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* 設問 [#t8f3168d]
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前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する：
#ceq(e)
  $$ f(x) $ \equiv $ {- \log (1-x)} $$
#ceq(e)
  $$ g(y) $ \equiv $ \exp (y) $$
#ceq(end)

;,$$ h(x) $ \equiv $ g\big(f(x)\big) $$とすると、指数計算により$$ \log $$と$$ \exp $$が打消し、簡単な式になる：
#ceq(e)
  $$ h(x) = $ \exp \Big({-\log} (1-x) \Big) $ = $ \exp \Big( \log (1-x)^{-1} \Big) $ = $ \cancel{\exp\mathstrut} \cancel{\log\mathstrut} \ffd{1}{1-x} $ = $ \ffd{1}{1-x} $$
#ceq(end)

;,一方で、$$ f(x) $$と$$ g(y) $$を級数展開しても$$ h(x) $$の級数の形で求まるはず：
#ceq(e)
  $$ \log(1+x) $ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{(-1)^{n+1}}{n} x^n $$  ((成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される))
#ceq(e)
  $$ \Rightarrow $ f(x) $ {- \log (1-x)} $$
  $$ = $ - $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \log \Big(1+(-x)\Big) $$
  $$ = $ \cancel{-} $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{(\cancel{-}1)^{n+1}}{n} (\cancel{-}x)^n $$
  $$ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n $$
#ceq(end)

#ceq(e)
  $$ \exp x  $ = $ \sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n!} x^n $$
#ceq(e)
  $$ \Rightarrow $ g(y) $ = $ \exp (y) $$
  $$ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} y^m $$
#ceq(end)

;,よって：
  $$ h(x) $ = $ g\big(f(x)\big) $$
  $$ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \Big(f(x)\Big)^m $$
  $$ = $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$

;,一方で、$$ \ffd{1}{1-x} $ = $ \sum_{k=0}^{\infty} $ x^k $$((成立するためには、収束条件$$ |x| < 1 $$が課される))のため、
  $$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $ = $ \sum_{k=0}^{\infty} $ x^k $$が成り立つ。
;,そこで係数比較すると、任意の$$ k $ = $ n + m $$について$$ x^k $$の係数は１でなければならない結論に至る。
;,が、真面目に展開しても無限級数の入子であるため、簡単には導けない。

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* 係数の抽出 [#u4d4f4cf]
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  $$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$について、
  $$ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$の部分は$$ n $$次多項式の$$ m $$乗展開を意味する。
;,このため、直接多項式展開の記述$$ \sum_{k=0}^{\infty} $ \prod_{\sum i_j = k} $ \ffd{1}{n_{i_j}} x^k $$に置き換えできる。
  
;,したがって、
  $$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg(\sum_{n=0}^{\infty} $ \ffd{1}{n} x^n \bigg)^m $$
  $$ = $$
  $$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \bigg( $ \sum_{k = 0}^{\infty} $ \prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^{m} \ffd{1}{n_i} $ \bigg) $ x^k $$
  $$ = $$
  $$ \sum_{k=0}^{\infty} $ $ \bigg( $ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^{m} \ffd{1}{n_i} $ \bigg) $ x^k $$

;,$$ x^k $$の係数を抜き出すと、任意の$$ k $$について以下の式が成り立つ。
#ceq(e)
  $$ \sum_{m=1}^{\infty} $ \ffd{1}{m!} $ \sum_{\{n_i | \sum n_i = k\}} $ \prod_{i}^{m} \ffd{1}{n_i} $ = $ 1 $$
#ceq(end)

;,ここで、総乗$$ \prod_{\{i | \sum n_i = k\}}^m $$の条件式は、自然数範囲で$$ k $$について多項の加数分解を行い、結果の加数の総乗を取る意味である。
;,また、上限$$ m $$は、加数分解結果より$$ n_i $$項数が決まり、$$ i $$の上限である$$ m $$が逆に制限されることを意味する。
;,例えば、具体的に$$ k = 3 $$の場合、$$ 3 $$を以下のように加数分解を行い、$$ n_i $$と$$ m $$が決まる：
|*加数分解          |*$$ [n_i]     $$|*$$ m $$|
|$$ 3 = 3         $$| $$ [3]       $$| $$ 1 $$|
|$$ 3 = 2 + 1     $$| $$ [2, 1]    $$| $$ 2 $$|
|$$ 3 = 1 + 2     $$| $$ [1, 2]    $$| $$ 2 $$|
|$$ 3 = 1 + 1 + 1 $$| $$ [1, 1, 1] $$| $$ 3 $$|





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