教育多項式のバックアップ(No.3)

概要

2016年現在、中学校・高校でいう「多項式」と、数学で扱う「多項式」の意味が異なっている。
昔から気づいていたものの、大した害も無かろうと高を括っていた。
しかし、こういうのが中学校・高校や、高校・大学の壁に繋がる。

そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。
調査結果を以下に綴る。

『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
P102、§2.3.1「1変数の多項式環」にて「多項式」を以下のように定義している：

を環とする。の元を係数とする変数の多項式(polynomial)とは
　　 $a_{n-1}$ $T^{n-1}$ $\cdots$ （ $n \geq 0$ $,\cdots,$ $\in$ ）　(2.7)
という式のことである。

$$ f(T) $$ の $$ j $$ 次の係数(coefficient of degree $$ j $$ )や定数項(constant term)を定義した後、
以下のように補足し、多項式の特例として定数多項式を定義している：

　　(2.7)は $\sum_{j=0}^n$
とも表せる。ここでの場には（ $\in$ ）となり
変数が登場しないが，これも多項式とみなす（定数多項式）。

同様に、多項式の特例として、単項式を以下のように定義している：

(2.7)に現れる１つ１つの項は単項式(monomial)と呼ばれる。
「単項式」をいくつか足し合わせてできるものが「多項式」というわけである。
ただし，(2.7)で項が１つだけの場合（すなわち，単項式）も多項式とみなすのが数学の習慣であるので，
誤解のないように。

その上で、わざわざ脚注25)を加えている：

１つしかないものに「多」という言葉は使わないのが“日常語”の常識だろうが、
そうすると(2.7)を見たときにいちいち“単項式または多項式”と言わねばならず，非常に不便である。
それで，単項式も多項式に含めておくほうが得策だ，というわけである。

『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める：

その結果、定数多項式も単項式も自ずと多項式に包まれる。
このため、義務教育を卒業した人であれば、以下の事実を知って欲しいものだ：

“Discourses on Algebra”はロシアの大学用教科書である*6。
P26 §1.3「素因数分解」の最後に、第2章「多項式の基本性質」への序説として、単項式や多項式を定義している：

という形の表示を、が数で、が未知数で、が自然数か0であるときに、
単項式と言う（のときは単にと書く）。

単項式の和を多項式という。

これは一見、「表示」に関する定義のように見えるが、以下の補足説明で否定される：

次数の多項式は
　　 $\cdots$
という一般形を持つ。

であれば、多項式は数と一致する。そのような多項式を定数という。

つまり、式「 $$ a_0 $$ 」は定数であり、多項式である。
一方で、「一般形」という言葉は $$ + $$ $$ a_1 $$ $$ x $$ $$ + $$ $\cdots$ $$ + $$ $$ a_n $$ $$ x^n $$ の表現を表す名前である。

同様に、 $$ a_n $$ 以外の係数が全て0であれば、多項式 $$ f(x) $$ は単項式 $$ x^n $$ と一致する。
つまり、「」は単項式であり、多項式である、と読める。