設問 EditToHeaderToFooter

前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する：

$$ f(x) $$$$ \equiv $$$$ - \log $$$$ (1-x) $$

$$ g(y) $$$$ \equiv $$$$ \exp $$$$ y $$

$$ h(x) $$$$ \equiv $$$$ g\big(f(x)\big) $$とすると、指数計算により$$ \log $$と$$ \exp $$が打消し、簡単な式になる：

$$ h(x) = $$$$ \exp $$$$ \Big({-\log} (1-x) \Big) $$$$ = $$$$ \exp $$$$ \Big( \log (1-x)^{-1} \Big) $$$$ = $$$$ \cancel{\exp\!\mathstrut} $$$$ \cancel{\log\!\mathstrut} $$$$ \ffd{1}{1-x} $$
　　　$$ = $$$$ \ffd{1}{1-x} $$

$$ \ffd{1}{1-x} $$をデーラー展開すると、係数が全て１の級数が得られる。

$$ h(x) = $$$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$$$ x^k $$

ただし、成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される

一方で、$$ f(x) $$と$$ g(y) $$を級数展開しても$$ h(x) $$の級数展開が求まる：

$$ f(x) $$$$ = $$$$ -\log $$$$ (1-x) $$$$ = $$$$ -\log $$$$ \Big(1+(-x)\Big) $$
　　　$$ = $$$$ \cancel{-} $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{(\cancel{-}1)^{n+1}}{n} $$$$ (\cancel{-}x)^n $$
　　　$$ = $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} $$$$ x^n $$

一般に、
$$ \log(1+x) $$$$ = $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{(-1)^{n+1}}{n} $$$$ x^n $$
ただし、成立するためには、
収束条件$$ |x| < 1 $$が課される

$$ g(y) $$$$ = $$$$ \exp $$$$ y $$
　　　$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ y^m $$

一般に、
$$ \exp $$$$ x $$$$ = $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n!} $$$$ x^n $$

$$ f(x) $$を$$ g(y) $$に代入して：

$$ h(x) $$$$ = $$$$ g\big(f(x)\big) $$$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \Big(f(x)\Big)^m $$
　　　$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg( $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} $$$$ x^n $$$$ \bigg)^m $$

よって、上で求めた$$ h(x) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{1-x} $$と合わせて、次の等式が成り立つことになる。

$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$$$ x^k $$$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg( $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} $$$$ x^n $$$$ \bigg)^m $$

ここで係数比較をすると、任意の$$ k $$$$ = $$$$ n $$$$ + $$$$ m $$について$$ x^k $$の係数が１でなければならない結論に至る。

この関係式は指数・対数、そしてテーラー展開を経由しているが、単なる級数展開でも導けるはず。
しかし、無限級数の入子が含まれているため、簡単には導けない。
したがって、問題：

指数・対数を経由せずに$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg( $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} $$$$ x^n $$$$ \bigg)^m $$の係数が全て１であることを証明せよ

展開 EditToHeaderToFooter

問題は係数の証明であるため、$$ x^k $$を作るべく、$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg( $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} $$$$ x^n $$$$ \bigg)^m $$を展開する。

雰囲気を掴めるため、とりあえず具体的に展開し、係数や指数の流れを追う。

$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg( $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} $$$$ x^n $$$$ \bigg)^m $$
$$ = $$$$ \ffd{1}{1!} $$$$ \bigg( $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ + $$$$ \ffd{x^3}{3} $$$$ + $$$$ \ffd{x^4}{4} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \bigg)^1 $$
$$ + $$$$ \ffd{1}{2!} $$$$ \bigg( $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ + $$$$ \ffd{x^3}{3} $$$$ + $$$$ \ffd{x^4}{4} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \bigg)^2 $$
$$ + $$$$ \ffd{1}{3!} $$$$ \bigg( $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ + $$$$ \ffd{x^3}{3} $$$$ + $$$$ \ffd{x^4}{4} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \bigg)^3 $$
$$ + $$$$ \ffd{1}{4!} $$$$ \bigg( $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ + $$$$ \ffd{x^3}{3} $$$$ + $$$$ \ffd{x^4}{4} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \bigg)^4 $$
$$ + $$$$ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \phantom{\bigg)^5} $$
$$ = $$$$ \ffd{1}{1!} $$$$ \bigg( $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ + $$$$ \ffd{x^3}{3} $$$$ + $$$$ \ffd{x^4}{4} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \bigg) $$
$$ + $$$$ \ffd{1}{2!} $$$$ \bigg( $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ + $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^3}{3} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \, $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ + $$$$ \, $$$$ \ffd{x^3}{3} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \, $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \cdots $$$$ \bigg) $$
$$ + $$$$ \ffd{1}{3!} $$$$ \bigg( $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \, $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \, $$$$ \ffd{x^2}{2} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \, $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \cdots $$$$ \cdots $$$$ \bigg) $$
$$ + $$$$ \ffd{1}{4!} $$$$ \bigg( $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ \ffd{x^1}{1} $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \, $$$$ + $$$$ \cdots $$$$ \cdots $$$$ \cdots $$$$ \cdots $$$$ \bigg) $$
$$ + $$$$ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \phantom{\bigg)^5} $$

