polynomial'' ''多項式'' [数] 
> $$ x_1 $$，$$ x_2 $$，$$ \cdots $$，$$ x_n $$の多項式とは，$$ b $ x_1^{p_1} $ x_2^{p_2} $ \cdots $ x_n^{p_n} $$の形の項の有限和である．
> ここに$$ b $$はある数，$$ p_1 $$，$$ \cdots $$，$$ p_n $$は整数．

> ''monomial'' ''単項式'' [数]
> 項が１つのみの多項式．


> ''multinomial'' ''複項式'' ''多項式'' [数]
> 少なくとも２つの項の和を含む代数式．

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***[朝倉2005]：『現代物理学ハンドブック』((http://www.amazon.co.jp/%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E7%89%A9%E7%90%86%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%96%E3%83%83%E3%82%AF-%E6%96%B0%E4%BA%95-%E6%9C%9D%E9%9B%84/dp/4254130937/ref=sr_1_4?s=english-books&ie=UTF8&qid=1461188157&sr=8-4&keywords=%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%96%E3%83%83%E3%82%AF)) [#w1211dec]
- 著者：新井朝雄、朝倉書店 2005年5月25日 初版第1刷

P9の1.2「写像」で単項式と多項式が定義される：

> 例1.22　各非負整数$$ n $ \in $ {0} $ \cup $ \mathbb{N} $$に対して
>
> 　　　　$$ p_n(t) $ := $ t^n $$，　　$$ t $ \in $ \mathbb{R} $$
>
> によって定義される写像$$ p_n $ : $ \mathbb{R} $ \to $ \mathbb{R} $$は''$$ n $$次の単項式''とよばれる．
> 　$$ N $$を自然数，$$ a_n $ \in $ \mathbb{R} $ \; $($ n $ = $ 0 $$，$$ \cdots $$，$$ N $)$$を実定数とするとき
>
> 　　　　$$ P $ = $ \sum_{n=0}^N $ a_n $ p_n $$
>
> という型の関数を$$ N $$次の''多項式''(polynomial)という．

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***[朝倉2000]：『<生涯学習>はじめからの数学２ 式について』((http://www.amazon.co.jp/%E5%BC%8F%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6-%E7%94%9F%E6%B6%AF%E5%AD%A6%E7%BF%92%E3%83%BB%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E5%BF%97%E8%B3%80-%E6%B5%A9%E4%BA%8C/dp/4254115326/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1461190216&sr=8-1&keywords=%3C%E7%94%9F%E6%B6%AF%E5%AD%A6%E7%BF%92%3E%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%EF%BC%92+%E5%BC%8F%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6)) [#ea99b6fe]
- 著者：志賀 浩二、朝倉書店 2000年5月

P9、P10で単項式と多項式、整式が定義されている：
> 　さて，ここで$$ (a+b)^3 $$の展開式を例として用いながら，
> 少し数学の言葉づかいについて述べてみたいと思います．
> そのため改めて，上の結果を
> 　　　　$$ (a+b)^3 $ = $ a^3 $ + $ 3a^2b $ + $ 3ab^2 $ + $ b^3 $$　　　　　　(1)
> と書いておきます．
> この右辺に現れた式を見ると，これはかけ算だけで１つにまとめられた４つの文字式
> 　　　　$$ a^3 $$，$$ 3a^2b $$、$$ 3ab^2 $$、$$ b^3 $$　　　　　　(2)
> が，和の記号$$ + $$で結ばれており，これが$$ (a+b)^3 $$を表しているということになっています．
> これは，$$ a^3 $$，$$ 3a^2b $$、$$ 3ab^2 $$、$$ b^3 $$という‘語’が，$$ + $$で結ばれ，
> これが１つのセンテンスをつくって，$$ (a+b)^3 $$を表していると見ることもできるでしょう．

> 　もっとも，(2)のそれぞれ独立した式と見ることもできます．
> このときには，これらの式は''単項式''といいます．
> 単項式はいわば１語からなっている文書といってよいようなものです．

> 　それに対して
> 　　　　$$ a^3 $ + $ 3a^2b $ + $ 3ab^2 $ + $ b^3 $$
> という式は，いくつかの単項式を足して寄せ集めることでつくられています．
> この意味で，このような式を''多項式''，または''整式''といいます．

そして、P10の傍注で多項式と単項式の包含関係が補足されている：
> 多項式で項が１の場合が単項式であると考えると，
> 多項式の中には単項式も含まれることになります．

