設問 EditToHeaderToFooter

前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する：

$$ f(x) $$$$ \equiv $$$$ {- \log (1-x)} $$

$$ g(y) $$$$ \equiv $$$$ \exp (y) $$

$$ h(x) $$$$ \equiv $$$$ g\big(f(x)\big) $$とすると、指数計算により$$ \log $$と$$ \exp $$が打消し、簡単な式になる：

$$ h(x) = $$$$ \exp \Big({-\log} (1-x) \Big) $$$$ = $$$$ \exp \Big( \log (1-x)^{-1} \Big) $$$$ = $$$$ \cancel{\exp\mathstrut} \cancel{\log\mathstrut} \ffd{1}{1-x} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{1-x} $$

一方で、$$ f(x) $$と$$ g(y) $$を級数展開しても$$ h(x) $$の級数の形で求まるはず：

$$ \Rightarrow $$$$ f(x) $$$$ {- \log (1-x)} $$$$ = $$$$ - $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \log \Big(1+(-x)\Big) $$$$ = $$$$ \cancel{-} $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{(\cancel{-}1)^{n+1}}{n} (\cancel{-}x)^n $$$$ = $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} x^n $$

$$ \exp x $$$$ = $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n!} x^n $$

$$ \Rightarrow $$$$ g(y) $$$$ = $$$$ \exp (y) $$$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} y^m $$

よって：

$$ h(x) $$$$ = $$$$ g\big(f(x)\big) $$$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \Big(f(x)\Big)^m $$$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$

一方で、

$$ \Rightarrow $$$$ h(x) $$$$ = $$$$ \ffd{1}{1-x} $$$$ = $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ x^n $$

*1 成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される
*2 成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される
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