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数学には「比」という有用な概念があり、小学校から教えられる。
小学校では２項の比を扱い、割り算を以って比の値を定義する。
具体に、２つの数$$ a $$と$$ b $$の比を$$ a $$$$ : $$$$ b $$と書き、その値を$$ a $$$$ \div $$$$ b $$とする。

他方、比は射影空間の元と一般化され、$$ b $$が$$ 0 $$の場合や、３項以上の連比も扱う。
$$ b $$が$$ 0 $$の場合はゼロ除算になるため、比の値が存在しないか$$ \infty $$扱いになる。
連比の場合は、比の値がベクトルとして扱われるし、ゼロ除算も正しく扱えるが一般的ではない。

以下では、比と比の値に関して整理し、３項以上の比の値について考える。

単比（２項の比） EditToHeaderToFooter

直観的な定義は、２つの数$$ a $$と$$ b $$について、共通の数$$ k $$を両方に掛けても保つ関係を言う。
具体に、$$ a $$$$ : $$$$ b $$と表記し、$$ a $$$$ : $$$$ b $$$$ = $$$$ ka $$$$ : $$$$ kb $$が成り立つ関係を表す。

厳密な定義は、体$$ K $$上の２次元射影空間$$ KP_2 $$として、
順序対と同値関係で$$ KP_2 $$$$ = $$$$ (K^2 - \:0) /:: $$と定義される。
具体に、

  • $$ a,b $$$$ \in $$$$ K $$についてのベクトル$$ [a,b] $$$$ \in $$$$ K^2 $$の内、
  • 零ベクトル$$ \:0 $$$$ = $$$$ [0,0] $$を除き、
  • $$ \forall k \in K - {0} $$$$ :\; $$$$ [a,b] $$$$ :: $$$$ [ka, kb] $$が同値関係*1*2。

一番多用されるのは実数体上の射影空間$$ RP_2 $$。
有理数体と複素数体の上に成り立つ射影空間$$ QP_2 $$と$$ CP_2 $$も見かける。
対し、小学校で扱う「有理数」が負の数を含まないため、
有理数が体の要件を満たさず、その比も射影空間を為さない事実には細心の注意が必要である。

*1 $$ :: $$は比例の古い表記$$ a $$$$ : $$$$ b $$$$ :: $$$$ c $$$$ : $$$$ d $$から取っている。
*2 この同値関係は習慣的に$$ \sim $$で表記される場合が多い。
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