%indent

* 設問 [#t8f3168d]
////////////////////////////////////////////////////////////////
前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する：
#ceq(e)
  $$ f(x) $ \equiv $ - \log $ (1-x) $$
#ceq(e)
  $$ g(y) $ \equiv $ \exp $ y $$
#ceq(end)

;,$$ h(x) $ \equiv $ g\big(f(x)\big) $$とすると、指数計算により$$ \log $$と$$ \exp $$が打消し、簡単な式になる：
#ceq(e)
  $$ h(x) = $ \exp $ \Big({-\log} (1-x) \Big) $ = $ \exp $ \Big( \log (1-x)^{-1} \Big) $ = $ \cancel{\exp\!\mathstrut} $ \cancel{\log\!\mathstrut} $ \ffd{1}{1-x} $$
;,　　　$$ = $ \ffd{1}{1-x} $$
#ceq(end)
;,$$ \ffd{1}{1-x} $$をデーラー展開すると、係数が全て１の級数が得られる。
#ceq(e)
  $$ h(x) = $ \sum_{k=0}^{\infty} $ x^k $$
#ceq(a)
;,ただし、成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される
#ceq(end)

;,一方で、$$ f(x) $$と$$ g(y) $$を級数展開しても$$ h(x) $$の級数展開が求まる：
#ceq(e)
  $$ f(x) $ = $ -\log $ (1-x) $ = $ -\log $ \Big(1+(-x)\Big) $$
;,　　　$$ = $ \cancel{-} $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{(\cancel{-}1)^{n+1}}{n} $ (\cancel{-}x)^n $$
;,　　　$$ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} $ x^n $$
#ceq(a)
;,一般に、
;,$$ \log(1+x) $ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{(-1)^{n+1}}{n} $ x^n $$
;,ただし、成立するためには、
;,収束条件$$ |x| < 1 $$が課される
#ceq(e)
;,$$ g(y) $ = $ \exp $ y $$
;,　　　$$ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ y^m $$
#ceq(a)
;,一般に、
;,$$ \exp $ x $ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n!} $ x^n $$
#ceq(end)

;,$$ f(x) $$を$$ g(y) $$に代入して：
#ceq(e)
  $$ h(x) $ = $ g\big(f(x)\big) $ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \Big(f(x)\Big)^m $$
#ceq(e)
;,　　　$$ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg( $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} $ x^n $ \bigg)^m $$
#ceq(a)
;,以下、総和$$ \sum $$や総積$$ \prod $$などの多項演算子は、
;,括弧で複雑にならないよう、式の最後までを範囲とする。
#ceq(end)

;,よって、上で求めた$$ h(x) $ = $ \ffd{1}{1-x} $$と合わせて、次の等式が成り立つことになる。
#ceq(e)
  $$ \sum_{k=0}^{\infty} $ x^k $ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg( $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} $ x^n $ \bigg)^m $$
#ceq(end)
;,ここで係数比較をすると、任意の$$ k $ = $ n $ + $ m $$について$$ x^k $$の係数が１でなければならない結論に至る。

;,この関係式は指数・対数、そしてテーラー展開を経由しているが、単なる級数展開でも導けるはず。
;,しかし、無限級数の入子が含まれているため、簡単には導けない。
;,したがって、問題：
#ceq(e)
  指数・対数を経由せずに$$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg( $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} $ x^n $ \bigg)^m $$の係数が全て１であることを証明せよ
#ceq(end)

%bodynote

* 係数の抽出 [#u4d4f4cf]
////////////////////////////////////////////////////////////////
;,問題は係数の証明であるため、$$ x^k $$を作るべく、$$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg( $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} $ x^n $ \bigg)^m $$を展開する。

////////////////////////////////////////////////////////////////
** 積和表現 [#z31a8039]

