導入 EditToHeaderToFooter

算数教育において、加算と減算に対して以下のように分類しているらしい。

  • 加算： 合併、増加、求大、減少前推論、逆求大
  • 減算： 求残、求差、求補、求小、増加前推論、増加数推論、減少数推論、逆求小

全部で加算５種、減算８種で、全部で合わせて計13種。
自分は、合併、増加、求差、求補を知っていたが、他は最近教えていただくまでは聞いたことも無かった。
というわけで、理解を兼ねて再整理してみた。

とある加減算の分類 EditToHeaderToFooter

加減算13種の分類は確かに存在するようだが、
残念ながら、ネット上に無料で公開されている資料では、中々定義を確認できなかった。
このため、資料を付きあわせて、定義を勘ぐるしかない。

個人的に一番分かりやすかったのが、中尾氏が作った「文章題バイキング」にある説明である。
http://nakao.yu-nagi.com/kyouzai-viking-bunsyoudai.htm
例文には限定された題材と記述が用いられているため、注目点や相違点が際立っている。

以下が「文章題バイキング」に登場するパターンである。（ほぼ引用、例文の文体に変更あり）

表１： 加減算文章題の分類パターン
演
算		パターン名パターン式例文
条件１条件２質問
加
算		合併Ａ＋Ｂ＝Ｘ林檎がＡ個ある。蜜柑がＢ個ある。全部で何個ある？
増加Ａ＋Ｂ＝Ｘ林檎がＡ個ある。林檎をＢ個貰った。全部で何個ある？
求大Ｘ＝Ａ＋Ｂ林檎がＡ個ある。蜜柑は林檎よりＢ個多い。蜜柑は何個ある？
減少前推論Ｘ−Ａ＝Ｂ林檎をＡ個あげた。林檎がＢ個になった。初めに何個あった？
逆求小Ｘ−Ａ＝Ｂ林檎がＡ個ある。林檎は蜜柑よりＢ個少ない。蜜柑は何個ある？
減
算		求残Ａ−Ｂ＝Ｘ林檎がＡ個ある。林檎をＢ個あげた。何個残っている？
求補Ａ−Ｂ＝Ｘ林檎と蜜柑が全部でＡ個ある。林檎はＢ個ある。蜜柑は何個ある？
求差Ａ−Ｂ＝Ｘ林檎がＡ個ある。蜜柑はＢ個ある。違いは何個？
求小Ｘ＝Ａ−Ｂ林檎がＡ個ある。蜜柑は林檎よりＢ個少ない。蜜柑は何個ある？
増加前推論Ｘ＋Ａ＝Ｂ林檎をＡ個貰った。林檎がＢ個になった。初めに何個あった？
減少数推論Ａ−Ｘ＝Ｂ林檎がＡ個あった。あげたらＢ個になった。何個あげた？
増加数推論Ａ＋Ｘ＝Ｂ林檎がＡ個あった。貰ったらＢ個になった。何個貰った？
求大Ａ−Ｘ＝Ｂ林檎がＡ個ある。林檎は蜜柑よりＢ個多い。蜜柑は何個ある？

解析的分類 EditToHeaderToFooter

一般に、加算Ａ＋Ｂ＝Ｃに関して、Ａを被加数、Ｂを加数、Ｃを和と呼ぶ。
加算自体を和を求める演算と捕らえることができる。
その場合、減法は被加数と加数を求める加法の逆演算と捕らえられる。

