一般に、正の整数範囲内では、平方根は掛け算に対して分配則が成り立つ。
具体的に、
かつの成立条件を無視すると次の奇妙な式を導いてしまう。
もちろんであるので、この式は間違っている。 実際、間違っているのはの等号で左右の符号が変わるので破綻している。 これは単位量で考えると分かり易い:
しかし、ここで「分配則が成立しない」でお終いにするのは勿体ない。 以下のように考えると、分配則の不成立は人為的な選択による結果と言える。 すなわち、掛算に対する平方根の分配法則は複素数範囲において成立する。
平方根の概念は、自乗の逆演算である。 具体的に、任意の正の実数に対し、の平方根はを満たす正の実数である。 一般に、の平方根をで表記する。
問題は、整数範囲まで広げた場合、任意の実数であるため、
の表記に関して、歴史的理由により2つの人為的選択が行われてきた。 任意の正の実数に関して、も正の実数である。すなわち。