;,雰囲気を掴めるため、とりあえず具体的に展開し、係数や指数の流れを追う。
#ceq(e)
  $$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg( $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} $ x^n $ \bigg)^m $$
;,$$ = $ \ffd{1}{1!} $ \bigg( $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \ffd{x^2}{2} $ + $ \ffd{x^3}{3} $ + $ \ffd{x^4}{4} $ + $ \cdots $ \bigg)^1 $$
;,$$ + $ \ffd{1}{2!} $ \bigg( $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \ffd{x^2}{2} $ + $ \ffd{x^3}{3} $ + $ \ffd{x^4}{4} $ + $ \cdots $ \bigg)^2 $$
;,$$ + $ \ffd{1}{3!} $ \bigg( $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \ffd{x^2}{2} $ + $ \ffd{x^3}{3} $ + $ \ffd{x^4}{4} $ + $ \cdots $ \bigg)^3 $$
;,$$ + $ \ffd{1}{4!} $ \bigg( $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \ffd{x^2}{2} $ + $ \ffd{x^3}{3} $ + $ \ffd{x^4}{4} $ + $ \cdots $ \bigg)^4 $$
;,$$ + $ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \phantom{\bigg)^5} $$
;,$$ = $ \ffd{1}{1!} $ \bigg( $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \ffd{x^2}{2} $ + $ \ffd{x^3}{3} $ + $ \ffd{x^4}{4} $ + $ \cdots $ \bigg) $$
;,$$ + $ \ffd{1}{2!} $ \bigg( $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^2}{2} $ + $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^3}{3} $ + $ \cdots $ \, $ \ffd{x^2}{2} $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \ffd{x^2}{2} $ \ffd{x^2}{2} $ + $ \cdots $ + $ \, $ \ffd{x^3}{3} $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \cdots $ \, $ + $ \cdots $ \cdots $ \bigg) $$
;,$$ + $ \ffd{1}{3!} $ \bigg( $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^2}{2} $ + $ \cdots $ \, $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^2}{2} $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \cdots $ \, $ \ffd{x^2}{2} $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \cdots $ \, $ + $ \cdots $ \cdots $ \cdots $ \bigg) $$
;,$$ + $ \ffd{1}{4!} $ \bigg( $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^1}{1} $ \ffd{x^1}{1} $ + $ \cdots $ \, $ + $ \cdots $ \cdots $ \cdots $ \cdots $ \bigg) $$
;,$$ + $ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \phantom{\bigg)^5} $$
#ceq(end)

この展開からは、ざっくり以下のことが読み取れる：
- $$ x^k $$は$$ f(x) $$の展開に由来する$$ x^n $$の積で構成される
- $$ x^n $$に対応した$$ f(x) $$由来の$$ \ffd{1}{n} $$が係数の因子に含まれる
- 構成する$$ x^n $$の数、つまり$$ x^k $$の分割数に対応する$$ g(y) $$の展開に由来の$$ \ffd{1}{m!} $$が係数の因子に含まれる

;,まとめると、各項は$$ m $$個の$$ x^n $$と、$$ m $$個の$$ \ffd{1}{n} $$と、１つの$$ \ffd{1}{m!} $$からなる。
;,このため、$$ h(x) $$をこれらの因子で直接記述できる。
#ceq(e)
  $$ h(x) $ = $ \sum_{k=0}^{\infty} $ \sum_{j=1} $ \ffd{1}{m_j!} $ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{x^{n_{i,j}}}{n_{i,j}} $$
#ceq(end)

//  $$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$について、
//  $$ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$の部分は$$ n $$次多項式の$$ m $$乗展開を意味する。
//;,このため、直接多項式展開の記述$$ \sum_{k=0}^{\infty} $ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^m \!\!\!\ffd{1}{n_{i_j}} x^k $$に置き換えできる。
//  
//;,$$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$
//  $$ = $$
//  $$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg( $ \sum_{k = 0}^{\infty} $ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} $ \bigg) $ x^k $$
//  $$ = $$
//  $$ \sum_{k=0}^{\infty} $ \bigg( $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} $ \bigg) $ x^k $$
//
//;,$$ x^k $$の係数を抜き出すと、任意の$$ k $$について以下の式が成り立つ。
//#ceq(e)
//  $$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} $ = $ 1 $$
//#ceq(end)
//
//;,式中の総乗$$ \prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^m $$の条件式は、正整数範囲で$$ k $$について$$ [n_i] $$に加数分解を行う意味である。
//;,総乗の上限$$ m $$は、加数分解結果より$$ n_i $$項数が決まり、$$ i $$の上限である$$ m $$が逆に制限されることを意味する。

