教育多項式のバックアップソース(No.7)

/教育多項式【執筆中】
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* 概要 [#l5264d7b]

;,2016年現在、中学校・高校でいう「多項式」と、数学で扱う「多項式」の意味が異なっている。
;,昔から気づいていたものの、大した害も無かろうと高を括っていた。
;,しかし、こういうのが、中学校・高校と大学の壁に繋がる。

;,例えば、現行の教科書では以下の定義が良く用いられる：
- 数や文字についての乗法だけでつくられた式を''単項式''という。
- 単項式の和の形で表された式を''多項式''という。

;,この定義を指して、「単項式は多項式に含まれない」と解釈する人((生徒も含まれるが、先生も含まれる！))が存在する。
;,しかし、数学では「単項式は多項式に含まれる」とする習慣があり、２つの「多項式」は似て非なるもの。


;,そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。
;,また、関連して「単項式」「項」「整式」や英語の「monomial」「polynomial」「multinomial」や「term」も範囲とした。
;,調査結果を以下に綴る。

;,&font(#C00){※量が多いため、ページ分割する可能性があります。その場合でも、このページのURLは不変とします。};

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** 目次 [#b71981cf]
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* 日本の中学校教科書 [#kb78a912]
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*** 東書2015#28：『新編 新しい数学』 1/2/3 [#w92b4a22]
- 出版：東京書籍、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 728/828/928

;,数2のP10にて
> $$ 2a $$や$$ 2x $$，\frac13a^2 $$などのように，
> 数や文字についての乗法だけでつくられた式を''単項式''という。
< 補足として、文字や数との包含関係を明記している：
> １つの文字や１つの数，たとえば，$$ x $$や$$ -5 $$なども単項式と考える。
<対して、多項式は以下と定義し、単項式との包含関係は明記されてない。
> また，$$ 2a $ + $ 2\pi r $$や$$ 3x $ + $ 10$$，$$ 3a^2 $ + $ 4ab $ + $ 1 $$などのように，
> 単項式の和の形で表された式を''多項式''といい，
> そのひとつひとつの単項式を，多項式の''項''という。

;,さらに、続けて記される例１にも注目すべき。
;,例１では、「単項式の和の形」になってない式を「単項式の和の形」に表せること、
;,つまり変形できることを、多項式である否かを判断する根拠としている。
> 例１ $$ 3x^2 $ - $ 2x $ - $ 5 $$の項を考えて見よう。
> $$ 3x^2 $ - $ 2x $ - $ 5 $$は$$ 3x^2 $ + $ ( $ -2x $ ) $ + $ ( $ -5 $ ) $$と単項式の和の形で表せるから，多項式であり，
> その項は$$ 3x^2 $$，$$ -2x $$，$$ -5 $$
<この考え方を単項式$$ 2a $$に適応していけば、
;,「$$ 2a $$は$$ a + a $$」と単項式の和で表せるから、多項式である」と言える。
;,このため、東京書籍の教科書の文面では、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。

;,数3のP12には「展開する」が定義されている：
> 単項式や多項式の積の形の式を，かっこうをはずして単項式の和の形に表すことを，
> はじめの式を''展開する''という。
< まず、「単項式や多項式の積の形の式」は''式の形''に関する表現と読める。
;,次に、「単項式や多項式」は、単項式を多項式に含ませない考え方への配慮とも取れる。
;,他方、「単項式の和の形」は''式の形''の表現であり、「多項式」と書かない理由勘ぐらせる((「多項式」が表記ではなく式という解釈であれば、「多項式」では形が決まらないため、形を記述する文脈では不適切となる。その結果、「単項式の和の形」という表記が至って適切な表記となる。))。

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*** 日文2015#35：『中学数学』1/2/3 [#u6e1adf4]
- 出版：日本文教出版、2015、教科書センター用見本
- 検定：中学校数学科用 文部科学省検定済み教科書 数学 735/835/935

;,数2のP12に単項式、多項式と項が定義されている：
> $$ 4x $$や$$ ab $$，$$ x^2 $$のように，
> 数や文字についての乗法だけでできている式を''単項式''といいます。
> $$ x $$や$$ -1 $$のような，
> １つの文字や１つの数も，単項式と考えます。
<
> 一方，$$ 2x+1 $$のように，
> ２つ以上の単項式の和の形で表される式を''多項式''といい，
> １つ１つの単項式$$ 2x $$，$$ 1 $$を，多項式$$ 2x+1 $$の''項''といいます。
<
> $$ x $ - $ 1 $ = $ x $+ $ (-1) $$だから，$$ x $ - $ 1 $$も多項式です。
<多項式の定義に「２つ以上の単項式」とあるため、単項式を多項式に含めない立場と勘ぐれる。
;,しかし、$$ x $ - $ 1 $$を多項式と判定する理由に$$ x $ - $ 1 $ = $ x $+ $ (-1) $$を使うため、
;,同じ論法で、「$$ 4x $ = $ x $ + $ 3x $$だから，$$ 4x $$も多項式です。」と言えてしまう。

;,このため、日本文教出版の教科書では、
;,「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。


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*** 大日本図書：新版 数学の世界 [#y5f16b7a]
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*** 学校図書：中学校数学 [#je7d0523]
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*** 教育出版：中学数学 [#e0c8e6a6]
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*** 啓林館：未来へひろがる 数学 [#v18c889e]
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*** 数研出版：中学校 数学 [#s954a22b]
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** 高校教科書での定義 [#s2bb7e47]



