平方根の選択 のバックアップソース(No.3)

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* 奇妙な式 [#w0d4317b]
;,一般に、''正の整数''範囲内では、平方根は掛け算に対して分配則が成り立つ。
#ceq(e)
    $$ \sqrt{a \times b} $ = $ \sqrt a $ \times $ \sqrt b $$
#ceq(d)
具体的に、
#ceq(e)
    $$ 6 $ = $ \sqrt{36} $ = $ \sqrt{4 \times 9} $ = $ \sqrt 4 $ \times $ \sqrt 9 $ = $ 2 $ \times $ 3 $$
#ceq(d)

;,$$ a > 0 $$かつ$$ b > 0 $$の成立条件を無視すると次の奇妙な式を導いてしまう。
#ceq(e)
    $$ 6 $ = $ \sqrt{36} $ = $ \sqrt{(-4)\times(-9)} $ =\!\!\!\!? $ \sqrt{-4} $ \times $ \sqrt{-9} $ = $ 2\:i $ \times $ 3\:i $ = $ -6 $$
#ceq(d)

;,もちろん$$ 6 $ \neq $ -6 $$であるので、この式は間違っている。
;,実際、間違っているのは$$ =\!\!\!\!? $$の等号で左右の符号が変わるので破綻している。
;,これは単位量で考えると分かり易い：
#ceq(e)
    $$ 1 $ = $ \sqrt{1} $ = $ \sqrt{(-1)\times(-1)} $ =\!\!\!\!? $ \sqrt{-1} $ \times $ \sqrt{-1} $ = $ \:i $ \times $ \:i $ = $ -1 $$
#ceq(d)

;,しかし、ここで「分配則が成立しない」でお終いにするのは勿体ない。
;,以下のように考えると、分配則の不成立は人為的な選択による結果と言える。
;,すなわち、掛算に対する平方根の分配法則は複素数範囲において成立する。

* 平方根の人為的選択 [#mccaf045]
;,平方根の概念は、自乗の逆演算である。
;,具体的に、正の実数の範囲では、任意の正の実数$$ a $$に対し、$$ a $$の平方根$$ x $$は$$ x^2 $ = $ a $$を満たす正の実数である。
;,一般に、$$ a $$の平方根を$$ \sqrt a $$で表記する。

;,問題は、$$ x $$を実数全体にまで範囲を広げた場合、$$ a $ = $ 0 $$の時を除き、
;,$$ x^2 $ = $ a $$を満たす$$ x $$が常に２つ存在する。
;,その片方を$$ x_1 $$、他方を$$ x_2 $$と置くと、$$ x_2 $ = $ - $ x_1 $$の関係にある。
#ceq(e)
    $$ x_1^2 $ = $ a $$　　$$ \Longrightarrow $$　　$$ (-x_1)^2 = (-1)^2 $ \times $ x_1^2 $ = $ 1 \times $ a $ = $ a $$
#ceq(d)


;,そこで、歴史的理由により２つの人為的選択が行われてきた。
;,任意の正の実数$$ a $$に関して、$$ \sqrt{a} $$も正の実数である。すなわち$$ \sqrt{a} $ > $ 0 $$。