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***[ｻｲｴﾝ2006]：『国語式数学Ⅰ～一歩進んだ高校数学～』((http://www.amazon.co.jp/%E5%9B%BD%E8%AA%9E%E5%BC%8F%E6%95%B0%E5%AD%A6%E2%80%95%E4%B8%80%E6%AD%A9%E9%80%B2%E3%82%93%E3%81%A0%E9%AB%98%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6-1-%E9%95%B7%E8%B0%B7%E5%B7%9D-%E8%B2%B4%E4%B9%8B/dp/4860790251?ie=UTF8&keywords=%E5%9B%BD%E8%AA%9E%E5%BC%8F%E6%95%B0%E5%AD%A6&qid=1461190154&ref_=sr_1_1&sr=8-1)) [#k934ed1a]
- 著者：長谷川 貴之、サイエンティスト社 2006年4月

;,『国語式数学』は文部科学省の国費学部留学生のために著者が作った数学教科書（非売品）を原型とし、
;,一度高等学校の数学を学んでいる読者を想定した教科書です。

第2章「等式と不等式」2.1節「整式」2.1.1「整式と次数」で単項式と多項式、整式が定義されている：
> 　有限個の数と有限個の文字を掛け算だけでつないだ式を''単項式''と呼びます．
<
> ２個以上の有限個，単項式を加えたものを，''多項式''と言います．
> また，単項式と多項式を''整式''と総称します．

「整式」の脚注で別流派の定義について補足されている：
> 単項式を多項式の一種とみなし，「整式」と言うべところを「多項式」と言うこともあります．

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***[日評]：『算数・数学活用事典』((http://www.amazon.co.jp/%E7%AE%97%E6%95%B0%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%B4%BB%E7%94%A8%E4%BA%8B%E5%85%B8-%E6%AD%A6%E8%97%A4-%E5%BE%B9/dp/4535787174/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1461191206&sr=1-1&keywords=%E7%AE%97%E6%95%B0%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%B4%BB%E7%94%A8%E4%BA%8B%E5%85%B8)) [#t2837e4d]
- 著者：武藤 徹、三浦 基弘、日本評論社、2014/9/19

;,『算数・数学活用事典』は、自然や社会を支配している法則を知るために法則の土台である数学について、
;,数学で用いられる難しい言葉や記号を回避した手軽な事典である。

P46の１章「等式・方程式」で多項式と単項式、整式が定義されている。
> 　数と文字の和と積で作られる文字式を，''多項式''(polynomial)といいます．
> 特に，数だけ，あるいは数と文字の積だけの場合は，''単項式''(monomial)といいます．
> 　単項式と多項式を合わせて''整式''(integral expression)と呼ぶ場合もありますが，
> 通常は単項式は多項式の特殊の場合であると考えます．
> したがって，整式と多項式は，同義語です．

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***[講談1999]：『数学英和小辞典』((http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%8B%B1%E5%92%8C%E5%B0%8F%E4%BA%8B%E5%85%B8-KS%E7%90%86%E5%B7%A5%E5%AD%A6%E5%B0%82%E9%96%80%E6%9B%B8-%E9%A3%AF%E9%AB%98-%E8%8C%82/dp/4061539566/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1461269425&sr=1-1&keywords=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%8B%B1%E5%92%8C%E5%B0%8F%E8%BE%9E%E5%85%B8)) [#ic3194c0]
- 著者：飯高 茂、松本 幸夫、岡部 常治、講談社、1999/9/30 第1刷

> ''term''　''項''，'単項式''（こう，たんこうしき）

> ''monomial''　''単項式''（たんこうしき）
> 項が１つしかない式．term．

> ''polynomial''　''多項式''，''整式''（たこうしき，せいしき）
> 可換環(commutative ring)$$ R $$の元$$ a_0 $$，$$ a_1 $$，$$ \cdots $$，$$ a_n $$と変数$$ x $$から構成された
> 式$$ a_0 $ x^n $ + $ a_1 $ x-{n-1} $ + $ \cdots $ + $ a_n $$を$$ R $$係数($$ R $$上)の$$ n $$次多項式という．
> 一般に$$ m $$個の変数$$ x_1 $$，$$ \cdots $$，$$ x_m $$の$$ R $$係数の単項式の和$$ \textstyle\sum $ a_{r_1r_2\cdots r_m} $ x_1^{r_1} $ x_2^{r_2} $ \cdots $ x_m^{r_m} $$を
> $$ x_1 $$，$$ \cdots $$，$$ x_m $$に関する$$ R $$係数の$$ m $$変数多項式という．