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* 代数学教科書での定義 [#wf47a435]
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***[共立2000]：『共立講座 21世紀の数学⑨ 代数と数論の基礎』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614)) [#v7b17a6b]
- 著者：中島 匠一、共立出版 2000年11月25日 初版1刷発行

;,『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
;, P102、§2.3.1「1変数の多項式環」にて「多項式」を以下のように定義している：
> $$ R $$を環とする。$$ R $$の元を係数とする変数$$ T $$の''多項式''(polynomial)とは
>　　$$ f(T) $ = $ a_n $ T^n $ + $ a_{n-1} $ T^{n-1} $ + $ \cdots $ + $ a_1 $ T $ + $ a_0 $$（$$ n \geq 0 $,$ a_0 $,\cdots,$ a_n $ \in $ R $$）　(2.7)
> という式のことである。

;,$$ f(T) $$の$$ j $$次の係数(coefficient of degree $$ j $$)や定数項(constant term)を定義した後、
;,以下のように補足し、多項式の特例として定数多項式を定義している：
> 　　(2.7)は$$ f(T) $ = $ \sum_{j=0}^n $ a_j $ T^j $$
> とも表せる。ここで$$ n =  0 $$の場には$$ f(T) $ = $ a_0 $$（$$ \in $ R $$）となり
> 変数$$ T $$が登場しないが，これも多項式とみなす（定数多項式）。

;,同様に、多項式の特例として、単項式を以下のように定義している：
> (2.7)に現れる１つ１つの項$$ a_j $ T^j $$は''単項式''(monomial)と呼ばれる。
> 「単項式」をいくつか足し合わせてできるものが「多項式」というわけである。
> ただし，(2.7)で項が１つだけの場合（すなわち，単項式）も多項式とみなすのが数学の習慣であるので，
> 誤解のないように。

;,その上で、わざわざ脚注25)を加えている：
> １つしかないものに「多」という言葉は使わないのが“日常語”の常識だろうが、
> そうすると(2.7)を見たときにいちいち“単項式または多項式”と言わねばならず，非常に不便である。
> それで，単項式も多項式に含めておくほうが得策だ，というわけである。

;,『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める：
- 多項式は変数$$ T $$に関する式である。
- その「式」とは、式(2.7)そのものである。
- 「式そのもの」とは、式(2.7)に対し、式として等価な全ての式が「多項式」と呼べることを意味する。

;,その結果、定数多項式も単項式も自ずと多項式に含まれる。
;,このような数学書を読めるためには、以下の事実を知る必要がある：
- 「多」が付くからって必ずしも「２以上」を意味するとは限らない。
- 「いくつか」と書いたからって「１つや０つでなく２つ以上』とは限らない。
- 式(2.7)で定義されても、(2.7)にそっくりな形＝同じ記号列であるとは限らない。
//((記号列の定義であれば、「表記の分類である」と明言する必要がある。))。

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***[日評2009]：『代数入門』((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81-%E3%82%A4%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BBR/dp/4535784000/ref=sr_1_7?s=books&ie=UTF8&qid=1459374770&sr=1-7&keywords=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80)) [#g413077f]
- 訳者：蟹江 幸博((書面印字では「蟹」は「鮮」の下に「虫」。))、日本評論社、2009年8月15日 第1版第1刷発行
- 英語版：“Discourses on Algebra”((Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/Discourses-Algebra-Universitext-Igor-Shafarevich-ebook/dp/B000PY49O4/ref=sr_1_3?s=digital-text&ie=UTF8&qid=1459374941&sr=1-3))
-- 著者：Igor R. Shafarevich、Springer出版 2003年

;,“Discourses on Algebra”はロシアで書かれた大学用教科書である((本人は序文で「本書を教科書であると言うつもりはない。」とは言っているが、英語版は間違いなくSpringerのUniversitextに収録されている。))。
;,P26 §1.3「素因数分解」の最後に、第2章「多項式の基本性質」への序説として、単項式や多項式を定義している：
> $$ ax^k $$という形の表示を、$$ a $$が数で、$$ x $$が未知数で、$$ k $$が自然数か0であるときに、
> ''単項式''と言う（$$ k=0 $$のときは単に$$ a $$と書く）。

> 単項式の和を''多項式''という。

;,「単項式の和を多項式という」という文言は簡潔で、日本の学校教科書と同じ言い回しとなる。
;, しかし、以下の補足説明によって「単項式は多項式に含まれない」よいう表層だけの読み方が否定される：
> 次数$$ n $$の多項式は
> 　　$$ f(x) $ = $ a_0 $ + $ a_1 $ x $ + $ \cdots $ + $ a_n $ x^n $$
> という一般形を持つ。

> $$ n=0 $$であれば、多項式は数$$ a_0 $$と一致する。そのような多項式を定数という。

;,つまり、式「$$ a_0 $$」は定数であり、多項式である。
;,一方で、「一般形」という言葉は$$ a_0 $ + $ a_1 $ x $ + $ \cdots $ + $ a_n $ x^n $$の表現を表す名前である。

;,同様に、$$ a_n $$以外の係数が全て$$ 0 $$であれば、多項式$$ f(x) $$は式$$ a_n $ x^n $$と一致する。そのような多項式を単項式となる。
;,つまり、「$$ a_n $ x^n $$」は単項式であり、多項式でもある、という見方になる。


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* 海外の学校教育 [#w498e8df]

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** アメリカ or イギリス、フランス、ドイツ [#r6e75acc]
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** 中国 or 韓国？ [#i5ab138f]


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教育多項式 のバックアップソース(No.7)

教育多項式のバックアップソース(No.7)