この展開からは、ざっくり以下のことが読み取れる：

  • $$ x^k $$は$$ f(x) $$の展開に由来する$$ x^n $$の積で構成される
  • $$ x^n $$に対応した$$ f(x) $$由来の$$ \ffd{1}{n} $$が係数の因子に含まれる
  • 構成する$$ x^n $$の数、つまり$$ x^k $$の分割数に対応する$$ g(y) $$の展開に由来の$$ \ffd{1}{m!} $$が係数の因子に含まれる

まとめると、各項は$$ m $$個の$$ x^n $$と、$$ m $$個の$$ \ffd{1}{n} $$と、１つの$$ \ffd{1}{m!} $$からなる。
このため、$$ h(x) $$をこれらの因子で直接記述できる。

$$ h(x) $$$$ = $$$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$$$ \sum_{j=1} $$$$ \ffd{1}{m_j!} $$$$ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{x^{n_{i,j}}}{n_{i,j}} $$

分割数$$ m $$が同じでも分割の仕方が異なる項が存在するため、添字$$ j $$を作って区別することにした。
また、$$ x^k $$の分割であるため、$$ \sum_{i=0}^{m_j} n_{i,j} $$$$ = $$$$ k $$という関係が成り立ち、$$ \prod_{i=0}^{m} x^n $$$$ = $$$$ x^{\sum n} $$$$ = $$$$ x^k $$と変形できる。
よって：

$$ h(x) $$$$ = $$$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$$$ x^k $$$$ \sum_{j=1} $$$$ \ffd{1}{m_j!} $$$$ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{1}{n_{i,j}} $$

項の数 EditToHeaderToFooter

以上で、項を区別するために添字$$ j $$を導入したのは良いが、その上限はまだ知らない。
以下では、$$ x^k $$の分割について調べ、$$ j $$の上限を決定する。

$$ \sum_{i=0}^{m_j} n_{i,j} $$$$ = $$$$ k $$の関係のため、$$ x^k $$の分割は、$$ k $$の加数分解と等価である。
例えば$$ k = 4 $$の場合では、$$ 4 $$を以下の８通りに分解できる：

表１： $$ k = 4 $$の場合の加数分解
加数分解$$ j $$$$ [n_{i,j}] $$$$ m_j $$$$ = $$$$ \dim[n_{i,j}] $$
$$ 4 = 4 $$1$$ [4] $$$$ 1 $$
$$ 4 = 3 + 1 $$2$$ [3, 1] $$$$ 2 $$
$$ 4 = 2 + 2 $$3$$ [2, 2] $$$$ 2 $$
$$ 4 = 2 + 1 + 1 $$4$$ [1, 1, 1] $$$$ 3 $$
$$ 4 = 1 + 3 $$5$$ [1, 3] $$$$ 2 $$
$$ 4 = 1 + 2 + 1 $$6$$ [1, 2, 1] $$$$ 3 $$
$$ 4 = 1 + 1 + 2 $$7$$ [1, 1, 2] $$$$ 3 $$
$$ 4 = 1 + 1 + 1 + 1 $$8$$ [1, 1, 1, 1] $$$$ 4 $$

また、冪$$ x^4 $$は４つの$$ x $$の積を意味するが、その分割は次式の「$$ \cdot $$」に「$$ | $$」を入れて区切る操作に等しい。

$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$　　⇒　　$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$