;,分割数$$ m $$が同じでも分割の仕方が異なる項が存在するため、添字$$ j $$を作って区別することにした。
;,また、$$ x^k $$の分割であるため、$$ \sum_{i=0}^{m_j} n_{i,j} $ = $ k $$という関係が成り立ち、
$$ \prod_{i=0}^{m} x^n $ = $ x^{\sum n} $ = $ x^k $$と変形できる。
;,よって：
#ceq(e)
  $$ h(x) $ = $ \sum_{k=0}^{\infty} $ x^k $ \sum_{j=1} $ \ffd{1}{m_j!} $ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{1}{n_{i,j}} $$
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
** 項の数（$$ j $$の上限） [#l500a3aa]

;,以上で、項を区別するために添字$$ j $$を導入したのは良いが、その上限はまだ知らない。
;,以下では、$$ x^k $$の分割について調べ、$$ j $$の上限を決定する。

;,$$ \sum_{i=0}^{m_j} n_{i,j} $ = $ k $$の関係のため、$$ x^k $$の分割は、$$ k $$の加数分解と等価である。
;,例えば$$ k = 4 $$の場合では、$$ 4 $$を以下の８通りに分解できる：
|*l:表１： $$ k = 4 $$の場合の加数分解|<|<|<|h
|l:                      |l=:   |l:                 |        |c
|*加数分解               |*$$j$$|*$$ \:n_j        $$|*$$ m_j $ = $ \dim \:n_j $$|t=:
|*$$ 4 = 4             $$| $$1$$| $$ [4]          $$| $$ 1 $$|t=:
|*$$ 4 = 3 + 1         $$| $$2$$| $$ [3, 1]       $$| $$ 2 $$|
|*$$ 4 = 2 + 2         $$| $$3$$| $$ [2, 2]       $$| $$ 2 $$|
|*$$ 4 = 2 + 1 + 1     $$| $$4$$| $$ [1, 1, 1]    $$| $$ 3 $$|
|*$$ 4 = 1 + 3         $$| $$5$$| $$ [1, 3]       $$| $$ 2 $$|
|*$$ 4 = 1 + 2 + 1     $$| $$6$$| $$ [1, 2, 1]    $$| $$ 3 $$|
|*$$ 4 = 1 + 1 + 2     $$| $$7$$| $$ [1, 1, 2]    $$| $$ 3 $$|
|*$$ 4 = 1 + 1 + 1 + 1 $$| $$8$$| $$ [1, 1, 1, 1] $$| $$ 4 $$|

;,また、冪$$ x^4 $$は４つの$$ x $$の積を意味するが、その分割は次式の「$$ \cdot $$」に「$$ | $$」を入れて区切る操作に等しい。
#ceq(e) 
  $$ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $$　　⇒　　$$ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $ \cdot $ x $$
#ceq(end)

;,それぞれの「$$ \cdot $$」について「$$ | $$」を「入れる」または「入れない」の$$ 2 $$択であるため、
;,$$ 3 $$ヵ所であれば$$ 2^3 = 8 $$通り出来て、表１の$$ 8 $$個の項に対応する。

;,一般化すると、$$ k $$個の$$ x $$であれば、$$ k-1 $$ヶ所に「$$ | $$」を入れるため、全部で$$ 2^{k-1} $$個の項が出来る。
;,これが項を区別$$ j $$の上限となる。
;,したがって：
#ceq(e)
  $$ h(x) $ = $ \sum_{k=0}^{\infty} $ x^k $ \sum_{j=1}^{2^k} $ \ffd{1}{m_j!} $ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{1}{n_{i,j}} $$
#ceq(end)

