偏微分と常微分の違いは、定義式から「固定する変数の有無」というのがお墨付きの答えである。

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $$$$ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$

$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $$$$ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$

ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」である。

しかし、その違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない、ようにも見える。実際、１変数関数に偏微分の定義を適応すれば、固定する変数が存在しないため、こうなる：

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $$$$ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$

したがって、$$ f $$が１変数関数であれば偏微分が常微分に一致する。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ppd{f}{x}} $$

……��

このため、偏微分と常微分の違いを説明するには、$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$になる$$ f $$を見つける必要がある。

偏微分と常微分が異なる$$ f $$ EditToHeaderToFooter

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$を作るには、$$ \iro[ao]{df} $$と$$ \iro[ak]{\pr f} $$が必要。両方が含まれる式と言えば、多変数関数の全微分。

２変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定義される全微分$$ df $$について考える。

$$ \;\iro[ao]{df}\; $$$$ = $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$$$ \;dx\; $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \;dy\; $$

もし$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$という関係であれば、$$ f $$を$$ f(x(t), y(t)) $$として$$ t $$の関数と見なせる。このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在する：

$$ \ffd{\iro[ao]{df}}{dt}\, $$$$ = $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$　*1

ここまでは多くのテキストで述べられている。これの$$ t $$を$$ x $$に直せば$$ f $$$$ = $$$$ f(x, y(x)) $$となり*2、$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$と$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$が出揃う。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$$$ \iro[ak]{\cancel{\iro[kr]{\ddd{x}{x}}}} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{x} $$

……��

$$ f $$が$$ y $$に依存する限り$$ \ppd{f}{y} $$$$ \neq $$$$ 0 $$、$$ y $$が$$ x $$に依存する限り$$ \ddd{y}{x} $$$$ \neq $$$$ 0 $$。両方成立なら、

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$

……��

*1 偏微分を駆け足で学ぶ人には、恐らくこれが同一の関数に対して$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する最初の式で、混乱が始まりである。
*2 この説明はEMANの物理学/解析力学/全微分の最後で行われた説明を参考している。これは私が納得できた唯一の常微分と偏微分の説明である。EMANの物理学で使った$$ f(x(t), y(t), t) $$から$$ x $$を省いた上で$$ t $$を$$ x $$に書き換えれば本節の説明になる。

偏微分の矛盾 EditToHeaderToFooter

前節の説明は偏微分の説明として間違ってはない。しかし、式の意味を考えると矛盾が生じ、偏微分の限界が見えてくる。

青い偏微分と赤い偏微分 EditToHeaderToFooter

まず、式�△鮑遒蟒个垢燭瓠�$$ f(x, y) $$に$$ y(x) $$を代入して$$ f(x, y(x)) $$を作っているが、この時点で$$ f(x, y(x)) $$は$$ x $$に関する１変数関数に化ける。

問題は、１変数関数に化けた以上、式�，力辰�成り立ってしまい、式�，伴悪△�衝突して矛盾になる：

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ppd{f}{x}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$

数学的には、関数として$$ f $$は２変数関数$$ f(x, y) $$に限定し、もはや$$ f(x, y(x)) $$は別の１変数関数$$ \gph(x) $$として扱うこともできる*3。その考え方では、式�△�式�い里茲Δ暴颪�換わる。

$$ \iro[ao]{\ddd{\gph}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$$$ \iro[ak]{\cancel{\iro[kr]{\ddd{x}{x}}}} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{x} $$

……��

関数を書き分けた結果、常微分と偏微分も異なる関数を微分することになり、「同一関数に対し$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$になる$$ f $$が存在する」とは言えなくなる。それなら、常微分も偏微分も$$ \ppd{}{x} $$と表記し、$$ \gph $$が１変数関数だから常微分、$$ f $$が２変数関数なら偏微分と決め付けば良い。

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これを利用し、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を揃えるには、$$ f(x(t), y(t), t) $$*4のような$$ t $$を含む関数を考える必要がある。

まず、$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のよう書ける。

$$ \;df\; $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \;dx\; $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \;dy\; $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ \;dt\; $$

次ぎに、$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$を代入すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数に化ける*5。このため、常微分が存在し、式の両辺を$$ dt $$で割ることで$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$を作り出せる。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず、「偏微分と常微分は違う」という結論に至る。

$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$

*3 むしろ、$$ f $$を「関数」と限定すれば、別の関数とする方が厳密である。
*4 この関数は、EMANの物理学/解析力学/全微分で偏微分と常微分の違いを説明するのに用いられている。ページ自体は全微分の話で、偏微分と常微分の違いはその一番最後の節で述べられている。
*5 この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する２変数関数でありながら、$$ t $$に関する１変数関数にもなっている。変数の数が絶対的でなくなっている点に注意。

偏微分と偏微分の違い EditToHeaderToFooter

偏微分と常微分の違いは前節の通りである。しかし、これは一見良さそうだが、式の意味を読み取ろうとすると偏微分の矛盾が見えてくる*6。

例えば、$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数に化けられるなら、冒頭で述べたように１変数関数を多変数関数の特例と見なせて、常微分と等価な青い偏微分が存在することになる。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$　　（$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数）

これに、前節で得た$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$を合わせると、次の矛盾が得られる。

$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

*6 注意：飽くまでも偏微分の矛盾である。EMANの物理の説明自体は、現在使われている偏微分の説明としては正しい。

色んな$$ \ppd{f}{t} $$ EditToHeaderToFooter

条件を少し変えて、中途半端な$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。「$$ x(t) $$と書いていたが、実は$$ x $$に$$ t $$が含まれて無く、$$ y $$だけに$$ t $$が含まれていた」という話。

すると、$$ f(x, y, t) $$であることに変わらないため、次の全微分も変わらず成立する。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

しかし、今度は$$ f $$に$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$を代入しても$$ t $$だけの関数にはならない。代わりに$$ f $$は$$ x $$と$$ t $$に関する２変数関数になるため、次の全微分が成り立つ。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$

問題は、この紫の偏微分は赤い偏微分と別物で、両式を比較すると以下の関係が得られる。

　　　　　　　　$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

それも、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$の関係を持つ。

同様に代入の加減をすれば、赤、紫、青以外にも、色んな偏微分を作ることができる。

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

多くの場合、赤い偏微分と青い偏微分しか使われないため、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$と$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$で区別できる。ただ、他の偏微分に気づいた人から混乱が始まる。

この混乱を無くすには、色んな偏微分を厳密に書き分け、正しく整理する必要がある。そうすれば、自ずと偏微分と常微分を一貫した表記で書けるようになる。また、書き表せないものを書けるようになったとき、新しい発想ができるようになるかもしれない。
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