定数係数１階線形常微分演算子のバックアップ(No.2)

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【編集中】凌宮表記術：の線形微分演算子： $\equiv$ $= \ddd{}{x} + a$

定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：

$\ddd{y}{x}$ $$ + $$ $$ ay $$ $$ = $$ $$ R $$ 　⇔　 $$ y $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ $$ R $$ $$ dx $$

定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
微分演算子 $$ D $$ $\equiv$ $\ddd{}{x}$ による演算子法が工学で多用される*1：

$$ (D+a) $$ $$ y $$ $$ = $$ $$ R $$ 　⇔　 $$ y $$ $$ = $$ $\ffd{1}{D+a}$ $$ R $$

右辺を比較すれば、次の関係式が出てくる。

$\ffd{1}{D+a}$ $$ R $$ ＝ $$ y $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ $$ R $$ $$ dx $$

この式は、上記の通り、計算から簡単に導ける。
しかし、左辺と右辺を直感的に結びつくのは容易ではない。

これに対し、凌宮数学では、扱いやすいように $$ (D+a) $$ を纏めて１つの演算子として表記する。
その上で、直感的に考えやすいように単純な演算子に分解する方法も提供する。

	演算子法	凌宮表記
１階線形常微分演算子
１階線形常微分方程式
逆演算子による解	$y = (D+a)^{-1} R$	$y = D_a^{-1} R$

		線形常微分演算子
一般表記	微分記号	$\ddd{}{x} + a$
一般表記	演算子表記
凌宮表記	演算子表記
凌宮表記	分解表記	$E_{-a}$

との相互変換

指数変換演算子： $e^{ax}$

前述の通り、 $D_a^{-1}$ を計算するには、不定積分を意味する $D_{\iro[ak]{0}}^{-1}$ に変換する必要がある。
その変換方法は、解の公式から簡単に分かる。
まず、 $$ y $$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ $$ R $$ $$ dx $$
不定積分を $D._0^{-1}$ に直すと、 $$ y $$ $$ = $$ $e^{ax}$ $D._0^{-1}$ $e^{ax}$ $$ R $$ が得られる。

これと、 $$ D._a $$ で記述される解 $$ y $$ $$ = $$ $D._a^{-1}$ $$ R $$ と比較すれば、演算子の変換式が得られる：

$D._a^{-1}$ $$ = $$ $e^{-ax}$ $D._0^{-1}$ $e^{ax}$

この変換式は、 $D_a^{-1}$ を $e^{-ax}$ 、 $D_0^{-1}$ 、 $e^{ax}$ の３つの演算に分解しているように扱える。
そこで、凌宮数学では、 $e^{ax}$ を指数変換演算子として表記する：

$$ E_a $$ $\equiv$ $e^{ax}$

一方で、 $e^{-ax}$ は自ずと $$ a $$ を $$ -a $$ に置換した $E_{-a}$ になる。
さらに、 $$ E_a $$ $E_{-a}$ $$ = $$ $e^{ax}$ $e^{-ax}$ $$ = $$ $$ 1 $$ であるため、と $E_{-a}$ が互いに逆演算である。

$E_a^{-1}$ $$ = $$ $E_{-a}$

指数変換演算子を使えば、複合的な演算子 $D_a^{-1}$ を３つの基本的な演算に分解できる：

$D_a^{-1}$ $$ = $$ $E_{-a}$ $D_0^{-1}$ $E_{a}$

の逆演算と言えば $(D+a)^{-1}$ と書くのが一般的だが、部分分数分解を続けて使う場合が多いため分数型で書く場合もある。

線形微分演算子と指数変換演算子の通過則（交換則）

これまで、方程式の解に着目し、逆微分演算子 $$ D_a $$ と $$ D_0 $$ の変換式を得た。
そこで、 $(D_a^{-1})^{-1}$ $$ = $$ の関係より、正変換の変換式を作れる。

	$(D_a^{-1})^{-1}$
	$E_{-a}$ $D_0^{-1}$ $E_{a}$ $)^{-1}$	逆演算子 $D_a^{-1}$ を分解
	$(E_{a})^{-1}$ $(D_0^{-1})^{-1}$ $(E_{-a})^{-1}$	演算子は一般的に非可換のため、逆順に並ぶ
	$E_{-a}$ $E_{a}$

未知関数 $$ y $$ と既知関数 $$ R $$ に着目すると、原方程式と解の公式はそれぞれ次のように捉えられる：

原方程式は、未知関数に対し微分を含む操作を施すと既知関数が得られる
解の公式は、既知関数に対し微分を含む操作を施すと未知関数が得られる

そうすると、上記解答は次のように見える：

$\ddd{}{x}$
	原方程式
⇔　 $e^{ax}$ $\ddd{}{x}$ $ae^{ax}$ $e^{ax}$	両辺に積分因子 $e^{ax}$ を掛ける
⇔　 $e^{ax}$ $\ddd{y}{x}$ $\ddd{(e^{ax})}{x}$ $e^{ax}$	積の微分に嵌める（不定積分を実行）
⇔　 $\ddd{(e^{ax} y)}{x}$ $e^{ax}$	１つの微分に纏める（部分積分を実行）
⇔　 $e^{ax} y$ $\int$ $e^{ax}$	積分する
⇔　 $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$	両辺に $e^{-ax}$ を掛けての式に整理

上記の解き方では、 $$ y $$ と $$ R $$ では単純な微分・積分の関係にならないため、
一旦 $$ uy $$ $$ = $$ $e^{ax} y$ と $e^{ax} R$ に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、 $$ y $$ と $$ R $$ に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：

$\ddd{y}{x}$ がからへの複雑な微分
$e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ はからへの複雑な積分
互いに逆演算

;,線形微分演算子を $\equiv$ $\bigg($ $\ddd{}{x}$ $\bigg)$ と定義し、
;,線形積分演算子 $\,I_a$ を $\,I_a$ $\equiv$ $e^{-ax}$ $\int$ $e^{ax}$ と定義すると、
;, $\iro[gy]y$ $\iro[gy]R$ ⇔ $\iro[gy]y$ $\iro[gy]R$
;,演算子として $D_a^{-1}$

【編集中】

問題：定数係数２階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
- 場合分けを３つ覚える羽目になる
- $e^{\lambda x}$ と置きながら $e^{\lambda x}$ の解になるのが非論理的な面がある
現状：１階線分常微分演算子を２回適応すれば全て解決
- １階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
依存関係：
- ２階線形常微分方程式の基本的解法
- ２階線形常微分演算子
- １階線形常微分演算子×２回に変換
- １階線形常微分演算子を定義
- １階線形常微分演算子の逆演算子を１階線形常積分演算子として定義
- １階線形常積分演算子×２回を適応
確認事項：
- １階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
- ２階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
展望：
- 高階線形常微分方程式の演算子法
- 演算子法の限界

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