////////////////////////////////////////////////////////////////
***[東洋館2000]：『和英／英和 算数・数学 用語活用辞典』((軽装版：http://www.amazon.co.jp/%E8%BB%BD%E8%A3%85%E7%89%88-%E5%92%8C%E8%8B%B1-%E8%8B%B1%E5%92%8C-%E7%AE%97%E6%95%B0%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E6%B4%BB%E7%94%A8%E8%BE%9E%E5%85%B8/dp/4491029296)) [#xed28efe]
- 編集：日本数学教育学会、東洋館出版社、2000/8/18 初版第1刷

;,『和英／英和 算数・数学 用語活用辞典』は算数・数学の諸概念に関する対訳形式の辞典である。

#column
> ''3-4 整式''
<
>【解説】 ①$$ 5x^2 $ - $ 4x $ + $ 3 $$のように，
> ''単項式''$$ 5x^2 $$，$$ -4x $$，$$ 3 $$の
> 和になっている式を''多項式''という．
> 　
> ②単項式と多項式をあわせて''整式''という．
> 　

#column
> Polynomial
<
>【Expression】 ①A ''polynomial expression''
> is an expression which consists of a sum of
> ''monomials'' ''$$ 5x^2 $$, $$ -4x $$, $$ 3 $$, such as
> $$ 5x^2 $ - $ 4x $ + $ 3 $$.
>
> ②An ''integral expression''
> is a monomial or a polymial.
#column

#column
> ''3-5 整式の加法・減法''
<
>【解説】 ①''整式の加法''は，
> ''交換法則''，''結合法則''，''分配法則''を使い，
> ''同類項''どうしをまとめて簡単にすればよい．
> ②''整式の減法''は，
> ひく式の各項の符合を変え，
> 加法の式に直して計算する．
> 　　　　　$$ ($ a $ +  $ b $ + $ c $) $ - $ ( $ a $ - $ b $ - $ c $ ) $$
> 　　　　＝$$ a $ +  $ b $ + $ c $ - $ a $ + $ b $ + $ c $$

#column
> Addtion and Substraction of Polynomials
<
>【Expression】 ①The ''addtion'' of two
>  ''polynomials'' can be found using
> the ''mutative'', ''associative'', and
> ''distributive laws''. The sum is simplified
> by combining ''similar terms''.
> ②To ''subtract polynomials'' we add the opposite of each negative term
> to positive term. (see to the left hand.)

#column

//#column
//> ''3-6 整式の乗法・除法''
//<
//>【解説】 ①''単項式''と単項式との乗法を行う
//> には''係数''の積と''文字''どうしの積とを求めて，
//> それらをかければよい．
//> ②単項式を単項式でわる除法を行うには，
//> 式を''分数の形''にして簡単にすればよい．
//> ③単項式と''多項式''，多項式と多項式との乗法を行うには，
//> ''分配法則''を使って，一方の式の各項に，他方の式の各項を順次かけて，
//> それらを加えればよい．（用例③参照）
//> ④多項式を多項式でわる除法は，
//> 整数の除法と同じ方法で行う．
//> 　
//
//#column
//> Multiplication and Division of Polynomials
//<
//>【Expression】 ①The multiply ''monomials'' 
//> you may multiply the priduct of ''coefficients''
//> by that of ''letter factors''
//> ②To divide a polynomial by a polynomial,
//> you put them in ''fractoinal form'',
//> then simplify them.
//> ③To multiply one ''polynomial'' by another,
//> using the ''distributive law'',
//> you multiply each term of one polynomial
//> by each term of the other and then
//> add the products <see 【usage】③>.
//> ④When dividing polynomials, you follow
//> a similar pattern to the division of integers.
//
//#column

