【編集中】凌宮読取術：$$ (D + a) $$ ⇒ $$ E_{-a}DE_a $$ EditToHeaderToFooter

定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式は次のようになっている：

$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$　⇔　$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

定数係数の高階線形常微分方程式を解くため、
微分演算子$$ D $$$$ \equiv $$$$ \ddd{}{x} $$による演算子法が工学で多用される*1：

$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$　⇔　$$ y $$$$ = $$$$ \ffd{1}{D+a} $$$$ R $$

右辺を比較すれば、次の関係式が出てくる。

$$ \ffd{1}{D+a} $$$$ R $$ ＝ $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

一般的な演算子法でも、$$ \ffd{1}{D+a} $$は暗記対象になるが、
しかし、この左辺と右辺の対応は直観的ではなく、暗記は難しい。

これに対し、凌宮数学では、線形偏微分演算子$$ (D+a) $$を更に分解し、
直感的に考えやすいように単純な演算子を用いて、暗記な暗記に置き換える。

*1 $$ (D+a) $$の逆演算と言えば$$ (D+a)^{-1} $$と書くのが一般的だが、部分分数分解を続けて使う場合が多いため分数型で書く場合もある。

$$ D $$の逆演算子 EditToHeaderToFooter

一般に、微分$$ D $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$に対し、不定積分$$ y $$$$ = $$$$ \int $$$$ R $$$$ dx $$が定義される。
このため、微分演算$$ D $$の逆演算$$ D^{-1} $$は不定積分$$ \int $$〜$$ dx $$となる。

$$ D+a $$の逆演算子の分解表記 EditToHeaderToFooter

定数係数の１階線形常微分方程式とその解の公式の積分を$$ D^{-1} $$で書き換えると：

$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ D^{-1} $$$$ (e^{ax} R) $$

このため、$$ D+a $$の逆演算子である$$ (D+a)^{-1} $$は形式的に次のように分解できる：

$$ (D+a)^{-1} $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ D^{-1} $$$$ (e^{ax} \ast) $$

$$ \ast $$と書いている箇所に作用対象が入る。
$$ e^{ax} $$と$$ e^{ax} $$の作用対象である$$ \ast $$の両方が$$ D^{-1} $$の積分対象に入るのがポイントである。
しかし、$$ \ast $$を抜いて、単に$$ D^{-1} $$$$ e^{ax} $$と書くと、$$ e^{ax} $$だけの積分に化けてしまう。
表記の曖昧さを無くすため、$$ e^{ax} $$も演算子にする必要がある。

指数変換演算子： $$ E_a $$$$ = $$$$ e^{ax} $$ EditToHeaderToFooter

凌宮数学では指数変換演算子を以下のように定義する。

$$ E_a $$$$ = $$$$ e^{ax} $$

演算子であるため、必ず何かに作用し、$$ D^{-1} $$$$ E_a $$だけで$$ D^{-1} $$$$ (e^{ax} \ast) $$を意味する。

すると、$$ (D+a)^{-1} $$は$$ D^{-1} $$と$$ E_{\pm a} $$の演算子チェーンとして記述できる：

$$ (D+a)^{-1} $$ ⇒ $$ E_{-a} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$

さらに、$$ E_a $$は元々$$ e^{ax} $$を掛けているだけであるため、
逆演算子$$ E_a^{-1} $$は$$ e^{ax} $$の逆数を掛けることとなる：

$$ E_a^{-1} $$$$ = $$$$ (e^{ax})^{-1} $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$

$$ E_a $$$$ = $$$$ e^{ax} $$ ⇒ $$ y $$$$ = $$$$ E_{-a} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$$$ R $$*2

そこで、解の公式の逆演算を取ると$$ D $$と$$ E $$からなる微分方程式が得られる：

$$ y $$$$ = $$$$ E_{-a} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$$$ R $$

⇔ $$ E_{-a}^{-1} $$$$ D $$$$ E_{a}^{-1} $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

⇔ $$ E_{a} $$$$ D $$$$ E_{-a} $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

この結果を$$ (D+a) $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$と比較すれば、$$ (D+a) $$を$$ D $$と$$ E $$に分解できる：

$$ (D+a) $$$$ = $$$$ E_{a} $$$$ D $$$$ E_{-a} $$

*2 演算子は右結合とする：$$ E_{-a} $$$$ D^{-1} $$$$ E_a $$$$ R $$$$ = $$$$ E_{-a} $$$$ ( $$$$ D^{-1} $$$$ ( $$$$ E_a $$$$ ( $$$$ R $$$$ ))) $$

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前述の通り、$$ D_a^{-1} $$を計算するには、不定積分を意味する$$ D_{\iro[ak]{0}}^{-1} $$に変換する必要がある。
その変換方法は、解の公式から簡単に分かる。
まず、$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$
不定積分を$$ D._0^{-1} $$に直すと、$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ D._0^{-1} $$$$ e^{ax} $$$$ R $$が得られる。

これと、$$ D._a $$で記述される解$$ y $$$$ = $$$$ D._a^{-1} $$$$ R $$と比較すれば、演算子の変換式が得られる：

$$ D._a^{-1} $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ D._0^{-1} $$$$ e^{ax} $$

