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/偏微分と常微分の違い
%indent
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偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」と答える。
;:これは定義式を眺めば頷ける。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$
#ceq(end)
ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」である。

しかし、
「その違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない」というようにも見える。
;:実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その場合の偏微分と常微分は一致する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
    $$ = $ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
#ceq(end)

この疑問に答えるには、同じ関数に対し$$ \ppd{f}{x} $ \neq $ \ddd{f}{x} $$を示す必要がある。

%bodynote
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* 偏微分と常微分の違い [#ub89104e]

準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定義される全微分$$ df $$について考える。
#ceq(e)
    $$ \;\iro[md]{df}\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $$
#ceq(end)
ここで、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$であれば、$$ f $ = $ f(x(t), y(t)) $$と、$$ t $$の関数に書き換えられる。
このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在し、次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
#ceq(end)
恐らく、偏微分を急いで学ぶ人にとって、これが同じ関数$$ f $$に対する$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する最初の式で、ここから混乱が始まる。

ここまでは多くのテキストで述べられている。
しかし、まだ$$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $$と$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$が同時に現れてない。
これらを揃えるには、$$ f(x(t), y(t), t) $$
((この関数は、[[EMANの物理学/解析力学/全微分>http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/total_dif.html]]で偏微分と常微分の違いを説明するのに用いられている。ページ自体は全微分の話である。偏微分と常微分の違いはその一番最後の節で述べられている。))
((この関数は、[[EMANの物理学/解析力学/全微分>http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/total_dif.html]]で偏微分と常微分の違いを説明するのに用いられている。ページ自体は全微分の話である。偏微分と常微分の違いはその一番最後の節で述べられている。また、この説明は、私が直感的に納得できた唯一の説明でもある。))
のような$$ t $$を含ませた関数を考える必要がある。

$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のようになる。
#ceq(e)
    $$ \;\iro[md]{df}\; $ = $ \ppd{f}{x} $ \;dx\; $ + $ \ppd{f}{y} $ \;dy\; $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ \;\iro[md]{dt}\; $$
#ceq(end)
次ぎに、$$ x $ = $ x(t) $$、$$ y $ = $ y(t) $$を適応すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数に化ける
((この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する２変数関数でありながら、$$ t $$に関する１変数関数にもなっている。変数の数が絶対的でなくなっている点に注意。))。
このため、常微分が存在し、式の両辺を$$ \iro[md]{dt} $$で割った形となる。
#ceq(e)
    $$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず$$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。

EMANの物理では話しが終りであるが、
さらに一歩踏み込んで式の意味を読み取ろうとすると、微分表記$$ \ppd{f}{t} $$の限界が見えてくる。
EMANの物理では常微分と偏微分が異なる結論を導きだして終了となるが、
さらに一歩踏み込んで式の意味を読み取ろうとすると、微分表記の限界が見えてくる。

%bodynote

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* $$ \ppd{f}{t} $$の限界 [#dea0c3af]

条件を少し変えて、$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。
実は$$ x $$は$$ t $$と無関係で、$$ y $$だけが$$ t $$の関数だった、という話。

すると、$$ f(x, y, t) $$は変わらないため、次の全微分は変わらず成立する。
すると、$$ f(x, y, t) $$であることに変わらないため、次の全微分も変わない。
#ceq(e)
    $$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $$
    $$ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
しかし、
今度は$$ y $ = $ y(t) $$を代入しても$$ f $$が$$ x $$と$$ t $$の関数にはなるが、
$$ t $$だけの関数にはならない。
このため、次の式が成り立つ。
今度は$$ y $ = $ y(t) $$を代入しても$$ t $$だけの関数にはならない。
$$ f $$は精々$$ x $$と$$ t $$の関数としか言えないため、次の式が成り立つ。
#ceq(e)
    $$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $$
    $$ = $ \ppd{f}{x} $ \ddd{x}{t} $$
    $$ + $ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
ここで、赤と青の偏微分は別物で、両式を比較すると以下の関係が得られる。
問題は、青と赤の偏微分は別物で、両式を比較すると以下の関係が得られる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ \ppd{f}{y} $ \ddd{y}{t} $ + $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$
#ceq(end)
問題は、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響を受ける限り、
それも、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響を受ける限り、
どの項も消えず$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ \neq $ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となってしまう。

//** その２
//
//$$ f(x(t), y(t), t) $$の具体例を考えてみよう。
//#ceq(e)
//    $$ f $ = $ 1x $ + $ 2y $ + $ 3t $$、　　$$ x $ = $ 2t $$、　　$$ y $ = $ 3t $$    
//#ceq(end)

//まず、$$ f $ = $ 1x $ + $ 2y $ + $ 3t $$のため、$$ \ppd{f}{t} $ = $ 3 $$は間違いない。

//次ぎに、$$ y = 3t $$を$$ 0 = -y + 3t $$に変形して$$ f $$の式に足せば$$ f = 1x + 1y + 6t $$が得られる。
//このため、$$ \ppd{f}{t} $ = $ 6 $$にもなれる。

////////////////////////////////////////////////////////////////
* 偏微分の範囲 [#kdd3351c]
* 直感的な説明：偏微分の範囲 [#kdd3351c]

以下では、これまでの問題を直観的に説明してみる。
以下では、$$ f $ = $ \iro[md]{1x} $ + $ \iro[ao]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$を用いて、これまでの問題を直観的に纏める。

