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* 設問 [#t8f3168d]
- $ f(x) $ \equiv $ - \log (1-x) $$
- $ g(y) $ \equiv $ \exp (y) $$
とすると、指数計算により：
- $ g(f(x)) $ = $ \exp \big(- \log (1-x) \big) $ = $ \exp \big( \log (1-x)^{-1} \big) $ = $ \cancel{\exp} \cancel{\log} \ffd{1}{1-x} $ = $ \ffd{1}{1-x} $$
前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する：
#ceq(e)
$$ f(x) $ \equiv $ {- \log (1-x)} $$
#ceq(e)
$$ g(y) $ \equiv $ \exp (y) $$
#ceq(end)
;,$$ h(x) $ \equiv $ g\big(f(x)\big) $$とすると、指数計算により$$ \log $$と$$ \exp $$が打消し、簡単な式になる：
#ceq(e)
$$ h(x) = $ \exp \Big({-\log} (1-x) \Big) $ = $ \exp \Big( \log (1-x)^{-1} \Big) $ = $ \cancel{\exp\mathstrut} \cancel{\log\mathstrut} \ffd{1}{1-x} $ = $ \ffd{1}{1-x} $$
#ceq(end)
;,一方で、$$ f(x) $$と$$ g(y) $$を級数展開しても$$ h(x) $$の級数の形で求まるはず：
#ceq(e)
$$ \log(1+x) $ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{(-1)^{n+1}}{n} x^n $$ ((成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される))
#ceq(e)
$$ \Rightarrow $ f(x) $ {- \log (1-x)} $$
$$ = $ - $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \log \Big(1+(-x)\Big) $$
$$ = $ \cancel{-} $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{(\cancel{-}1)^{n+1}}{n} (\cancel{-}x)^n $$
$$ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n $$
#ceq(end)
#ceq(e)
$$ \exp x $ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n!} x^n $$
#ceq(e)
$$ \Rightarrow $ g(y) $ = $ \exp (y) $$
$$ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} y^m $$
#ceq(end)
;,よって：
#ceq(e)
$$ h(x) $ = $ g\big(f(x)\big) $$
$$ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \Big(f(x)\Big)^m $$
$$ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$
#ceq(end)
;,一方で、
#ceq(e)
$$ \ffd{1}{1-x} $ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ x^n $$ ((成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される))
#ceq(e)
$$ \Rightarrow $ h(x) $ = $ \ffd{1}{1-x} $ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ x^n $$
#ceq(end)
%bodynote
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