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というか、「算数教育における文章題での加減算の用法の分類」
* 導入 [#d00d7d4f]
;,算数教育において、加算と減算に対して以下のように分類しているらしい。
- 加算： 合併、増加、求大、減少前推論、逆求大
- 減算： 求残、求差、求補、求小、増加前推論、増加数推論、減少数推論、逆求小
;,全部で加算５種、減算８種で、全部で合わせて計13種。
;,自分は、合併、増加、求差、求補を知っていたが、他は最近教えていただくまでは聞いたことも無かった。
;,というわけで、理解を兼ねて再整理してみた。
* とある加減算の分類 [#ve6bd97f]
;,加減算13種の分類は確かに存在するようだが、
;,残念ながら、ネット上に無料で公開されている資料では、中々定義を確認できなかった。
;,このため、資料を付きあわせて、定義を勘ぐるしかない。
;,個人的に一番分かりやすかったのが、中尾氏が作った「文章題バイキング」にある説明である。
;,http://nakao.yu-nagi.com/kyouzai-viking-bunsyoudai.htm
;,例文には限定された題材と記述が用いられているため、注目点や相違点が際立っている。
;,以下が「文章題バイキング」に登場するパターンである。（ほぼ引用、例文の文体に変更あり）
|*l:表１： 加減算文章題の分類パターン|<|<|<|<|<|h
| |*l: | |l=:l: |l: |l: |c
| |*l: |l=: |l: |l: |l: |c
|*演&br;算|*パターン名|*パターン式|*例文 |< |< |t=:
|^ |^ |^ |*条件１ |*条件２ |*質問 |
| 加&br;算| 合併 | Ａ＋Ｂ＝Ｘ| 林檎がＡ個ある。 |蜜柑がＢ個ある。 |全部で何個ある？ |t=:
|^ | 増加 | Ａ＋Ｂ＝Ｘ| 林檎がＡ個ある。 |林檎をＢ個貰った。 |全部で何個ある？ |
|^ | 減少前推論| Ｘ−Ａ＝Ｂ| 林檎をＡ個あげた。 |林檎がＢ個になった。 |初めに何個あった？|
|^ | 求大 | Ｘ＝Ａ＋Ｂ| 林檎がＡ個ある。 |蜜柑は林檎よりＢ個多い。 |蜜柑は何個ある？ |
|^ | 逆求小 | Ｘ−Ａ＝Ｂ| 林檎がＡ個ある。 |林檎は蜜柑よりＢ個少ない。|蜜柑は何個ある？ |
| 減&br;算| 求残 | Ａ−Ｂ＝Ｘ| 林檎がＡ個ある。 |林檎をＢ個あげた。 |何個残っている？ |t=:
|^ | 求補 | Ａ−Ｂ＝Ｘ| 林檎と蜜柑が全部でＡ個ある。|林檎はＢ個ある。 |蜜柑は何個ある？ |
|^ | 求差 | Ａ−Ｂ＝Ｘ| 林檎がＡ個ある。 |蜜柑はＢ個ある。 |違いは何個？ |
|^ | 増加前推論| Ｘ＋Ａ＝Ｂ| 林檎をＡ個貰った。 |林檎がＢ個になった。 |初めに何個あった？|
|^ | 減少数推論| Ａ−Ｘ＝Ｂ| 林檎がＡ個あった。 |あげたらＢ個になった。 |何個あげた？ |
|^ | 増加数推論| Ａ＋Ｘ＝Ｂ| 林檎がＡ個あった。 |貰ったらＢ個になった。 |何個貰った？ |
|^ | 求小 | Ｘ＝Ａ−Ｂ| 林檎がＡ個ある。 |蜜柑は林檎よりＢ個少ない。|蜜柑は何個ある？ |
|^ | 求大 | Ａ−Ｘ＝Ｂ| 林檎がＡ個ある。 |林檎は蜜柑よりＢ個多い。 |蜜柑は何個ある？ |
|*加&br;算|*合併 | Ａ＋Ｂ＝Ｘ| 林檎がＡ個ある。 |蜜柑がＢ個ある。 |全部で何個ある？ |t=:
|^ |*増加 | Ａ＋Ｂ＝Ｘ| 林檎がＡ個ある。 |林檎をＢ個貰った。 |全部で何個ある？ |
|^ |*減少前推論| Ｘ−Ａ＝Ｂ| 林檎をＡ個あげた。 |林檎がＢ個になった。 |初めに何個あった？|
|^ |*求大 | Ｘ＝Ａ＋Ｂ| 林檎がＡ個ある。 |蜜柑は林檎よりＢ個多い。 |蜜柑は何個ある？ |
|^ |*逆求小 | Ｘ−Ａ＝Ｂ| 林檎がＡ個ある。 |林檎は蜜柑よりＢ個少ない。|蜜柑は何個ある？ |