それぞれの「$$ \cdot $$」について「$$ | $$」を「入れる」または「入れない」の$$ 2 $$択であるため、
$$ 3 $$ヵ所であれば$$ 2^3 = 8 $$通り出来て、表１の$$ 8 $$個の項に対応する。

一般化すると、$$ k $$個の$$ x $$であれば、$$ k-1 $$ヶ所に「$$ | $$」を入れるため、全部で$$ 2^{k-1} $$個の項が出来る。
これが項を区別$$ j $$の上限となる。
したがって：

$$ h(x) $$$$ = $$$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$$$ x^k $$$$ \sum_{j=1}^{2^k} $$$$ \ffd{1}{m_j!} $$$$ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{1}{n_{i,j}} $$

以上より、与題は次と等価であると言える：

$$ \forall k \in \mathbb{N}_0 $$：　　$$ \sum_{j=1}^{2^k} $$$$ \ffd{1}{m_j!} $$$$ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{1}{n_{i,j}} $$$$ = $$$$ 1 $$　　ただし、$$ \sum_{i=0}^{m_j} n_{i,j} $$$$ = $$$$ k $$

帰納法のための漸化式 EditToHeaderToFooter

冪の漸化式 EditToHeaderToFooter

以上では、とりあえず$$ x^k $$の積和型を作り、係数を抽出できた。
しかし、この総乗もまた厄介なもので、あまり扱いたくはない。
そこで、総乗を回避するべく、$$ k $$についての漸化式を見いだし、数学的帰納法で攻めることにする。

項数が$$ 2^k $$であるため、$$ k $$が増えるごとに項数が２倍になる。
このため、漸化式を作るには、$$ k = c $$の各項に対し$$ k = c + 1 $$の項を２つ対応させる必要がある。

「$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$」のような分割について、
分割しないことを表す「$$ \cdot $$」を「$$ 0 $$」、分割することを表す「$$ \pipe $$」を「$$ 1 $$」に符号化すると、
分割を$$ k-1 $$桁の２進数$$ b $$で表すことができる。

例えば、$$ k = 4 $$の場合は次のようになる。

表２： 分割の符号化
加数分解$$ j $$$$ [n_i] $$$$ x $$分割表現$$ b $$$$ m_j $$$$ = $$$$ \dim[n_{i,j}] $$
$$ 4 = 4 $$1$$ [4] $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ 000_2 $$$$ 1 $$
$$ 4 = 3 + 1 $$2$$ [3, 1] $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ 001_2 $$$$ 2 $$
$$ 4 = 2 + 2 $$3$$ [2, 2] $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ 010_2 $$$$ 2 $$
$$ 4 = 2 + 1 + 1 $$4$$ [2, 1, 1] $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ 011_2 $$$$ 3 $$
$$ 4 = 1 + 3 $$5$$ [1, 3] $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ 100_2 $$$$ 2 $$
$$ 4 = 1 + 2 + 1 $$6$$ [1, 2, 1] $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ 101_2 $$$$ 3 $$
$$ 4 = 1 + 1 + 2 $$7$$ [1, 1, 2] $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ 110_2 $$$$ 3 $$
$$ 4 = 1 + 1 + 1 + 1 $$8$$ [1, 1, 1, 1] $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ 111_2 $$$$ 4 $$

２進数であるため、１桁増やすことは、末尾に「$$ 0 $$」または「$$ 1 $$」を付ける規則で表現できる。
この規則を利用すると、$$ k = c $$桁の分割から$$ c + 1 $$桁の分割を過不足無く作り出せる。

表３： 漸化式的な$$ x^k $$
$$ k = 1 $$$$ x $$
$$ b $$$$ , m_{j,k} = 1 $$
$$ k = 2 $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$
$$ 0_2 $$$$ , 1 $$$$ 1_2 $$$$ , 2 $$
$$ k = 3 $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$
$$ 00_2 $$$$ , 1 $$$$ 01_2 $$$$ , 2 $$$$ 10_2 $$$$ , 2 $$$$ 11_2 $$$$ , 3 $$
$$ k = 4 $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \cdot $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \cdot x $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$$$ \pipe $$$$ x $$
$$ 000_2 $$$$ , 1 $$$$ 001_2 $$$$ , 2 $$$$ 010_2 $$$$ , 2 $$$$ 011_2 $$$$ , 2 $$$$ 100_2 $$$$ , 2 $$$$ 101_2 $$$$ , 3 $$$$ 110_2 $$$$ , 3 $$$$ 111_2 $$$$ , 4 $$
$$ \cdots $$$$ \cdots \cdots $$

