射影空間における比の値 のバックアップソース(No.3)

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* 背景 [#t460520f]
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;,数学には「比」という有用な概念があり、小学校から教えられる。
;,小学校では２項の比を扱い、割り算を以って比の値を定義する。
;,具体に、２つの数$$ a $$と$$ b $$の比を$$ a $ : $ b $$と書き、その値を$$ a $ \div $ b $$とする。

;,他方、比は射影空間の元と一般化され、$$ b $$が$$ 0 $$の場合や、３項以上の連比も扱う。
;,$$ b $$が$$ 0 $$の場合はゼロ除算になるため、比の値が存在しないか$$ \infty $$扱いになる。
;,連比の場合は、比の値がベクトルとして扱われるし、ゼロ除算も正しく扱えるが一般的ではない。

;,以下では、比と比の値に関して整理し、３項以上の比の値について考える。

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* 単比（２項の比） [#l7437395]

;,直観的な定義は、２つの数$$ a $$と$$ b $$について、共通の数$$ k $$を両方に掛けても保つ関係を言う。
;,具体に、$$ a $ : $ b $$と表記し、$$ a $ : $ b $ = $ ka $ : $ kb $$が成り立つ関係を表す。

;,厳密な定義は、体$$ K $$上の２次元射影空間$$ KP_2 $$として、
;,順序対と同値関係で$$ KP_2 $ = $ (K^2 - \:0) /:: $$と定義される。
;,具体に、
- $$ a,b $ \in $ K $$についてのベクトル$$ [a,b] $ \in $ K^2 $$の内、
- 零ベクトル$$ \:0 $ = $ [0,0] $$を除き、
- $$ \forall k \in K - {0} $ :\; $ [a,b] $ :: $ [ka, kb] $$が同値関係
(($$ :: $$は比例の古い表記$$ a $ : $ b $ :: $ c $ : $ d $$から取っている。))
((この同値関係は習慣的に$$ \sim $$で表記される場合が多い。))。

;,一番多用されるのは実数体上の射影空間$$ RP_2 $$。
;,有理数体と複素数体の上に成り立つ射影空間$$ QP_2 $$と$$ CP_2 $$も見かける。
;,対し、小学校で扱う「有理数」が負の数を含まないため、
;,有理数が体の要件を満たさず、その比も射影空間を為さない事実には細心の注意が必要である。

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