教育多項式のバックアップ差分(No.3)

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/教育多項式【執筆中】
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* 概要 [#l5264d7b]

;,2016年現在、中学校・高校でいう「多項式」と、数学で扱う「多項式」の意味が異なっている。
;,昔から気づいていたものの、大した害も無かろうと高を括っていた。
;,しかし、こういうのが中学校・高校や、高校・大学の壁に繋がる。

;,そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。
;,調査結果を以下に綴る。

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* 教科書での定義例 [#q54c5b57]




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* 代数学の定義 [#wf47a435]
***『共立講座 21世紀の数学⑨ 代数と数論の基礎』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614))（著者：中島 匠一、共立出版） [#ce0fb613]
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***『共立講座 21世紀の数学⑨ 代数と数論の基礎』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614)) [#v7b17a6b]
- 著者：中島 匠一、共立出版 2000年11月25日 初版1刷発行

;,『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
;, P102、§2.3.1「1変数の多項式環」にて「多項式」を以下のように定義している：
> $$ R $$を環とする。$$ R $$の元を係数とする変数$$ T $$の''多項式''(polynomial)とは
>　　$$ f(T) $ = $ a_n $ T^n $ + $ a_{n-1} $ T^{n-1} $ + $ \cdots $ + $ a_1 $ T $ + $ a_0 $$（$$ n \geq 0 $,$ a_0 $,\cdots,$ a_n $ \in $ R $$）　(2.7)
> という式のことである。

;,$$ f(T) $$の$$ j $$次の係数(coefficient of degree $$ j $$)や定数項(constant term)を定義した後、
;,以下のように補足し、多項式の特例として定数多項式を定義している：
> 　　(2.7)は$$ f(T) $ = $ \sum_{j=0}^n $ a_j $ T^j $$
> とも表せる。ここで$$ n =  0 $$の場には$$ f(T) $ = $ a_0 $$（$$ \in $ R $$）となり
> 変数$$ T $$が登場しないが，これも多項式とみなす（定数多項式）。

;,同様に、多項式の特例として、単項式を以下のように定義している：
> (2.7)に現れる１つ１つの項$$ a_j $ T^j $$は''単項式''(monomial)と呼ばれる。
> 「単項式」をいくつか足し合わせてできるものが「多項式」というわけである。
> ただし，(2.7)で項が１つだけの場合（すなわち，単項式）も多項式とみなすのが数学の習慣であるので，
> 誤解のないように。

;,その上で、わざわざ脚注25)を加えている：
> １つしかないものに「多」という言葉は使わないのが“日常語”の常識だろうが、
> そうすると(2.7)を見たときにいちいち“単項式または多項式”と言わねばならず，非常に不便である。
> それで，単項式も多項式に含めておくほうが得策だ，というわけである。

;,『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める：
- 多項式は変数$$ T $$に関する式である。
- その「式」とは、式(2.7)そのものである。
- 「式そのもの」とは、式(2.7)に対し、式として等価な全ての式が「多項式」と呼べることを意味する。

;,その結果、定数多項式も単項式も自ずと多項式に包まれる。
;,このため、義務教育を卒業した人であれば、以下の事実を知って欲しいものだ：
- 「多」が付くからって必ずしも「２以上」を意味するとは限らない。
- 「いくつか」と書いたからって「１つや０つでなく２つ以上』とは限らない。
- 式(2.7)で定義したからって、(2.7)にそっくりな形＝同じ記号列である必要は無い((記号列の定義であれば、「表記の分類である」と明言する必要がある。))。
- 式(2.7)で定義されても、(2.7)にそっくりな形＝同じ記号列である必要は無い((記号列の定義であれば、「表記の分類である」と明言する必要がある。))。

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***『代数入門』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81-%E3%82%A4%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BBR/dp/4535784000/ref=sr_1_7?s=books&ie=UTF8&qid=1459374770&sr=1-7&keywords=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80)) [#g413077f]
- 訳者：蟹江 幸博((書面印字では「蟹」は「鮮」の下に「虫」。))、日本評論社、2009年8月15日 第1版第1刷発行
- 英語版：“Discourses on Algebra”((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/Discourses-Algebra-Universitext-Igor-Shafarevich-ebook/dp/B000PY49O4/ref=sr_1_3?s=digital-text&ie=UTF8&qid=1459374941&sr=1-3))
-- 著者：Igor R. Shafarevich、Springer出版 2003年

;,“Discourses on Algebra”はロシアの大学用教科書である((本人は序文で「本書を教科書であると言うつもりはない。」とは言っているが、英語版は間違いなくSpringerのUniversitextに収録されている。))。
;,P26 §1.3「素因数分解」の最後に、第2章「多項式の基本性質」への序説として、単項式や多項式を定義している：
> $$ ax^k $$という形の表示を、$$ a $$が数で、$$ x $$が未知数で、$$ k $$が自然数か0であるときに、
> ''単項式''と言う（$$ k=0 $$のときは単に$$ a $$と書く）。

> 単項式の和を''多項式''という。

;,これは一見、「表示」に関する定義のように見えるが、以下の補足説明で否定される：
> 次数$$ n $$の多項式は
> 　　$$ f(x) $ = $ a_0 $ + $ a_1 $ x $ + $ \cdots $ + $ a_n $ x^n $$
> という一般形を持つ。

> $$ n=0 $$であれば、多項式は数$$ a_0 $$と一致する。そのような多項式を定数という。

;,つまり、式「$$ a_0 $$」は定数であり、多項式である。
;,一方で、「一般形」という言葉は$$ a_0 $ + $ a_1 $ x $ + $ \cdots $ + $ a_n $ x^n $$の表現を表す名前である。

;,同様に、$$ a_n $$以外の係数が全て0であれば、多項式$$ f(x) $$は単項式$$ a_n $ x^n $$と一致する。
;,つまり、「$$ a_n $ x^n $$」は単項式であり、多項式である、と読める。

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教育多項式 のバックアップ差分(No.3)

教育多項式のバックアップ差分(No.3)
