指数対数の合成関数の無限級数展開 のバックアップ(No.18) |
設問前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する: とすると、指数計算によりとが打消し、簡単な式になる:
をデーラー展開すると、係数が全て1の級数が得られる。
一方で、とを級数展開してもの級数展開が求まる:
をに代入して:
よって、上で求めたと合わせて、次の等式が成り立つことになる。 ここで係数比較をすると、任意のについての係数が1でなければならない結論に至る。 この関係式は指数・対数、そしてテーラー展開を経由しているが、単なる級数展開でも導けるはず。
係数の抽出問題は係数の証明であるため、を作るべく、を展開する。 積和表現雰囲気を掴めるため、とりあえず具体的に展開し、係数や指数の流れを追う。
この展開からは、ざっくり以下のことが読み取れる:
まとめると、各項は個のと、個のと、1つのからなる。 分割数が同じでも分割の仕方が異なる項が存在するため、添字を作って区別することにした。 項の数(の上限)以上で、項を区別するために添字を導入したのは良いが、その上限はまだ知らない。 の関係のため、の分割は、の加数分解と等価である。
また、冪は4つのの積を意味するが、その分割は次式の「」に「」を入れて区切る操作に等しい。
それぞれの「」について「」を「入れる」または「入れない」の択であるため、 一般化すると、個のであれば、ヶ所に「」を入れるため、全部で個の項が出来る。 係数表現による与題の読替え以上より、与題は次と等価であると言える:
帰納法のための漸化式分割の漸化式以上では、とりあえずの積和型を作り、係数を抽出できた。 項数がであるため、が増えるごとに項数が2倍になる。 「」のような分割について、 例えば、の場合は次のようになる。
2進数であるため、1桁増やすことは、末尾に「」または「」を付ける規則で表現できる。
これから、のとき、分割されるについて考え、漸化式を作る。
係数の漸化式既に求めたはに対する係数である。 同様に、に対応する次の係数は以下のようになる。
共に分母分子を調節して、を作り出すと係数の漸近式になる: 最終漸化式数学的帰納法k = 1k = c + 1結論まとめ |