教育多項式のバックアップ(No.8)

概要

2016年現在、中学校・高校でいう「多項式」と、数学で扱う「多項式」の意味が異なっている。
昔から気づいていたものの、大した害も無かろうと高を括っていた。
しかし、こういうのが、中学校・高校と大学の壁に繋がる。

例えば、現行の教科書では以下の定義が良く用いられる：

数や文字についての乗法だけでつくられた式を単項式という。
単項式の和の形で表された式を多項式という。

この定義を指して、「単項式は多項式に含まれない」と解釈する人*1が存在する。
しかし、数学では「単項式は多項式に含まれる」とする習慣があり、２つの「多項式」は似て非なるもの。

そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。
また、関連して「単項式」「項」「整式」や英語の「monomial」「polynomial」「multinomial」や「term」も範囲とした。
調査結果を以下に綴る。

※量が多いため、ページ分割する可能性があります。その場合でも、このページのURLは不変とします。

概要
- 目次
日本の中学校教科書
- 高校教科書での定義
代数学教科書での定義
- [共立2000]：『共立講座 21世紀の数学⑨ 代数と数論の基礎』
- [日評2009]：『代数入門』
海外の学校教育
- アメリカ or イギリス、フランス、ドイツ
- 中国 or 韓国？

日本の中学校教科書

東書2015#28：『新編新しい数学』 1/2/3

出版：東京書籍、2015、教科書センター用見本
検定：中学校数学科用文部科学省検定済み教科書数学 728/828/928

数2のP10にて

や，\frac13a^2 $$などのように，
数や文字についての乗法だけでつくられた式を単項式という。

補足として、文字や数との包含関係を明記している：

１つの文字や１つの数，たとえば，やなども単項式と考える。

対して、多項式は以下と定義し、単項式との包含関係は明記されてない。

また， $2\pi r$ や，などのように，
単項式の和の形で表された式を多項式といい，
そのひとつひとつの単項式を，多項式の項という。

さらに、続けて記される例１にも注目すべき。
例１では、「単項式の和の形」になってない式を「単項式の和の形」に表せること、
つまり変形できることを、多項式である否かを判断する根拠としている。

例１の項を考えて見よう。
はと単項式の和の形で表せるから，多項式であり，
その項は，，

この考え方を単項式 $$ 2a $$ に適応していけば、
「は $$ a + a $$ 」と単項式の和で表せるから、多項式である」と言える。
このため、東京書籍の教科書の文面では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。

数3のP12には「展開する」が定義されている：

単項式や多項式の積の形の式を，かっこうをはずして単項式の和の形に表すことを，
はじめの式を展開するという。

まず、「単項式や多項式の積の形の式」は式の形に関する表現と読める。
次に、「単項式や多項式」は、単項式を多項式に含ませない考え方への配慮とも取れる。
他方、「単項式の和の形」は式の形の表現であり、「多項式」と書かない理由勘ぐらせる*2。

*1 生徒も含まれるが、先生も含まれる！
*2 「多項式」が表記ではなく式という解釈であれば、「多項式」では形が決まらないため、形を記述する文脈では不適切となる。その結果、「単項式の和の形」という表記が至って適切な表記となる。

日文2015#35：『中学数学』1/2/3

出版：日本文教出版、2015、教科書センター用見本
検定：中学校数学科用文部科学省検定済み教科書数学 735/835/935

数2のP12に単項式、多項式と項が定義されている：

や，のように，
数や文字についての乗法だけでできている式を単項式といいます。
やのような，
１つの文字や１つの数も，単項式と考えます。

一方，のように，
２つ以上の単項式の和の形で表される式を多項式といい，
１つ１つの単項式，を，多項式の項といいます。

だから，も多項式です。

多項式の定義に「２つ以上の単項式」とあるため、単項式を多項式に含めない立場と勘ぐれる。
しかし、 $$ x $$ $$ - $$ $$ 1 $$ を多項式と判定する理由に $$ x $$ $$ - $$ $$ 1 $$ $$ = $$ $$ x $$ $$ + $$ $$ (-1) $$ を使うため、
同じ論法で、「 $$ 4x $$ $$ = $$ $$ x $$ $$ + $$ $$ 3x $$ だから，も多項式です。」と言えてしまう。

このため、日本文教出版の教科書では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。

数研2015#34：『改訂版中学校数学』 1/2/3

出版：数研出版、2015、教科書センター見本
検定：中学校数学科用文部科学省検定済み教科書数学 734/834/934

数2のP16で、単項式、多項式と項が定義されている。

，のように，数や文字をかけ合わせてできる式を単項式という。
，のように，１つの文字や数字も単項式である。

また，のように，単項式の和の形で表される式を多項式といい，
その１つ１つの単項式を，多項式の項という。

直後の例１で多項式の判定方法が与えられる：

は，と書けるから，
３つの項
　　，　，　
からできる多項式である。

同じ論法で、
「 $$ 3x $$ は $$ x $$ $$ + $$ $$ 2x $$ と書けるから，２つの項 $$ x $$ とからできる多項式である」と言えてしまう。

このため、数研出版の教科書では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈すると直ちに矛盾が生じる。

