指数対数の合成関数の無限級数展開 のバックアップ(No.14) |
設問前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する: とすると、指数計算によりとが打消し、簡単な式になる:
をデーラー展開すると、係数が全て1の級数が得られる。
一方で、とを級数展開してもの級数展開が求まる:
をに代入して:
よって、上で求めたと合わせて、次の等式が成り立つことになる。 ここで係数比較をすると、任意のについての係数が1でなければならない結論に至る。 この関係式は指数・対数、そしてテーラー展開を経由しているが、単なる級数展開でも導けるはず。
展開問題は係数の証明であるため、を作るべく、を展開する。 雰囲気を掴めるため、とりあえず具体的な展開をしてみる。
について、の部分は次多項式の乗展開を意味する。 の係数を抜き出すと、任意のについて以下の式が成り立つ。 式中の総乗の条件式は、正整数範囲でについてに加数分解を行う意味である。
ところが、この総乗も厄介なもので先に進めない。 帰納法のための漸化式冪の漸化式これまでの調べで、項の数が正整数範囲でのの加数分解のパターン数であると分かった。 例えばの場合、冪は4つのの積を意味する。 ここで、4の加数分解は、のグルーピングと解釈できる。 一般化すると、個のの間というヶ所に「」を入れることになるため、 また、先頭のを除き、「」を「」に、「」を「」に符号化すると、
は2進数の桁数に対応するため、からに進めることは、1桁増やすことを意味する。
これから、のとき、分割されるについて考え、漸化式を作る。
係数の漸化式「係数の抽出」の節で得られた結果より、の係数は。 さらに、総和記号を落とすと、のように分割されるの係数が得られる: 同様に、に対応する次の係数は以下のようになる。
共に分母分子を調節して、を作り出すと係数の漸近式になる: 最終漸化式数学的帰納法k = 1k = c + 1結論まとめ |