概要 EditToHeaderToFooter

一般に使われる10進位取りの整数表記法は、数字を形式的に並べた数字列$$ で、
10を底、各桁を係数とする冪級数$$ \sum_{i=0}^{n-1} 10^i $$に等しい値を表す。
例えば、$$ は$$ 4 $$$$ \times $$$$ 10^0 $$$$ + $$$$ 5 $$$$ \times $$$$ 10^1 + $$$$ 6 $$$$ \times $$$$ 10^2 $$と同じ値を表す。

数の直観的な性質を扱う問題として、２つの数字を形式的に並べる操作が扱われる場合がある。
例えば、$$ 1 $$が$$ n $$個繰返す$$ \underbrace{111\cdots1}_n $$のような数を扱う分野が挙げられる。

こういった問題では数字列を並べて結合する操作が良く扱われるが、値を冪級数で表現するのは繁雑になる。
例えば、$$ n $$個の"11"を並べて結合した数を表現するには、冪級数では以下のように直観的でない数式になる：

$$ \sum_{i=0}^{n-1} $$$$ 11 $$$$ \times $$$$ 100^i $$$$ = $$$$ \sum_{k=0}^{3n-1} $$$$ 10^k $$

これに対し、凌宮数学では以下の数字列連結演算子を定義し、問題を直観的に記述する。
数字列を結合する場合に備え、算術演算子と似て非なる記号を割り当てる。

桁数演算子$$ \pounds $$

整数の10進表記の桁数を表す単項演算子。
例：$$ \pounds 123 $$$$ = $$$$ 3 $$、$$ \pounds 123456 $$$$ = $$$$ 6 $$。
一般に、$$ \pounds N $$$$ = $$$$ \lceil \log_{10} N \rceil $$*1。

連結演算子$$ \scriptstyle\# $$

２つの整数の10進表記を連結した数字を表す二項演算子。
例：$$ 1 $$$$ \scriptstyle\# $$$$ 23 $$$$ \scriptstyle\# $$$$ 456 $$$$ = $$$$ 123 $$$$ \scriptstyle\# $$$$ 456 $$$$ = $$$$ 123456 $$。
一般に、$$ M $$$$ \scriptstyle\# $$$$ N $$$$ = $$$$ M $$$$ \times $$$$ 10^{\pounds N} + $$$$ N $$。
他の連結演算子と区別する場合は、特別に連結加算演算子と呼ぶことにする。

連結乗算演算子$$ \ast $$

とある整数の10進表記を$$ n $$回連結した数字を表す二項演算子。
例：$$ 123 $$$$ \ast $$$$ 3 $$$$ = $$$$ 123 $$$$ \scriptstyle\# $$$$ 123 $$$$ \scriptstyle\# $$$$ 123 $$$$ = $$$$ 123123123 $$。
一般に、$$ M $$$$ \ast $$$$ n $$$$ = $$$$ \underbrace{M \scriptstyle\# M \scriptstyle\# \cdots \scriptstyle\# M}_n $$$$ = $$$$ \sum_{i=0}^{\pounds M - 1} $$。

*1 $$ \lceil x \rceil $$は$$ x $$の小数部切り上げた整数を表す天井関数である。
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