啓林館2015#32：未来へひろがる数学 1/2/3

出版：啓林館、2015、教科書センター用見本
検定：中学校数学科用文部科学省検定済み教科書数学 732/832/932

数2のP15で単項式、多項式と項が定義されている：

，，のように，
数や文字についての乗法だけでできている式を，単項式といいます。
やのような，１つの文字や１つの数も単項式と考えます。

また，のように，
単項式の和の形で表された式を多項式といい，
１つ１つの単項式，を，多項式の項といいます。

他の教科書と異なるのは、例１は多項式の判定として機能せず、あくまでも項の判定に留めている：

は，と書けるから，
多項式の項は，，，

このため、啓林館の教科書では、
「単項式は多項式に含まれない」と解釈しても、直ちに矛盾が生じることは無い。

数3のP16では、「展開する」が定義されている：

このように，積の形で書かれた式を計算して，和の形で表すことを，もとの式を展開するといいます。

同じ数3のP24では、「因数分解」が定義されている：

は，展開するとになります。
これを逆にみると，は，次のように積の形に表されます。
　　

このとき，整数の場合と同じように，，をの因数といいます。

また，多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを，
その多項式を因数分解するといいます。

このように、展開では「多項式」ではなく「和の形」としながらも、
因数分解では「多項式」が用いられ、「多項式」の用法が確認できない。

大日本図書：新版数学の世界

学校図書：中学校数学

教育出版：中学数学

高校教科書での定義

代数学教科書での定義

[共立2000]：『共立講座 21世紀の数学⑨ 代数と数論の基礎』*3

著者：中島匠一、共立出版 2000年11月25日初版1刷発行

『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
P102、§2.3.1「1変数の多項式環」にて「多項式」を以下のように定義している：

を環とする。の元を係数とする変数の多項式(polynomial)とは
　　 $a_{n-1}$ $T^{n-1}$ $\cdots$ （ $n \geq 0$ $,\cdots,$ $\in$ ）　(2.7)
という式のことである。

$$ f(T) $$ の $$ j $$ 次の係数(coefficient of degree $$ j $$ )や定数項(constant term)を定義した後、
以下のように補足し、多項式の特例として定数多項式を定義している：

　　(2.7)は $\sum_{j=0}^n$
とも表せる。ここでの場には（ $\in$ ）となり
変数が登場しないが，これも多項式とみなす（定数多項式）。

同様に、多項式の特例として、単項式を以下のように定義している：

(2.7)に現れる１つ１つの項は単項式(monomial)と呼ばれる。
「単項式」をいくつか足し合わせてできるものが「多項式」というわけである。
ただし，(2.7)で項が１つだけの場合（すなわち，単項式）も多項式とみなすのが数学の習慣であるので，
誤解のないように。

その上で、わざわざ脚注25)を加えている：

１つしかないものに「多」という言葉は使わないのが“日常語”の常識だろうが、
そうすると(2.7)を見たときにいちいち“単項式または多項式”と言わねばならず，非常に不便である。
それで，単項式も多項式に含めておくほうが得策だ，というわけである。

『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める：

多項式は変数に関する式である。
その「式」とは、式(2.7)そのものである。
「式そのもの」とは、式(2.7)に対し、式として等価な全ての式が「多項式」と呼べることを意味する。

その結果、定数多項式も単項式も自ずと多項式に含まれる。
このような数学書を読めるためには、以下の事実を知る必要がある：

「多」が付くからって必ずしも「２以上」を意味するとは限らない。
「いくつか」と書いたからって「１つや０つでなく２つ以上』とは限らない。
式(2.7)で定義されても、(2.7)にそっくりな形＝同じ記号列であるとは限らない。

*3 Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614

[日評2009]：『代数入門』*4

訳者：蟹江幸博*5、日本評論社、2009年8月15日第1版第1刷発行
英語版：“Discourses on Algebra”*6
- 著者：Igor R. Shafarevich、Springer出版 2003年

“Discourses on Algebra”はロシアで書かれた大学用教科書である*7。
P26 §1.3「素因数分解」の最後に、第2章「多項式の基本性質」への序説として、単項式や多項式を定義している：

という形の表示を、が数で、が未知数で、が自然数か0であるときに、
単項式と言う（のときは単にと書く）。

単項式の和を多項式という。

「単項式の和を多項式という」という文言は簡潔で、日本の学校教科書と同じ言い回しとなる。
しかし、以下の補足説明によって「単項式は多項式に含まれない」よいう表層だけの読み方が否定される：

次数の多項式は
　　 $\cdots$
という一般形を持つ。

であれば、多項式は数と一致する。そのような多項式を定数という。

つまり、式「 $$ a_0 $$ 」は定数であり、多項式である。
一方で、「一般形」という言葉は $$ + $$ $$ a_1 $$ $$ x $$ $$ + $$ $\cdots$ $$ + $$ $$ a_n $$ $$ x^n $$ の表現を表す名前である。

同様に、 $$ a_n $$ 以外の係数が全て $$ 0 $$ であれば、多項式 $$ f(x) $$ は式 $$ x^n $$ と一致する。そのような多項式を単項式となる。
つまり、「」は単項式であり、多項式でもある、という見方になる。

*4 Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81-%E3%82%A4%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BBR/dp/4535784000/ref=sr_1_7?s=books&ie=UTF8&qid=1459374770&sr=1-7&keywords=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80
*5 書面印字では「蟹」は「鮮」の下に「虫」。
*6 Amazone.co.jp: http://www.amazon.co.jp/Discourses-Algebra-Universitext-Igor-Shafarevich-ebook/dp/B000PY49O4/ref=sr_1_3?s=digital-text&ie=UTF8&qid=1459374941&sr=1-3
*7 本人は序文で「本書を教科書であると言うつもりはない。」とは言っているが、英語版は間違いなくSpringerのUniversitextに収録されている。

教育多項式 のバックアップ(No.8)

概要

目次

日本の中学校教科書

東書2015#28：『新編 新しい数学』 1/2/3

日文2015#35：『中学数学』1/2/3

数研2015#34：『改訂版 中学校 数学』 1/2/3

啓林館2015#32：未来へひろがる 数学 1/2/3

大日本図書：新版 数学の世界