////////////////////////////////////////////////////////////////
***[アルク2009]：『英和 学習基本用語辞典 数学』（新装版）((http://www.amazon.co.jp/%E6%96%B0%E8%A3%85%E7%89%88-%E8%8B%B1%E5%92%8C%E5%AD%A6%E7%BF%92%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%94%A8%E8%AA%9E%E8%BE%9E%E5%85%B8-%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E7%95%99%E5%AD%A6%E5%BF%9C%E6%8F%B4%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA-%E8%97%A4%E6%BE%A4/dp/4757415729/ref=sr_1_4?s=books&ie=UTF8&qid=1461272814&sr=1-4&keywords=%E8%8B%B1%E5%92%8C+%E5%AD%A6%E7%BF%92%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%94%A8%E8%AA%9E%E8%BE%9E%E5%85%B8)) [#c8805a46]
- 編集：藤澤 皖、高橋伯也、アルク、2009/4/10

;,『英和 学習基本用語辞典 数学』は海外子女や留学生向けに書かれた辞書です。
;, 英米の教科書に登場する数学用語、統一テストでの必須用語が対象とされる。

> ''term''　　''項''，''述語''．
> 式において，文字と数を掛け合わせてできる１つ１つのまとまりを“項(term)”という．
> たとえば，$$ 4x^2 $ - $ 5x $ + $ 3 $$の項は$$ 4x^2 $$，$$ -5x $$，$$ 3 $$である．
> 特に，数だけからなる項($$ 5 $$)を定数項(constant term)という．
> また，述語とか用語の意味もあり，専門用語(technical terms)などという．

> ''monomial''　　''単項式の''．''単項式''．
> ただ１つの項からなる式を“単項式(monomial)”という．
> たとえば，$$ 2x $$，$$ 4y^3 $$などは単項式である．

> ''polynomial''　　''多項式''，''整式''．
> いくつかの単項式(monomial)の和で表される式を“多項式(polynomial)”という．
> $$ 2x $$，$$ 3x^2 $$などは単項式である．その和である$$ 2x $ + $ 3x^2 $$は多項式である．
> このとき，$$ 2x $$，$$ 3x^2 $$は項(term)という．
> 特に，２項からなる多項式は２項式(binomial expression)，
> ３つの項からなる多項式は３項式(trinominal)という．

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***[朝倉2011]：『数学辞典』（普及版）((http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%BE%9E%E5%85%B8-%E4%B8%80%E6%9D%BE-%E4%BF%A1/dp/4254111312/ref=sr_1_21?s=books&ie=UTF8&qid=1461274014&sr=1-21&keywords=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%BE%9E%E5%85%B8)) [#ac95f3dc]
- 監訳：一松 信、伊藤 雄二、朝倉書店、2011/4/25 普及版第1刷
- 英語版：“Mathematics Dictionary”((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/Mathematics-Dictionary-R-C-James/dp/0412990415))
-- 著者：James and James, Springer出版1992/1/15）

> ■''単項式'' monomial
> 　数と変数の積であるただ１つの項からなる式．

> ■''多項式'' polynomial
> 　''１変数$$ n $$次多項式''(通常，単に''多項式''という)とは
> $$ a_0 $ x^n $ + $ a_1 $ x^{n-1} $ + $ \cdots $ + $ a_n $$の形の代数的表現（詳しくは整有理的代数表現）である．
> ここで，$$ a_i $$($$ i = $ 0 $$，$$ 1 $$，$$ \cdots $$，$$ n $$)は複素数（実数でも虚数でもよい）で，$$ n $$は非負整数である．
> 定数は次数$$ 0 $$の多項式である．ただし，定数$$ 0 $$の次数は定義しない（しいて定義すれば$$ -\infty $$である）．
> 次数が$$ 1 $$，$$ 2 $$，$$ 3 $$，$$ 4 $$であるのに応じて，多項式を$$ 1 $$次式，$$ 2 $$次式，$$ 3 $$次式，$$ 4 $$次式などという．
> ''多変数多項式''は，定数といくつかの変数の累乗の積を項とする和の表現である．
> 係数がすべて整数，有理数，実数である多項式を，
> それぞれ''整数上''，''有理数上''，''実数上''の多項式という．
> $$ 853 $$の''多項式形式''または''展開形式''は$$ 8 $ \cdot $ 10^2 $ + $ 5 $ \cdot $ 10 $ + $ 3 $ \cdot $ 1 $$である．


////////////////////////////////////////////////////////////////
* 海外の学校教育 [#w498e8df]

////////////////////////////////////////////////////////////////
** アメリカ or イギリス、フランス、ドイツ [#r6e75acc]
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 中国 or 韓国？ [#i5ab138f]


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教育多項式 のバックアップ差分(No.29)

教育多項式のバックアップ差分(No.29)
