$$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{6x} $$ EditToHeaderToFooter

固有値が実数2つ、同次形で非共鳴 EditToHeaderToFooter

$$ \ddd{^2y}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{6x} $$

$$ \bigg( $$$$ \ddd{^2}{x^2} $$$$ + $$$$ 4 $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ \bigg) $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{6x} $$

式1: 線形常微分演算子化

$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 1 $$$$ \bigg) $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ \bigg) $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{6x} $$

式2: 線形常微分演算子の因数分解

$$ y $$$$ = $$$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 1 $$$$ \bigg)^{\!\!-1} \!\!\bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ 3 $$$$ \bigg)^{\!\!-1} $$$$ e^{6x} $$

式3: 逆演算子表記*1

$$ y $$$$ = $$$$ e^{-x} \!\!\!\int\!\! e^{x} $$$$ \cdot $$$$ e^{-3x} \!\!\!\int\!\! e^{3x} $$$$ \cdot $$$$ e^{6x} $$$$ dx $$$$ dx $$

式4: 逆演算子を積分に置換*2

$$ y $$$$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \int $$$$ e^{-2x} $$$$ \int $$$$ e^{9x} $$$$ dx^2 $$

式5: 2階の積分式

以下からは具体的な積分計算が始まる。

$$ y $$$$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \int $$$$ e^{-2x} $$$$ \int $$$$ e^{9x} $$$$ dx^2 $$

 $$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \int $$$$ e^{-2x} $$$$ \bigg[ $$$$ \ffd{1}{9} $$$$ e^{9x} $$$$ + $$$$ C_1 $$$$ \bigg] $$$$ dx $$

 $$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \int $$$$ \bigg( $$$$ \ffd{1}{9} $$$$ e^{7x} $$$$ \ + $$$$ C_1 $$$$ e^{-2x} $$$$ \bigg) $$$$ dx $$

式6: 不定積分、$$ C_1 $$は積分定数*3

 $$ = $$$$ e^{-x} $$$$ \bigg[ $$$$ \ffd{1}{63} $$$$ e^{7x} $$$$ + $$$$ \ffd{C_1}{-2} $$$$ e^{-2x} $$$$ + $$$$ C_2 $$$$ \bigg] $$

 $$ = $$$$ \ffd{1}{63} $$$$ e^{6x} $$$$ + $$$$ \ffd{C_1}{-2} $$$$ e^{-3x} $$$$ + $$$$ C_2 $$$$ e^{-x} $$

式7: 不定積分、$$ C_2 $$は積分定数

ここで、$$ c_1 $$$$ = $$$$ \ffd{C_1}{-2} $$$$ c_2 $$$$ = $$$$ C_2 $$と置いて式整理すると積和形の解が得られる。

 $$ y $$$$ = $$$$ \ffd{1}{63} $$$$ e^{6x} $$$$ + $$$$ c_1 $$$$ e^{-x} $$$$ + $$$$ c_2 $$$$ e^{-3x} $$

式8: 積和形の一般解*4

*1 演算子$$ AB $$の逆演算子は一般的に$$ (AB)^{-1} $$$$ = $$$$ B^{-1} $$$$ A^{-1} $$と逆順になるが、定数係数の1階線形常微分演算子$$ \bigg( $$$$ \ddd{}{x} $$$$ + $$$$ k $$$$ \bigg) $$は可換なため順番は自由。
*2 1階線形常微分方程式の解を利用:$$ \ddd{y}{x} $$$$ + $$$$ k $$$$ y $$$$ = $$$$ h $$$$ y $$$$ = $$$$ e^{-kx} $$$$ \int $$$$ e^{-kx} $$$$ h $$$$ dx $$
*3 積分定数は最後に書くのが普通だが、微分方程式では任意定数を含む基本解を先に書く習慣があるため、。
*4 一般に、同次方程式から一般解$$ y_g $$$$ = $$$$ c_1 $$$$ e^{-x} $$$$ + $$$$ c_2 $$$$ e^{-3x} $$を求めてから、特殊解$$ y_s $$$$ = $$$$ e^{6x} $$を出して繋げる定番手法では、$$ y $$$$ y_g $$$$ + $$$$ y_s $$と出てきた順で書く慣例がある。一方で、不定積分では積分定数を後ろに付ける慣例がある。2階積分法では不定積分に依るため、積分定数を後置する順番を用いる。
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