** 係数表現による与題の読替え [#q5680511]
;,以上より、与題は次と等価であると言える：
#ceq(e)
  $$ h(x) $$のテーラー展開における$$ x^k $$の係数を$$ A_k $$とすると、
#ceq(e)
  $$ h(x) $ = $ \sum_{k=0}^{\infty} $ A_k $ x^k $$、　　$$ A_k $ = $ \sum_{j=1}^{2^k} $ \ffd{1}{m_j!} $ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{1}{n_{i,j}} $$
#ceq(e)
  $$ \forall k \in \mathbb{N}_0 $$：　$$ A_k $ = $ 1 $$　　ただし、$$ \sum_{i=0}^{m_j} n_{i,j} $ = $ k $$
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
* 帰納法のための漸化式 [#yd2a839e]
** 分割の漸化式 [#p9ea733a]

;,以上では、とりあえず$$ x^k $$の積和型を作り、係数を抽出できた。
;,しかし、この総乗もまた厄介なもので、あまり扱いたくはない。
;,そこで、総乗を回避するべく、$$ k $$についての漸化式を見いだし、数学的帰納法で攻めることにする。

;,項数が$$ 2^k $$であるため、$$ k $$が増えるごとに項数が２倍になる。
;,このため、漸化式を作るには、$$ k = c $$の各項に対し$$ k = c + 1 $$の項を２つ対応させる必要がある。

;,「$$ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $ \cdot $ x $$」のような分割について、
;,分割しないことを表す「$$ \cdot $$」を「$$ 0 $$」、分割することを表す「$$ \pipe $$」を「$$ 1 $$」に符号化すると、
;,分割を$$ k-1 $$桁の２進数$$ b $$で表すことができる。

;,例えば、$$ k = 4 $$の場合は次のようになる。
|*l:表２： 分割の符号化|<|<|<|<|<|h
|l:                      |l=:   |l:                 |                                            |            |        |c
|*加数分解               |*$$j$$|*$$ \:n_j        $$|*$$ x $$分割表現                            |*$$ b $$    |*$$ m_j $ = $ \dim \:n_j $$|t=:
|*$$ 4 = 4             $$| $$1$$| $$ [4]          $$| $$ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $$| $$ 000_2 $$| $$ 1 $$|t=:
|*$$ 4 = 3 + 1         $$| $$2$$| $$ [3, 1]       $$| $$ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $$| $$ 001_2 $$| $$ 2 $$|
|*$$ 4 = 2 + 2         $$| $$3$$| $$ [2, 2]       $$| $$ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $ \cdot $ x $$| $$ 010_2 $$| $$ 2 $$|
|*$$ 4 = 2 + 1 + 1     $$| $$4$$| $$ [2, 1, 1]    $$| $$ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $ \pipe $ x $$| $$ 011_2 $$| $$ 3 $$|
|*$$ 4 = 1 + 3         $$| $$5$$| $$ [1, 3]       $$| $$ x $ \pipe $ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $$| $$ 100_2 $$| $$ 2 $$|
|*$$ 4 = 1 + 2 + 1     $$| $$6$$| $$ [1, 2, 1]    $$| $$ x $ \pipe $ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $$| $$ 101_2 $$| $$ 3 $$|
|*$$ 4 = 1 + 1 + 2     $$| $$7$$| $$ [1, 1, 2]    $$| $$ x $ \pipe $ x $ \pipe $ x $ \cdot $ x $$| $$ 110_2 $$| $$ 3 $$|
|*$$ 4 = 1 + 1 + 1 + 1 $$| $$8$$| $$ [1, 1, 1, 1] $$| $$ x $ \pipe $ x $ \pipe $ x $ \pipe $ x $$| $$ 111_2 $$| $$ 4 $$|

