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/偏微分と常微分の違い（編集中）
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偏微分と常微分の違いは、定義式から「固定する変数の有無」というのがお墨付きの答えである。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
#ceq(end)
ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」である。

しかし、その違いは「関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない」ようにも見える。
実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その場合の偏微分は常微分と一致する。
しかし、その違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない、ようにも見える。
実際、１変数関数に偏微分の定義を適応すれば、固定する変数が存在しないため、自ずと偏微分が常微分に一致する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
#ceq(end)

偏微分と常微分の違いを説明するには、
多変数関数から$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$になる$$ f $$を見つける必要がある。
このため、偏微分と常微分の違いを説明するには、
$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$になる$$ f $$を見つける必要がある。

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* 偏微分と常微分が異なる$$ f $$ [#ub89104e]

$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$を作るには、
$$ \iro[ak]{\pr f} $$と$$ \iro[ao]{\pr f} $$を作れば良い。
両方が含まれる式と言えば、全微分。
$$ \iro[ak]{\pr f} $$と$$ \iro[ao]{df} $$が必要。
両方が含まれる式と言えば、多変数関数の全微分。

２変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定義される全微分$$ df $$について考える。
#ceq(e)
    $$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $$
    $$ \;\iro[ao]{df}\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $$
#ceq(end)
ここで、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$であれば、$$ f $ = $ f(x(t), y(t)) $$と、$$ t $$の関数に書き換えられる。
このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在し、次のようになる。
もし$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$という関係であれば、$$ f $$を$$ f(x(t), y(t)) $$として$$ t $$の関数に書き換えられる。
このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在する：
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ \ffd{\iro[ao]{df}}{dt}\, $ = $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    ;.　((偏微分を駆け足で学ぶ人には、恐らくこれが同一の関数に対して$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する最初の式で、混乱が始まりである。))
#ceq(end)
ここまでは多くのテキストで述べられている。

これに対し、$$ t $$を$$ x $$に直せば、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$が出揃う。
これの$$ t $$を$$ x $$に直せば、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$が出揃う。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $ = $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \ddd{x}{x} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{x} $$
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $ = $ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $ \iro[ak]{\cancel{\iro[kr]{\ddd{x}{x}}}} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{x} $$
#ceq(end)


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* [#acdaa080]


これを利用し、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を揃えるには、$$ f(x(t), y(t), t) $$
((この関数は、[[EMANの物理学/解析力学/全微分>http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/total_dif.html]]で偏微分と常微分の違いを説明するのに用いられている。ページ自体は全微分の話で、偏微分と常微分の違いはその一番最後の節で述べられている。))
のような$$ t $$を含む関数を考える必要がある。

まず、$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のよう書ける。
#ceq(e)
    $$ \;df\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \;dt\; $$
#ceq(end)
次ぎに、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$を代入すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数に化ける
((この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する２変数関数でありながら、$$ t $$に関する１変数関数にもなっている。変数の数が絶対的でなくなっている点に注意。))。
このため、常微分が存在し、式の両辺を$$ dt $$で割ることで$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を作り出せる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず、「偏微分と常微分は違う」という結論に至る。
#ceq(e)
    $$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
#ceq(end)

%bodynote
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* 偏微分と偏微分の違い [#ub89104e]

偏微分と常微分の違いは前節の通りである。
しかし、これは一見良さそうだが、式の意味を読み取ろうとすると偏微分の矛盾が見えてくる
((注意：飽くまでも偏微分の矛盾である。EMANの物理の説明自体は、現在使われている偏微分の説明としては正しい。))。

例えば、$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数に化けられるなら、
冒頭で述べたように１変数関数を多変数関数の特例と見なせて、常微分と等価な青い偏微分が存在することになる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ = $ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$　　（$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数）
#ceq(end)
これに、前節で得た$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$を合わせると、次の矛盾が得られる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)


%bodynote
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* 色んな$$ \ppd{f}{t} $$ [#dea0c3af]

条件を少し変えて、中途半端な$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。
「$$ x(t) $$と書いていたが、実は$$ x $$に$$ t $$が含まれて無く、$$ y $$だけに$$ t $$が含まれていた」という話。

すると、$$ f(x, y, t) $$であることに変わらないため、次の全微分も変わらず成立する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
しかし、今度は$$ f $$に$$ y $ = $ y(t) $$を代入しても$$ t $$だけの関数にはならない。
代わりに$$ f $$は$$ x $$と$$ t $$に関する２変数関数になるため、次の全微分が成り立つ。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
問題は、この紫の偏微分は赤い偏微分と別物で、両式を比較すると以下の関係が得られる。
#ceq(e)
    ;.　　　　　　　　$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
それも、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$の関係を持つ。

同様に代入の加減をすれば、赤、紫、青以外にも、色んな偏微分を作ることができる。


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* まとめ・つなぎ [#ca86b0a5]

多くの場合、赤い偏微分と青い偏微分しか使われないため、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$で区別できる。
ただ、他の偏微分に気づいた人から混乱が始まる。

この混乱を無くすには、色んな偏微分を厳密に書き分け、正しく整理する必要がある。
そうすれば、自ずと偏微分と常微分を一貫した表記で書けるようになる。
また、書き表せないものを書けるようになったとき、新しい発想ができるようになるかもしれない。

//実際、熱力学では赤と青の他、紫に相当する偏微分も登場する。
//そのため、$$ \ppd{f}{t} $$よりも強力な偏微分表記が用いられている。
//それでも全ての偏微分を書き分けられないが、
//次回は、その強力な表記を通じて偏微分の意味について確認しておく。
//
//$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} \neq \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

//$$ + $$
//$$ - $$
//$$ = $$
//$$ \iro[ao]{=} $$
//$$ \iro[mz]{0} $$
//$$ \iro[md]{\cdots} $$
//$$ \iro[or]{\cdots} $$

//$$ df $$
//$$ \iro[pk]{dy} $$
//$$ \iro[mr]{dy} $$
//$$ \iro[ao]{dx} $$
//$$ \iro[ao]{-1dx} $$
//
//$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$
//
//$$ \iro[ak]{dt} $$
//$$ \iro[pk]{dt} $$
//$$ \iro[mr]{dt} $$
//$$ \iro[ao]{dt} $$
//$$ \iro[mz]{dt} $$
//
//$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[pk]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$
//$$ \iro[mz]{\ppd{f}{t}} $$
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