この変換式は、$$ D_a^{-1} $$を$$ e^{-ax} $$、$$ D_0^{-1} $$、$$ e^{ax} $$の３つの演算に分解しているように扱える。
そこで、凌宮数学では、$$ e^{ax} $$を指数変換演算子として表記する：

$$ E_a $$$$ \equiv $$$$ e^{ax} $$

一方で、$$ e^{-ax} $$は自ずと$$ a $$を$$ -a $$に置換した$$ E_{-a} $$になる。
さらに、$$ E_a $$$$ E_{-a} $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ e^{-ax} $$$$ = $$$$ 1 $$であるため、$$ E_a $$と$$ E_{-a} $$が互いに逆演算である。

$$ E_a^{-1} $$$$ = $$$$ E_{-a} $$

指数変換演算子を使えば、複合的な演算子$$ D_a^{-1} $$を３つの基本的な演算に分解できる：

$$ D_a^{-1} $$$$ = $$$$ E_{-a} $$$$ D_0^{-1} $$$$ E_{a} $$

線形微分演算子と指数変換演算子の通過則（交換則） EditToHeaderToFooter

これまで、方程式の解に着目し、逆微分演算子$$ D_a $$と$$ D_0 $$の変換式を得た。
そこで、$$ (D_a^{-1})^{-1} $$$$ = $$$$ D_a $$の関係より、正変換の変換式を作れる。

$$ D_a $$

$$ (D_a^{-1})^{-1} $$

$$ = $$$$ ( $$$$ E_{-a} $$$$ D_0^{-1} $$$$ E_{a} $$$$ )^{-1} $$

逆演算子$$ D_a^{-1} $$を分解

$$ = $$$$ (E_{a})^{-1} $$$$ (D_0^{-1})^{-1} $$$$ (E_{-a})^{-1} $$

演算子は一般的に非可換のため、逆順に並ぶ

$$ = $$$$ E_{-a} $$$$ D_0 $$$$ E_{a} $$

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未知関数$$ y $$と既知関数$$ R $$に着目すると、原方程式と解の公式はそれぞれ次のように捉えられる：

  • 原方程式は、未知関数$$ y $$に対し微分を含む操作を施すと既知関数$$ R $$が得られる
  • 解の公式は、既知関数$$ R $$に対し微分を含む操作を施すと未知関数$$ y $$が得られる

そうすると、上記解答は次のように見える：

$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

$$ D_a $$$$ y $$$$ = $$$$ R $$

原方程式

⇔　$$ e^{ax} $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ ae^{ax} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

両辺に積分因子$$ e^{ax} $$を掛ける

⇔　$$ e^{ax} $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ \ddd{(e^{ax})}{x} $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

積の微分に嵌める（不定積分を実行）

⇔　$$ \ddd{(e^{ax} y)}{x} $$$$ = $$$$ e^{ax} $$$$ R $$

１つの微分に纏める（部分積分を実行）

⇔　$$ e^{ax} y $$$$ = $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

積分する

⇔　$$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$

両辺に$$ e^{-ax} $$を掛けて$$ y $$の式に整理

上記の解き方では、$$ y $$と$$ R $$では単純な微分・積分の関係にならないため、
一旦$$ uy $$$$ = $$$$ e^{ax} y $$と$$ e^{ax} R $$に変換してから、単純な微分を単純な積分に直している。
そういう意味で、解答例の最初と最後だけに着目すると、$$ y $$と$$ R $$に関する一対の複雑な微分と積分にも見える：

  • $$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ ay $$$$ = $$$$ R $$が$$ y $$から$$ R $$への複雑な微分
  • $$ y $$$$ = $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$は$$ R $$から$$ y $$への複雑な積分
  • 互いに逆演算
  • ;,線形微分演算子$$ D_a $$を$$ D_a $$$$ y $$$$ \equiv $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ a $$$$ \bigg) $$と定義し、
  • ;,線形積分演算子$$ \,I_a $$を$$ \,I_a $$$$ R $$$$ \equiv $$$$ e^{-ax} $$$$ \int $$$$ e^{ax} $$$$ R $$$$ dx $$と定義すると、
  • ;,$$ D_a $$$$ \iro[gy]y $$$$ = $$$$ \iro[gy]R $$ ⇔ $$ \iro[gy]y $$$$ = $$$$ I_a $$$$ \iro[gy]R $$
  • ;,演算子として$$ D_a^{-1} $$$$ = $$$$ I_a $$

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  • 問題： 定数係数２階線形常微分方程式の解法が覚えにくい
    • 場合分けを３つ覚える羽目になる
    • $$ y $$$$ = $$$$ e^{\lambda x} $$と置きながら$$ y $$$$ = $$$$ x $$$$ e^{\lambda x} $$の解になるのが非論理的な面がある
  • 現状： １階線分常微分演算子を２回適応すれば全て解決
    • １階線形常微分方程式を演算子法の見方で捕らえられれば良い
  • 依存関係：
    • ２階線形常微分方程式の基本的解法
    • ２階線形常微分演算子
    • １階線形常微分演算子×２回に変換
    • １階線形常微分演算子を定義
    • １階線形常微分演算子の逆演算子を１階線形常積分演算子として定義
    • １階線形常積分演算子×２回を適応
  • 確認事項：
    • １階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
    • ２階線形常微分方程式の基本解法と演算子法の対応関係
  • 展望：
    • 高階線形常微分方程式の演算子法
    • 演算子法の限界
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