奇妙な式 EditToHeaderToFooter

一般に、正の整数範囲内では、平方根は乗法に対して分配則が成り立つ。

$$ \sqrt{a \times b} $$$$ = $$$$ \sqrt a $$$$ \times $$$$ \sqrt b $$

具体的に、

$$ 6 $$$$ = $$$$ \sqrt{36} $$$$ = $$$$ \sqrt{4 \times 9} $$$$ = $$$$ \sqrt 4 $$$$ \times $$$$ \sqrt 9 $$$$ = $$$$ 2 $$$$ \times $$$$ 3 $$

$$ a > 0 $$かつ$$ b > 0 $$の成立条件を無視すると次の奇妙な式を導いてしまう。

$$ 6 $$$$ = $$$$ \sqrt{36} $$$$ = $$$$ \sqrt{(-4)\times(-9)} $$$$ =\!\!\!\!? $$$$ \sqrt{-4} $$$$ \times $$$$ \sqrt{-9} $$$$ = $$$$ 2\:i $$$$ \times $$$$ 3\:i $$$$ = $$$$ -6 $$

もちろん$$ 6 $$$$ \neq $$$$ -6 $$であるので、この式は間違っている。
実際、間違っているのは$$ =\!\!\!\!? $$の等号で左右の符号が変わるので破綻している。
これは単位量で考えると分かり易い：

$$ 1 $$$$ = $$$$ \sqrt{1} $$$$ = $$$$ \sqrt{(-1)\times(-1)} $$$$ =\!\!\!\!? $$$$ \sqrt{-1} $$$$ \times $$$$ \sqrt{-1} $$$$ = $$$$ \:i $$$$ \times $$$$ \:i $$$$ = $$$$ -1 $$

奇妙な式が間違っていることは分かった。
しかし、ここで「分配則が成立しない」でお終いにするのは勿体ない。
以下では、その原因について考察する。

原因：平方根の人為的選択 EditToHeaderToFooter

一般に、平方根と言えば、平方の逆演算を意味する概念である。
すなわち、任意の実数$$ a $$の平方根と言えば、$$ x^2 $$$$ = $$$$ a $$を満たす$$ x $$を意味する。

ところが、平方根の表記に用いられる根号は、正の平方根のみを表すのが習わしである。
例えば、$$ 36 $$の平方根は$$ 6 $$と$$ -6 $$の２つが存在するが、
$$ \sqrt{36} $$は$$ 6 $$、$$ -\sqrt{36} $$は$$ -6 $$を意味し、$$ \pm\sqrt{36} $$で両方の平方根を表す。

このため、$$ 36 $$$$ = $$$$ (-6) $$$$ \times $$$$ (-6) $$ではあるが、
$$ \sqrt{(-6)\times(-6)} $$と書いても$$ \sqrt{6 \times 6} $$と同じく正の平方根である$$ 6 $$を選択しているのに対し、
$$ \sqrt{(-6)} $$$$ \times $$$$ \sqrt{(-6)} $$に分配した場合、負の平方根である$$ -6 $$を選択したことになる。
どちらも$$ 36 $$の平方根に違いないが、$$ 6 $$$$ \neq $$$$ -6 $$の如く、$$ \sqrt{(-6)\times(-6)} $$$$ \neq $$$$ \sqrt{(-6)} $$$$ \times $$$$ \sqrt{(-6)} $$である。

以上の視点で$$ \sqrt{(-4)\times(-9)} $$$$ \neq $$$$ \sqrt{-4} $$$$ \times $$$$ \sqrt{-9} $$を眺めると、
左辺は$$ 36 $$の平方根の内、正の平方根を選択していると解釈でき、
右辺は虚数が現れるもが、結果的に負の平方根を選択していると解釈できる。

もし、負の平方根を選択していれば、分配則は成立すると見なせる：

$$ -\sqrt{(-4)\times(-9)} $$$$ = $$$$ -\sqrt{-4} $$$$ \times $$$$ -\sqrt{-9} $$

一般化：正平方根・負平方根・平方根 EditToHeaderToFooter

以下では、正の平方根と負の平方根を整理し、平方根としての分配則に一般化する。
なお、任意の正実数$$ a $$$$ , $$$$ p $$$$ , $$$$ b $$$$ , $$$$ c $$について、$$ a $$$$ = $$$$ p^2 $$$$ = $$$$ b $$$$ c $$とする。

正実数は正実数の平方で表せる
$$ a $$$$ = $$$$ p^2 $$

正実数は負実数の平方で表せる
$$ a $$$$ = $$$$ (-p)^2 $$

正実数の正平方根が存在する
$$ \sqrt{a} $$$$ = $$$$ \sqrt{p^2} $$$$ = $$$$ p $$

正実数の負平方根が存在する
$$ -\sqrt{a} $$$$ = $$$$ -\sqrt{(-p)^2} $$$$ = $$$$ -p $$

正実数は正実数の積で表せる
$$ a $$$$ = $$$$ b $$$$ c $$

正実数は負実数の積で表せる
$$ a $$$$ = $$$$ (-b) $$$$ (-c) $$

正実数の正平方根が存在する
$$ \sqrt{a} $$$$ = $$$$ \sqrt{p^2} $$$$ = $$$$ p $$

正実数の負平方根が存在する
$$ -\sqrt{a} $$$$ = $$$$ -\sqrt{(-p)^2} $$$$ = $$$$ -p $$

正の分配則、負の分配則、そして、両方を合わせた平方根の分配則を並べると、
以下の見方ができるようになる：

$$ +\sqrt{(+4) \times (+9)} $$$$ = $$$$ +\sqrt{+4} $$$$ \times $$$$ +\sqrt{+9} $$　　：　正の数の積の正の平方根は、正の数の平方根の積に分配できる。

$$ -\sqrt{(-4) \times (-9)} $$$$ = $$$$ -\sqrt{-4} $$$$ \times $$$$ -\sqrt{-9} $$　　：　負の数の積の負の平方根は、負の数の平方根の積に分配できる。

$$ \pm\sqrt{(\pm 4) \times (\pm 9)} $$$$ = $$$$ \pm\sqrt{\pm 4} $$$$ \times $$$$ \pm\sqrt{\pm 9} $$　　：　積の平方根は、平方根の積に分配できる。（複合同順）

別の視点で言い換えると、以下の対応関係が成り立つ。

正の数２つの正の数の積に分解できる　⇔　正の数に正の平方根が存在　⇔　正の分配則

正の数２つの負の数の積に分解できる　⇔　正の数に負の平方根が存在　⇔　負の分配則
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