|*減&br;算|*求残 | Ａ−Ｂ＝Ｘ| 林檎がＡ個ある。 |林檎をＢ個あげた。 |何個残っている？ |t=:
|^ |*求補 | Ａ−Ｂ＝Ｘ| 林檎と蜜柑が全部でＡ個ある。|林檎はＢ個ある。 |蜜柑は何個ある？ |
|^ |*求差 | Ａ−Ｂ＝Ｘ| 林檎がＡ個ある。 |蜜柑はＢ個ある。 |違いは何個？ |
|^ |*増加前推論| Ｘ＋Ａ＝Ｂ| 林檎をＡ個貰った。 |林檎がＢ個になった。 |初めに何個あった？|
|^ |*減少数推論| Ａ−Ｘ＝Ｂ| 林檎がＡ個あった。 |あげたらＢ個になった。 |何個あげた？ |
|^ |*増加数推論| Ａ＋Ｘ＝Ｂ| 林檎がＡ個あった。 |貰ったらＢ個になった。 |何個貰った？ |
|^ |*求小 | Ｘ＝Ａ−Ｂ| 林檎がＡ個ある。 |蜜柑は林檎よりＢ個少ない。|蜜柑は何個ある？ |
|^ |*求大 | Ａ−Ｘ＝Ｂ| 林檎がＡ個ある。 |林檎は蜜柑よりＢ個多い。 |蜜柑は何個ある？ |
%bodynote
* 解析的分類 [#g856310e]
;,一般に、加算Ａ＋Ｂ＝Ｃに関して、Ａを被加数、Ｂを加数、Ｃを和と呼ぶ。
;,加算自体を和を求める演算と捕らえることができる。
;,その場合、減法は被加数と加数を求める加法の逆演算と捕らえられる。
|*l:表２： 加算と減算の相関関係|<|<|h
|*加法 |*減算 |< |t=:
|*求和 |*求被加数 |*求加数 |
|Ａ＋Ｂ＝Ｃ|Ｃ−Ｂ＝Ａ|Ｃ−Ａ＝Ｂ|t=:
;,この関係のため、１つの式に意味付けすれば、他の２つの式も自ずと対応した意味が付く。
;,その対応した意味を並べると、表３が得られる。
;,ただし、規則性を見出すため、以下の工夫を施した：
- パターン式は「既知は左辺、未知は右辺」に統一
- キーとなる変数名には特別の文字を割当
- 名実になるように、意味を考えて
|*l:表３： 加算と減算の相関関係に基づくパターンの整理|<|<|<|<|h
| | |l=: | | |c
|* |< |*加算 |*減算 |< |t=:
|^ |^ |*求和 |*求被加数 |*求加数 |
|*集&br;合|< |#00E:Ａ＋Ｂ＝Ｃ | Ｃ−Ｂ＝Ａ | Ｃ−Ａ＝Ｂ |t=:
|*直&br;和|< |#00E:Ａ＋Ｂ＝Ｃ | Ｃ−Ｂ＝Ａ | Ｃ−Ａ＝Ｂ |t=:
|^ |< |#00E: 求全部 | 求部分 | 求部分 |tx:
|^ |< |#00E: （合併） | （求補） | （求補） |tx:
|*変&br;化|*増&br;加|#00E:Ａ＋Ｉ＝Ｂ | Ｂ−Ｉ＝Ａ | Ｂ−Ａ＝Ｉ |t=:
|^ |^ |#00E: 求増加後 | 求増加前 | 求増加分 |tx:
|^ |^ | （増加） | （増加前推論）| （増加数推論）|tx:
|^ |*減&br;少| Ｂ＋Ｄ＝Ａ |#00E:Ａ−Ｄ＝Ｂ | Ａ−Ｂ＝Ｄ |
|^ |^ | 求減少前 |#00E: 求減少後 | 求減少分 |tx:
|^ |^ | （減少前推論）|#00E:（求残） | （減少数推論）|tx:
|*比&br;較|*正&br;差| Ａ＋Ｌ＝Ｂ | Ｂ−Ｌ＝Ａ |#00E:Ｂ−Ａ＝Ｌ |t=:
|^ |^ | 正差求大 | 正差求小 |#00E: 求正差 |tx:
|^ |^ | （求大） | （求小） |#00E:（求差） |tx:
|^ |*負&br;差| Ｂ＋Ｓ＝Ａ | Ｂ−Ｌ＝Ｓ |#00E:Ａ−Ｂ＝Ｓ |
|^ |^ | 負差求大 | 負差求小 |#00E: 求負差 |tx:
|^ |^ | （逆求小） | （逆求大） |#00E:（求差） |tx:
** 集合 [#f5f13103]
;,集合に関して、Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ集合$$ \{A\} $$、$$ \{B\} $$、$$ \{C\} $$の要素数に対応している。
;,集合間には以下の関係が成立していることが立式の前提条件となっている。
|*l:表４： 「集合」の前提条件|<|h