;,２進数であるため、１桁増やすことは、末尾に「$$ 0 $$」または「$$ 1 $$」を付ける規則で表現できる。
;,この規則を利用すると、$$ k = c $$桁の分割から$$ c + 1 $$桁の分割を過不足無く作り出せる。
|*l:表３： 漸化式的な$$ x^k $$|<|<|<|<|<|<|<|<|h
|             |l=:c:                                      |l3px#EEE:c:                                |l3px#EEE:c:                                |l3px#EEE:c:                                  |l3px#EEE:c:                                  |l3px#EEE:c:                                |l3px#EEE:c:                              |l3px#EEE:c:                                |c
|*$$ k = 1  $$|$$ x                                     $$|<                                          |<                                          |<                                            |<                                            |<                                          |<                                        |<                                          |t=:
|^            |$$ b $ , m_{j,k} = 1 $$                    |<                                          |<                                          |<                                            |<                                            |<                                          |<                                        |<                                          |tx:
|*$$ k = 2  $$|$$ x $ \cdot $ x                         $$|<                                          |<                                          |<                                            |$$ $ x $ \pipe $ x                         $$|<                                          |<                                        |<                                          |
|^            |$$ 0_2 $ , 1 $$                            |<                                          |<                                          |<                                            |$$ 1_2 $ , 2 $$                              |<                                          |<                                        |<                                          |tx:
|*$$ k = 3  $$|$$ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x             $$|<                                          |$$ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x             $$|<                                            |$$ $ x $ \pipe $ x $ \cdot $ x             $$|<                                          |$$ x $ \pipe $ x $ \pipe $ x           $$|<                                          |
|^            |$$ 00_2 $ , 1 $$                           |<                                          |$$ 01_2 $ , 2 $$                           |<                                            |$$ 10_2 $ , 2 $$                             |<                                          |$$ 11_2 $ , 3 $$                         |<                                          |tx:
|*$$ k = 4  $$|$$ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $$|$$ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $$|$$ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $ \cdot $ x $$|$$ $ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $ \pipe $ x $$|$$ $ x $ \pipe $ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $$|$$ x $ \cdot $ x $ \cdot $ x $ \pipe $ x $$|$$ x $ \pipe $ x $ \pipe $ x $ \cdot x $$|$$ x $ \pipe $ x $ \pipe $ x $ \pipe $ x $$|
|^            |$$ 000_2 $ , 1 $$                          |$$ 001_2 $ , 2 $$                          |$$ 010_2 $ , 2 $$                          |$$ 011_2 $ , 2 $$                            |$$ 100_2 $ , 2 $$                            |$$ 101_2 $ , 3 $$                          |$$ 110_2 $ , 3 $$                        |$$ 111_2 $ , 4 $$                          |tx:
|*$$ \cdots $$|$$     \cdots      \cdots                $$|<                                          |<                                          |<                                            |<                                            |<                                          |<                                        |<                                          |
|^            |$$     \cdots      \cdots                $$|<                                          |<                                          |<                                            |<                                            |<                                          |<                                        |<                                          |tx:

;,これから、$$ k = c $$のとき、$$ m_j $$分割される$$ \:n_j $$について考え、漸化式を作る。
;,厳密にするため、$$ n_i^{(k)} $$のように右上添字で異なる$$ k $$を作る$$ n_i $$を区別する。
;,$$ \:n_j^{(c)} $ = $ [n_1^{(c)}, n_2^{(c)}, \cdots, n_{m_j}^{(c)}] $$とおくと、$$ k = c+1 $$の項を作る規則を次のように表現できる：
#ceq(e)
  $$ \:n_{2j+0}^{(c+1)} $ = $ [n_1^{(c)}, n_2^{(c)}, \cdots, n_{m_j}^{(c)} \iro[ak]{+} 1] $$　　（$$ m_j $$分割のまま）
#ceq(e)
  $$ \:n_{2j+1}^{(c+1)} $ = $ [n_1^{(c)}, n_2^{(c)}, \cdots, n_{m_j}^{(c)}\ \iro[ak]{,}\ 1] $$　　（$$ m_j + 1 $$分割に増える）
#ceq(end)

%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 係数の漸化式 [#z18dd70a]


;,既に求めた$$ A_k $ = $ \sum_{j=1}^{2^k} $ \ffd{1}{m_j!} $ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{1}{n_{i,j}} $$は$$ x^k $$に対する係数である。
;,式中の$$ \sum_{j=1}^{2^k} $$を外すと、分割$$ \:n_j^{(c)} $$に対応する項の係数となる。
この係数を$$ A_j^{(c)} $$と置くと、
#ceq(e)
  $$ A_{\:n_j}^{(c)} $ = $ \ffd{1}{m_j!} $ \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{1}{n_{i,j}} $$
#ceq(end)

