射影空間における比の値 のバックアップ(No.4)

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背景

数学には「比」という有用な概念があり、小学校から教えられる。
小学校では２項の比を扱い、割り算を以って比の値を定義する。
具体に、２つの数 と の比を と書き、その値を とする。

他方、比は射影空間の元と一般化され、 が の場合や、３項以上の連比も扱う。
が の場合はゼロ除算になるため、比の値が存在しないか 扱いになる。
連比の場合は、比の値がベクトルとして扱われるし、ゼロ除算も正しく扱えるが一般的ではない。

以下では、比と比の値に関して整理し、３項以上の比の値について考える。

単比（２項の比）

比

直観的な定義は、２つの数とについて、共通の数を両方に掛けても保つ関係を言う。
具体に、 と表記し、 が成り立つ関係を表す。

厳密な定義は、体 上の２次元射影空間 として、
順序対と同値関係で と定義される。
具体に、

• についてのベクトル の内、
• 零ベクトル を除き、
• が同値関係*1*2。

一番多用されるのは実数体上の射影空間。
有理数体と複素数体の上に成り立つ射影空間とも見かける。
例えば、

• 有理数の比：
• 　実数の比：
• 複素数の比：

他方、小学校で扱う「有理数」が負の数を含まないため、
有理数が体の要件を満たさず、その比も射影空間を為さない事実には細心の注意が必要である。

*1 は比例の古い表記 から取っている。
*2 この同値関係は習慣的にで表記される場合が多い。

比の値

単比の値は、 と定義される場合が多い。
というのも、歴史的に除算と比の区別が無く、今でもフランスやドイツではで割算を表す*3。
日本では比と割算を表記上では区別するが、比の値で繋がっている*4*5。

除算に関して、除数がの場合は未定義