指数対数の合成関数の無限級数展開 のバックアップ(No.8) |
設問前提条件として、以下のように指数関数と対数関数を設定する: とすると、指数計算によりとが打消し、簡単な式になる: 一方で、とを級数展開してもの級数展開が求まる: をに代入して : 一方で、*2のため、が成り立つ。 係数の抽出について、の部分は次多項式の乗展開を意味する。 の係数を抜き出すと、任意のについて以下の式が成り立つ。 ここで、総乗の条件式は、正整数範囲でについて多項の加数分解を行い、結果の加数の総乗を取る意味である。
ところが、この総乗も厄介なもので先に進めない。 帰納法のための漸化式これまでの調べで、項の数が正整数範囲でのの加数分解のパターン数であると分かった。 例えばの場合、は4つのの積を意味する。 ここで、4の加数分解は、のグルーピングと解釈できる。 一般化すると、個のの間というヶ所に「」を入れることになるため、 また、先頭のを除き、「」を「」に、「」を「」に符号化すると、
は2進数の桁数に対応するため、からに進めることは、1桁増やすことを意味する。
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