これから、$$ k = c $$のとき、$$ m $$分割される$$ [n_i] $$について考え、漸化式を作る。
厳密にするため、$$ n_{i,\,j}^{(k)} $$のように右上添字で異なる$$ k $$を作る$$ n_{i,j} $$を区別する。
$$ [n_{i,\,j}^{(k)}] $$$$ = $$$$ [n_1, n_2, \cdots, n_m] $$とおくと、$$ k = c+1 $$の項を作る規則を次のように表現できる：

$$ [n_{i,\,2j+0}^{(k)}] $$$$ = $$$$ [n_1, n_2, \cdots, n_m \iro[ak]{+} 1] $$　　（$$ m $$分割のまま）

$$ [n_{i,\,2j+1}^{(k)}] $$$$ = $$$$ [n_1, n_2, \cdots, n_m\ \iro[ak]{,}\ 1] $$　　（$$ m+1 $$分割に増える）

係数の漸化式 EditToHeaderToFooter

「係数の抽出」の節で得られた結果より、$$ x^k $$の係数は$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} $$。
「冪の漸化式」の節で得られた結果より、$$ x^k $$となる項は全部で$$ 2^k $$個現れる。
このため、総和記号$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$の上限は実際$$ 2^k $$で止まり*1、$$ x^k $$の係数は$$ \sum_{m=1}^{2^k} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} $$になる。

さらに、総和記号$$ \sum_{m=1}^{2^k} $$を落とすと、$$ [n_i] $$$$ = $$$$ [n_1, n_2, \cdots, n_m] $$のように分割される$$ x^k $$の係数$$ a_{[n_i]} $$が得られる：

$$ a_{[n_i]} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} $$

同様に、$$ [n_i] $$に対応する$$ k + 1 $$次の係数は以下のようになる。

$$ [n_{i;0}] $$$$ = $$$$ [n_1, n_2, \cdots, n_{\iro[ak]{m-1}}, \iro[ak]{n_m + 1}] $$：　　$$ a_{[n_{i;0}]} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{(m\iro[ao]{+0})!} $$$$ \bigg( \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{\iro[ak]{m-1}} \!\!\!\ffd{1}{n_i} \bigg) $$$$ \cdot $$$$ \ffd{1}{\iro[ak]{n_m + 1}} $$

$$ [n_{i;1}] $$$$ = $$$$ [n_1, n_2, \cdots, n_{ m-1} , n_m\ ,\ \iro[ak]{1}] $$：　　$$ a_{[n_{i;1}]} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{(m\iro[ao]{+1})!} $$$$ \bigg( \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} \bigg) $$$$ \cdot $$$$ \ffd{1}{\iro[ak]{ 1}} $$

共に分母分子を調節して、$$ [n_i] $$を作り出すと係数の漸近式になる：

$$ a_{[n_i]} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} $$

$$ a_{[n_{i;0}]} $$$$ = $$$$ \cancelto{a_{[n_i]}}{\ffd{1}{m!} \bigg( \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m-1} \!\!\!\ffd{1}{n_i} \bigg) \cdot \ffd{1}{\iro[ao]{n_m}}} \;\; \cdot \ffd{\iro[ao]{n_m}}{n_m + 1} $$

$$ = $$$$ \ffd{n_m}{n_m + 1} a_{[n_i]} $$

$$ a_{[n_{i;1}]} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{\iro[ao]{m+1}} $$$$ \cdot $$$$ \cancelto{a_{[n_i]}}{\ffd{1}{\iro[ao]{m!}} \bigg( \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} \bigg)}\;\;\;\;\;\;\;\, $$

$$ = $$$$ \ffd{1}{m + 1} a_{[n_i]} $$

*1 $$ h(x) $$の無限級数では、元々外に$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$が付いており、$$ k $$$$ \to $$$$ \infty $$$$ \Rightarrow $$$$ 2^k $$$$ \to $$$$ \infty $$になるため辻褄は合っている。

最終漸化式 EditToHeaderToFooter

数学的帰納法 EditToHeaderToFooter

k = 1 EditToHeaderToFooter

k = c + 1 EditToHeaderToFooter

結論 EditToHeaderToFooter

まとめ EditToHeaderToFooter
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