同様に、$$ \:n_j^{(c)} $$に対応する$$ k + 1 $$次の係数は以下のようになる。
#ceq(e)
  $$ \:n_{2j+0}^{(c+1)} $ = $ [n_1, n_2, \cdots, n_{\iro[ak]{m_j-1}}, \iro[ak]{n_{m_j} +   1}] $$：　　$$ A_{2j+0}^{(c+1)} $ = $ \ffd{1}{(m_j\iro[ao]{+0})!} $ \bigg( $ \prod_{i=0}^{\iro[ak]{m_j-1}} $ \ffd{1}{n_i} $ \bigg) $ \cdot $ \ffd{1}{\iro[ak]{n_{m_j} + 1}} $$
#ceq(e)
  $$ \:n_{2j+1}^{(c+1)} $ = $ [n_1, n_2, \cdots, n_{         m_j-1 }, n_{m_j}\ ,\ \iro[ak]{1}] $$：　　$$ A_{2j+1}^{(c+1)} $ = $ \ffd{1}{(m_j\iro[ao]{+1})!} $ \bigg( $ \, $ \prod_{i=0}^{m_j}        $ $ \ffd{1}{n_i} $ \bigg) $ \cdot $ \ffd{1}{\iro[ak]{          1}} $$
#ceq(end)

;,共に分母分子を調節して、$$ A_j^{(c)} $$を作り出すと係数の漸近式になる：
#ceq(e)
  $$ A_j^{(c)} $ = $ \ffd{1}{m_j!} $ \prod_{i=1}^{m} $ \ffd{1}{n_i} $$
#ceq(e)
  $$ A_{2j+0}^{(c+1)} $ = $ \cancelto{A_j^{(c)}}{\ffd{1}{m_j!} \bigg( \prod_{i=1}^{m_j-1} \ffd{1}{n_i} \bigg) \cdot \ffd{1}{\iro[ao]{n_m}}} \;\; \cdot \ffd{\iro[ao]{n_{m_j}}}{n_{m_j} + 1} $$
#ceq(c)
  $$ = $ \ffd{n_{m_j}}{n_{m_j} + 1} $ A_j^{(c)} $$
#ceq(e)
  $$ A_{2j+1}^{(c+1)} $ = $ \ffd{1}{\iro[ao]{m_j+1}} $ \cdot $ \cancelto{A_j^{(c)}}{\ffd{1}{\iro[ao]{m_j!}} \bigg( \prod_{i=1}^{m_j} \ffd{1}{n_i} \bigg)}\;\;\;\;\;\;\;\; $$
#ceq(c)
  $$ = $ \ffd{1}{m_j + 1} $ A_j^{(c)} $$
#ceq(end)




//;,「係数の抽出」の節で得られた結果より、$$ x^k $$の係数は$$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} ffd{1}{n_i} $$。
//;,「冪の漸化式」の節で得られた結果より、$$ x^k $$となる項は全部で$$ 2^k $$個現れる。
//;,このため、総和記号$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$の上限は実際$$ 2^k $$で止まり
//(($$ h(x) $$の無限級数では、元々外に$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$が付いており、$$ k $ \to $ \infty $ \Rightarrow $ 2^k $ \to $ \infty $$になるため辻褄は合っている。))、
//$$ x^k $$の係数は$$ \sum_{m=1}^{2^k} $ \ffd{1}{m!} $ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} ffd{1}{n_i} $$になる。
//
//;,さらに、総和記号$$ \sum_{m=1}^{2^k} $$を落とすと、
//$$ [n_i] $ = $ [n_1, n_2, \cdots, n_m] $$のように分割される$$ x^k $$の係数$$ a_{[n_i]} $$が得られる：
//#ceq(e)
//  $$  a_{[n_i]} $ = $ \ffd{1}{m!} $ \prod_{\{i | \sum_i n_i = k\}}^{m} \!\!\!\ffd{1}{n_i} $$
//#ceq(end)

%bodynote

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** 最終漸化式 [#l7b6b35d]

////////////////////////////////////////////////////////////////
* 数学的帰納法 [#b76698d7]
** k = 1 [#s7c4b4ed]
** k = c + 1 [#q4b478b1]
** 結論 [#d584ccd8]

%bodynote

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* まとめ [#k28935fc]

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