|*l:表４： 「直和」の前提条件|<|h
| |l=: |c
|* |*直和 |t=:
|*同時条件|$$ \{A\} $$、$$ \{B\} $$、$$ \{C\} $$は同時に存在 |t=:
|*包含条件|$$ \{A\} $ \cup $ \{B\} $ = $ \{C\} $$ |
|*排他条件|$$ \{A\} $ \cap $ \{B\} $ = $ \{\emptyset\} $ {} $$|
;,同時条件は主に次の「変化」との区別である。時間が異なれば「変化」に分類される。
;,しかし、「合併」という名称は変化を暗示する動作動詞であるため、紛らわしい命名であると思う。
;,代わりとして、「求補」が「求部分」とも呼ばれるのに因み、「合併」を「求全部」と呼ぶことにする。
;,包含条件は主に次の「比較」との区別である。包含関係が無ければ「比較」に分類される。
;,合併の代表的動作である「合わせていくつ」が直結する和集合で条件式を記述しているが、
;,これは$$ \{A\} $ \subset $ \{C\} $$、$$ \{B\} $ \subset $ \{C\} $$と２つの包含関係に分解できる。
;,排他条件は唯一、加算固有の前提条件である。これが成立しなければ加算を適応できない。
;,ただ、様々な例文を眺める限り、排他条件が明記されることは滅多にない。
;,例えば「人は必ず男または女」というような、数学以外の（所謂常識レベルの）知識が回答者に求められる。
;,合併において、被加数と加数であるＡとＢが対称的である。
;,このため、減算の求被加数と求加数には違いが無く、同じく求補として分類される。
;,逆に、合併に関しても被加数と加数を区別せず交換可能で考えないと、この対称性を維持できなくなる。
%bodynote
** 変化 [#e006cd84]
;,変化に関して、変化前をＡ、変化後をＢとする。
;,３番目の量はＡとＢの大小関係で増加分Ｉ（increment）と減少分Ｄ（decrement）に分かれる。
;,以下の関係が成立していることが立式の前提条件となっている。
|*l:表５： 「変化」の前提条件|<|<|h
| |l=: | |c
|* |*増加 |*減少 |
|* |*増加 |*減少 |t=:
|*異時条件|$$ \{A\} $$と$$ \{B\} $$は同時には存在しない |< |t=:
|*包含条件|l:$$ \{A\} $ \cup $ \{I\} $ = $ \{B\} $$|l:$$ \{B\} $ \cup $ \{D\} $ = $ \{A\} $$ |
|*排他条件|l:$$ \{A\} $ \cap $ \{I\} $ = $ \{\emptyset\} $$|l:$$ \{B\} $ \cap $ \{D\} $ = $ \{\emptyset\} $$|
;,
;,変化が伴う場合、変化の前・後という区別が生じ、前後の大小関係で増加・減少の違いが生じる。
;,その違いを演算として扱うのが表１や表３に表われる見方である。
;,すなわち：
- 増加： 増加前＋増加分＝増加後、増加前＜増加後
- 減少： 減少前＋減少分＝減少後、増加前＞増加後
;,表１にあるパターン名でいう「増加」は、その意味から増加した後の量を求める用法であると分かる。
;,同様に、「求残」とは減少した後の量を求める用法と理解できる。
;,他の「○○○推論」は、「増加」と「求残」を正思考とする逆思考という考え方に由来する命名に思える。
//;,ここでは、以下の議論がし易いよう、何を求めているかに着目した系統名で呼ぶことにする
//((表に登場する量は全て「〜の数」と言えるため、名前に付けない方に統一した。))
//((表に登場する式は全て既知量から未知量を求める推論に該当するため、名前に付けない方に統一した。))。
;,増加・減少の違いを演算で表現する他に、量の方で表現する見方もできる。
;,それが後に習う負数を用いた用法となる。