表２： 加算と減算の相関関係
加法減算
求和求被加数求加数
Ａ＋Ｂ＝ＣＣ−Ｂ＝ＡＣ−Ａ＝Ｂ

この関係のため、１つの式に意味付けすれば、他の２つの式も自ずと対応した意味が付く。
その対応した意味を並べると、表３が得られる。

ただし、規則性を見出すため、以下の工夫を施した：

  • パターン式は「既知は左辺、未知は右辺」に統一
  • キーとなる変数名には特別の文字を割当
表３： 加算と減算の相関関係に基づくパターンの整理
 加算減算
求和求被加数求加数
集
合		Ａ＋Ｂ＝ＣＣ−Ｂ＝ＡＣ−Ａ＝Ｂ
求全部求部分求部分
合併求補求補
変
化		増
加		Ａ＋Ｉ＝ＢＢ−Ｉ＝ＡＢ−Ａ＝Ｉ
求増加後求増加前求増加分
増加増加前推論増加数推論
減
少		Ｂ＋Ｄ＝ＡＡ−Ｄ＝ＢＡ−Ｂ＝Ｄ
求減少前求減少後求減少分
減少前推論求残減少数推論
比
較		正
差		Ａ＋Ｌ＝ＢＢ−Ｌ＝ＡＢ−Ａ＝Ｌ
正差求大正差求小求正差
求大求小求差
負
差		Ｂ＋Ｓ＝ＡＢ−Ｌ＝ＳＡ−Ｂ＝Ｓ
負差求大負差求小求負差
逆求小逆求大求差

集合 EditToHeaderToFooter

集合に関して、Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ集合$$ \{a_i\} $$、$$ \{b_i\} $$、$$ \{c_i\} $$の要素数に対応している。
集合間には以下の関係が成立していることが立式の前提条件となっている。

  • 同時条件： $$ \{a_i\} $$、$$ \{b_i\} $$、$$ \{c_i\} $$は同時に存在
  • 包含条件： $$ \{a_i\} $$$$ \cup $$$$ \{b_i\} $$$$ = $$$$ \{c_i\} $$
  • 排他条件： $$ \{a_i\} $$$$ \cap $$$$ \{b_i\} $$$$ = $$$$ \emptyset $$

同時条件は主に次の「変化」との区別である。時間が異なれば「変化」に分類される。
しかし、「合併」という名称は変化を暗示する動作動詞であるため、紛らわしい命名であると思う。
代わりとして、「求補」が「求部分」とも呼ばれるのに因み、「合併」を「求全部」と呼ぶ。

包含条件は主に次の「比較」との区別である。包含関係が無ければ「比較」に分類される。
合併の代表的動作である「合わせていくつ」が直結する和集合で条件式を記述しているが、
これは$$ \{a_i\} $$$$ \subset $$$$ \{c_i\} $$、$$ \{b_i\} $$$$ \subset $$$$ \{c_i\} $$と２つの包含関係に分解できる。

排他条件は唯一、加算固有の前提条件である。これが成立しなければ加算を適応できない。
ただ、様々な例文を眺める限り、排他条件が明記されることは滅多にない。
例えば「人は必ず男または女」というような、数学以外の（所謂常識レベルの）知識が回答者に求められる。

合併において、被加数と加数であるＡとＢが対称的である。
このため、減算の求被加数と求加数には違いが無く、同じく求補として分類される。
逆に、合併に関しても被加数と加数を区別せず交換可能で考えないと、この対称性を維持できなくなる。

変化 EditToHeaderToFooter

変化に関して、変化前をＡ、変化後をＢ、ＡとＢの大小関係で増加分Ｉ（increment）と減少分Ｄ（decrement）に分かれる。
以下の関係が成立していることが立式の前提条件となっている。

  • 異時条件：
  • 排他条件：

参考文献 EditToHeaderToFooter

  • 『適切なスキーマの構成を促す加法・減法の文章題の指導』
    中尾和人（奈良県大和郡山北小学校 ことばの教室）
    http://www1.kcn.ne.jp/~nakao/pdf/bunsyoudai.pdf
    • 表１：問題種別「Ａ解く過程」、「Ｂ理解過程」の通過率（％）
  • 『算数用語集』
    新興出版社啓林館／啓林館／算数
    http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/
    • １年／合併・増加
    • １年／求残・求差・求部分
    • １年／補加法
    • １年／求大・求小
    • ２年上／順思考・逆思考
  • 『文章題の解決における問題スキーマの役割とその構成に関する研究』
    山田浩貴（兵庫教育大学大学院 学校教育研究科 教科・領域教育専攻 学位論文）
    http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h18/2006yamada.pdf
    • 表５−４：加減文章題の構造的な違い（Bebout, 1990より）--P57
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