概要 EditToHeaderToFooter

2016年現在、中学校・高校でいう「多項式」と、数学で扱う「多項式」の意味が異なっている。
昔から気づいていたものの、大した害も無かろうと高を括っていた。
しかし、こういうのが、中学校・高校と大学の壁に繋がる。

そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。
調査結果を以下に綴る。

※量が多いため、ページ分割する可能性があります。その場合でも、このページのURLは不変とします。

目次 EditToHeaderToFooter

教科書での定義例 EditToHeaderToFooter

現行の教科書では主に以下のように定義される：

  • $$ 2x $$、$$ \frac13 a^2 $$のように、数や文字についての乗法だけでつくられた式を単項式という。
  • $$ 3x+10 $$、$$ 3a^2+4ab+1 $$などのように、単項式の和の形で表された式を多項式という。

この定義を指して、「単項式は多項式に含まれない」と解釈する人*1が存在する。
しかし、数学的には「単項式は多項式に含まれる」とするのが習慣であり、２つの「多項式」は似て非なるもの。

中学校・高校（以下纏めて「中高」と呼ぶ）の教科書の解析は後にして、
まずは大学で用いられる数学の教科書の定義を次節に示す。

代数学教科書での定義 EditToHeaderToFooter

[共立2000]：『共立講座 21世紀の数学�� 代数と数論の基礎』*2 EditToHeaderToFooter

  • 著者：中島 匠一、共立出版 2000年11月25日 初版1刷発行

『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
P102、§2.3.1「1変数の多項式環」にて「多項式」を以下のように定義している：

$$ R $$を環とする。$$ R $$の元を係数とする変数$$ T $$の多項式(polynomial)とは

　　$$ f(T) $$$$ = $$$$ a_n $$$$ T^n $$$$ + $$$$ a_{n-1} $$$$ T^{n-1} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ + $$$$ a_1 $$$$ T $$$$ + $$$$ a_0 $$（$$ n \geq 0 $$$$ , $$$$ a_0 $$$$ ,\cdots, $$$$ a_n $$$$ \in $$$$ R $$）　(2.7)

という式のことである。

$$ f(T) $$の$$ j $$次の係数(coefficient of degree $$ j $$)や定数項(constant term)を定義した後、
以下のように補足し、多項式の特例として定数多項式を定義している：

　　(2.7)は$$ f(T) $$$$ = $$$$ \sum_{j=0}^n $$$$ a_j $$$$ T^j $$

とも表せる。ここで$$ n = 0 $$の場には$$ f(T) $$$$ = $$$$ a_0 $$（$$ \in $$$$ R $$）となり

変数$$ T $$が登場しないが，これも多項式とみなす（定数多項式）。

同様に、多項式の特例として、単項式を以下のように定義している：

(2.7)に現れる１つ１つの項$$ a_j $$$$ T^j $$は単項式(monomial)と呼ばれる。

「単項式」をいくつか足し合わせてできるものが「多項式」というわけである。

ただし，(2.7)で項が１つだけの場合（すなわち，単項式）も多項式とみなすのが数学の習慣であるので，

誤解のないように。

その上で、わざわざ脚注25)を加えている：

１つしかないものに「多」という言葉は使わないのが“日常語”の常識だろうが、

そうすると(2.7)を見たときにいちいち“単項式または多項式”と言わねばならず，非常に不便である。

それで，単項式も多項式に含めておくほうが得策だ，というわけである。

『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める：

  • 多項式は変数$$ T $$に関する式である。
  • その「式」とは、式(2.7)そのものである。
  • 「式そのもの」とは、式(2.7)に対し、式として等価な全ての式が「多項式」と呼べることを意味する。

その結果、定数多項式も単項式も自ずと多項式に含まれる。
このような数学書を読めるためには、以下の事実を知る必要がある：

  • 「多」が付くからって必ずしも「２以上」を意味するとは限らない。
  • 「いくつか」と書いたからって「１つや０つでなく２つ以上』とは限らない。
  • 式(2.7)で定義されても、(2.7)にそっくりな形＝同じ記号列であるとは限らない。
*1 生徒も含まれるが、先生も含まれる！
*2 Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614

[日評2009]：『代数入門』*3 EditToHeaderToFooter

  • 訳者：蟹江 幸博*4、日本評論社、2009年8月15日 第1版第1刷発行
  • 英語版：“Discourses on Algebra”*5
    • 著者：Igor R. Shafarevich、Springer出版 2003年

“Discourses on Algebra”はロシアで書かれた大学用教科書である*6。
P26 §1.3「素因数分解」の最後に、第2章「多項式の基本性質」への序説として、単項式や多項式を定義している：

$$ ax^k $$という形の表示を、$$ a $$が数で、$$ x $$が未知数で、$$ k $$が自然数か0であるときに、

単項式と言う（$$ k=0 $$のときは単に$$ a $$と書く）。

単項式の和を多項式という。

「単項式の和を多項式という」という文言は簡潔で、日本の学校教科書と同じ言い回しとなる。
しかし、以下の補足説明によって「単項式は多項式に含まれない」よいう表層だけの読み方が否定される：

次数$$ n $$の多項式は

　　$$ f(x) $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_1 $$$$ x $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ + $$$$ a_n $$$$ x^n $$

という一般形を持つ。

$$ n=0 $$であれば、多項式は数$$ a_0 $$と一致する。そのような多項式を定数という。

つまり、式「$$ a_0 $$」は定数であり、多項式である。
一方で、「一般形」という言葉は$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_1 $$$$ x $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ + $$$$ a_n $$$$ x^n $$の表現を表す名前である。

同様に、$$ a_n $$以外の係数が全て$$ 0 $$であれば、多項式$$ f(x) $$は式$$ a_n $$$$ x^n $$と一致する。そのような多項式を単項式となる。
つまり、「$$ a_n $$$$ x^n $$」は単項式であり、多項式でもある、という見方になる。

*3 Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81-%E3%82%A4%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BBR/dp/4535784000/ref=sr_1_7?s=books&ie=UTF8&qid=1459374770&sr=1-7&keywords=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80
*4 書面印字では「蟹」は「鮮」の下に「虫」。
*5 Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/Discourses-Algebra-Universitext-Igor-Shafarevich-ebook/dp/B000PY49O4/ref=sr_1_3?s=digital-text&ie=UTF8&qid=1459374941&sr=1-3
*6 本人は序文で「本書を教科書であると言うつもりはない。」とは言っているが、英語版は間違いなくSpringerのUniversitextに収録されている。

日本の学校教育 EditToHeaderToFooter

中学校教科書での定義 EditToHeaderToFooter

東京書籍：新しい数学 EditToHeaderToFooter

日本文教出版：中学数学 EditToHeaderToFooter

数研出版：改訂版 中学校 数学 EditToHeaderToFooter

啓林館：未来へひろがる 数学 EditToHeaderToFooter

教育出版：中学 数学 EditToHeaderToFooter

大日本図書：新版 数学の世界 EditToHeaderToFooter

高校教科書での定義 EditToHeaderToFooter

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