設問 EditToHeaderToFooter

前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する：

$$ f(x) $$$$ \equiv $$$$ {- \log (1-x)} $$

$$ g(y) $$$$ \equiv $$$$ \exp (y) $$

$$ h(x) $$$$ \equiv $$$$ g\big(f(x)\big) $$とすると、指数計算により$$ \log $$と$$ \exp $$が打消し、簡単な式になる：

$$ h(x) = $$$$ \exp \Big({-\log} (1-x) \Big) $$$$ = $$$$ \exp \Big( \log (1-x)^{-1} \Big) $$$$ = $$$$ \cancel{\exp\mathstrut} \cancel{\log\mathstrut} \ffd{1}{1-x} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{1-x} $$

一方で、$$ f(x) $$と$$ g(y) $$を級数展開しても$$ h(x) $$の級数の形で求まるはず：

$$ \Rightarrow $$$$ f(x) $$$$ {- \log (1-x)} $$$$ = $$$$ - $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \log \Big(1+(-x)\Big) $$$$ = $$$$ \cancel{-} $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{(\cancel{-}1)^{n+1}}{n} (\cancel{-}x)^n $$$$ = $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} x^n $$

$$ \exp x $$$$ = $$$$ \sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n!} x^n $$

$$ \Rightarrow $$$$ g(y) $$$$ = $$$$ \exp (y) $$$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} y^m $$

よって：$$ h(x) $$$$ = $$$$ g\big(f(x)\big) $$$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \Big(f(x)\Big)^m $$$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$

一方で、$$ \ffd{1}{1-x} $$$$ = $$$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$$$ x^k $$*2のため、$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$$$ = $$$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$$$ x^k $$が成り立つ。
そこで係数比較すると、任意の$$ k $$$$ = $$$$ n + m $$について$$ x^k $$の係数は１でなければならない結論に至る。
が、真面目に展開しても無限級数の入子であるため、簡単には導けない。

*1 成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される
*2 成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される

係数の抽出 EditToHeaderToFooter

$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$について、$$ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$の部分は$$ n $$次多項式の$$ m $$乗展開を意味する。
このため、直接多項式展開の記述$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$$$ \prod_{\sum i_j = k} $$$$ \ffd{1}{n_{i_j}} x^k $$に置き換えできる。

したがって、$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$$$ = $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \bigg( $$$$ \sum_{k = 0}^{\infty} $$$$ \prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^{m} \ffd{1}{n_i} $$$$ \bigg) $$$$ x^k $$$$ = $$$$ \sum_{k=0}^{\infty} $$$$ $$$$ \bigg( $$$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^{m} \ffd{1}{n_i} $$$$ \bigg) $$$$ x^k $$

$$ x^k $$の係数を抜き出すと、任意の$$ k $$について以下の式が成り立つ。

$$ \sum_{m=1}^{\infty} $$$$ \ffd{1}{m!} $$$$ \sum_{\{n_i | \sum n_i = k\}} $$$$ \prod_{i}^{m} \ffd{1}{n_i} $$$$ = $$$$ 1 $$

ここで、総乗$$ \prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^m $$の条件式は、自然数範囲で$$ k $$について多項の加数分解を行い、結果の加数の総乗を取る意味である。
また、上限$$ m $$は、加数分解結果より$$ n_i $$項数が決まり、$$ i $$の上限である$$ m $$が逆に制限されることを意味する。
例えば、具体的に$$ k = 3 $$の場合、$$ 3 $$を以下のように加数分解を行い、$$ n_i $$と$$ m $$が決まる：

加数分解$$ [n_i] $$$$ m $$
$$ 3 = 3 $$$$ [3] $$$$ 1 $$
$$ 3 = 2 + 1 $$$$ [2, 1] $$$$ 2 $$
$$ 3 = 1 + 2 $$$$ [1, 2] $$$$ 2 $$
$$ 3 = 1 + 1 + 1 $$$$ [1, 1, 1] $$$$ 3 $$
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