//;,演算を一般化した方が抽象度が高くて便利になるため、物理や工学の分野では統合する場合が多い。
- 変化： 変化前＋変化分＝変化後
-- 変化分＞０： 増加前＜増加後
-- 変化分＝０： 増加前＝増加後
-- 変化分＞０： 増加前＞増加後
;,変化と増加・減少を纏めると表５のようになる。
;,ここで、変化分をΔ＝Ｉ＝−Ｄという関係が成り立つ。
|*l:表６： 負の概念に基づく変化と増加・減少のパターンの整理|<|<|<|<|h
| | |l=: | | |c
|* |< |*加算 |*減算 |< |t=:
|^ |^ |*求和 |*求被加数 |*求加数 |
|*変&br;化|*lx: |#00E:Ａ＋Δ＝Ｂ | Ｂ−Δ＝Ａ | Ｂ−Ａ＝Δ |t=:
|^ |^ |#00E: 求変化後 | 求変化前 | 求変化分 |tx:
|^ |^ |#00E: | | |tx:
|*tx: |*増&br;加|#00E:Ａ＋Ｉ＝Ｂ | Ｂ−Ｉ＝Ａ | Ｂ−Ａ＝Ｉ |
|^ |^ |#00E: 求増加後 | 求増加前 | 求増加分 |tx:
|^ |^ |#00E: （増加） | （増加前推論）| （増加数推論）|tx:
|^ |*減&br;少|#00E:Ａ＋(−Ｄ)＝Ｂ| Ｂ−(−Ｄ)＝Ａ | Ｂ−Ａ＝(−Ｄ)|
|^ |^ |#00E: 求減少後 | 求減少前 | 求減少分 |tx:
|^ |^ |#00E:（求残） | （減少前推論）| （減少数推論）|tx:
;,なるほど。増加・減少での所謂「正思考」とは、増加・減少の統合を見据えた見方と見受ける。
;,つまり、時間の流れに沿って、変化前と変化分から変化後を想像する思考を正としているように見える。
%bodynote
%bodynote
* 参考文献 [#nf57fec7]
- http://www1.kcn.ne.jp/~nakao/pdf/bunsyoudai.pdf
;,『適切なスキーマの構成を促す加法・減法の文章題の指導』
;, ── 中尾和人（奈良県大和郡山北小学校 ことばの教室）
-- 表１：問題種別「Ａ解く過程」、「Ｂ理解過程」の通過率（％）
- http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/
;,『算数用語集』
;, ── 新興出版社啓林館／啓林館／算数
-- １年／合併・増加
-- １年／求残・求差・求部分
-- １年／補加法
-- １年／求大・求小
-- ２年上／順思考・逆思考
--
- http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h18/2006yamada.pdf
;,『文章題の解決における問題スキーマの役割とその構成に関する研究』
;, ── 山田浩貴（兵庫教育大学大学院 学校教育研究科 教科・領域教育専攻 学位論文）
-- 表５−４：加減文章題の構造的な違い（Bebout, 1990より）--P57
- http://with-sskclub.blog.ocn.ne.jp/blog/2009/05/post_90b3.html
;,「加法（たし算）『合併』と『増加（添加）』
;, 減法（ひき算）『求残』と『求差』
;, ── ＳＳＫＣＬＵＢとともに
- http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20130106/1357419376
;,『[5×3] Re: 算数の教科書とその指導書の問題点』
;, ── わさっき
- http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf#page=88
;,『Common Core State StandardS for mathematics』 (p88)
;, ── COMMON CORE STATE STANDARDS INITIATIVE
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