;;まず、$$ f $ = $ \iro[md]{1x} $ + $ \iro[ao]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$を
$$ f $$
$$ = $ \iro[md]{x} $$
$$ + $ \iro[ao]{y} $ + $ \iro[ao]{y} $$
$$ + $ \iro[ak]{t} $ + $ \iro[ak]{t} + \iro[ak]{t} $$に変形する。
;:これに対し各項を全微分を考えると、
$$ df $$
$$ = $ \iro[md]{dx} $$
$$ + $ \iro[ao]{dy} $ + $ \iro[ao]{dy} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $$が得られる。
;:一方で、$$ f $ = $ \iro[md]{1x} $ + $ \iro[ao]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$から、偏微分$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ak]{3} $$が得られる。
;,ポイントは、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$を「$$ \iro[ak]{dt} $$の個数」として読めることである。
;;まず、$$ f $$を次のように展開できる。
#ceq(e)
    $$ f $$
    $$ = $ \iro[md]{1x} $ + $ \iro[ao]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$
    $$ = $ \iro[md]{x} $$
    $$ + $ \iro[ao]{y} $ + $ \iro[ao]{y} $$
    $$ + $ \iro[ak]{t} $ + $ \iro[ak]{t} + \iro[ak]{t} $$。
#ceq(end)
;:これに対し、全微分は次のように作れる。
#ceq(e)
    $$ df $$
    $$ = $ \iro[md]{1dx} $ + $ \iro[ao]{2dy} $ + $ \iro[ak]{3dt} $$
    $$ = $ \iro[md]{dx} $$
    $$ + $ \iro[ao]{dy} $ + $ \iro[ao]{dy} $$
    $$ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $$
    $$ + $ \iro[ak]{dt} $$が得られる。
#ceq(end)
;:$$ f $ = $ \iro[md]{1x} $ + $ \iro[ao]{2y} $ + $ \iro[ak]{3t} $$から、赤い偏微分$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ \iro[ak]{3} $$が得られる。
;,ポイントは、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$を「赤い$$ \iro[ak]{dt} $$の個数」として読めることである。

;;同様に、$$ f $$に$$ x $ = $ 2t $$と$$ y $ = $ 3t $$を代入すると、$$ f $ = $ 11t $$を得る。
;:全微分は$$ df $$
$$ = $ \iro[md]{dt} $ + $ \iro[md]{dt} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $$。
;:常微分$$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $ = $ 11 $$は全ての$$ dt $$を数えた結果を表す。
;:常微分$$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $ = $ 11 $$は「緑、青、赤を合わせた$$ dt $$を個数」を表す。
;:対して、赤い偏微分は変わらず、赤い$$ \iro[ak]{dt} $$のみを数えた$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ 3 $$である。
;:一見良さそうに見えるが、$$ f $ = $ 11t $$を見る限り、

;;次ぎに、限界の話では$$ y $ = $ 3t $$のみを適応し、$$ f $ = $ x $ + $ 9t $$作った。
;:全微分は$$ df $$
$$ = $ \iro[md]{dx} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $$。
;:登場した青い偏微分は$$ \iro[ao]{dy} $$と$$ \iro[ak]{dt} $$の分を数えた$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $ = $ 9 $$である。
;:対して、赤い偏微分は$$ \iro[ak]{dt} $$の分のみを数えた$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ 3 $$である。

;;さらに、際どく「１つの$$ y $$だけを$$ 3t $$に変換」して、$$ f $ = $ x $ + $ y $ + $ 6t $$を作ることもできる。
この場合、全微分は$$ df $$
$$ = $ \iro[md]{dx} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $ + $ \iro[ao]{dt} $$
$$ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $ + $ \iro[ak]{dt} $$、
;:１つの$$ \iro[ao]{dy} $$と$$ \iro[ak]{dt} $$を数えた紫の偏微分$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $ = $ 6 $$と、
;:赤い$$ \iro[ak]{dt} $$のみを数えた赤い$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $ = $ 3 $$が考えられる。

以上を図に纏めると次のようになる：
#ceq(e)
    |&attachref(./HennBibunnAll.png,25%);|
#ceq(end)
以上から次の結論が得られる：
#ceq(e)
    同じ関数に対し、常微分と偏微分が同時に存在して異なる場合は、偏微分が複数の意味を持って破綻する。
#ceq(end)



このように、$$ x $$、$$ y $$、$$ t $$の間に関係式を持てば、$$ f $$を変えずに$$ t $$の数を任意に増減できてしまう。
その結果、$$ \ppd{f}{t} $$は何個の$$ dt $$を数えても良く、任意の値を取れることになる。


;:１変数関数が多変数関数の特殊例と見なせば、偏微分$$ \iro[md]{\ppd{f}{t}} $ = $ 11 $$も同じ意味で成り立つ。
;,「$$ f $ = $ 11t $$」と書かれる以上、どの$$ dt $$が何色か分からなくなる。
;,このため、赤い$$ \iro[ak]{dt} $$だけを数えたくても無理である。

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* まとめ・つなぎ [#ca86b0a5]
以上から、同じ関数の常微分と偏微分が異なる値を表す場合はあるが、その場合に次のことも言える：
+ 偏微分の記号$$ \ppd{f}{t} $$が複数の意味を持ってしまう。
+ 常微分の記号$$ \ddd{f}{t} $$は$$ \ppd{f}{t} $$の１例に見える。
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