偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」と答える。

これは定義式を眺めば頷ける。

$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $$$$ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $$$$ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$

ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」である。

しかし、「その違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分のまま変わらない」ようにも見える。

実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その場合の偏微分は常微分と一致する。

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0}} $$$$ \iro[ao]{\ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$

この疑問に答えるには、同一関数に対し$$ \iro[ao]{\ddd{f}{x}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{x}} $$を示す必要がある。

偏微分と常微分の違い

準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次のように定義される全微分$$ df $$について考える。

$$ \;\iro[ao]{df}\; $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \;dx\; $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \;dy\; $$

ここで、$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$であれば、$$ f $$$$ = $$$$ f(x(t), y(t)) $$と、$$ t $$の関数に書き換えられる。このため、$$ t $$による$$ f $$の常微分が存在し、次のようになる。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$　*1

ここまでは多くのテキストで述べられている。これを利用し、$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$と$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$を揃えるには、$$ f(x(t), y(t), t) $$*2のような$$ t $$を含む関数を考える必要がある。

まず、$$ f(x, y, t) $$から、$$ f $$の全微分は次のよう書ける。

$$ \;\iro[ao]{df}\; $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \;dx\; $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \;dy\; $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ \;\iro[ao]{dt}\; $$

次ぎに、$$ x $$$$ = $$$$ x(t) $$、$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$を代入すれば、$$ f $$は$$ t $$の関数に化ける*3。このため、常微分が存在し、式の両辺を$$ \iro[ao]{dt} $$で割った形となる。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

$$ f $$が$$ x $$と$$ y $$と$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$となる。

しかし、これは一見良さそうに見えるが、式の意味を読み取ろうとすると偏微分の限界が見えてくる*4。

例えば、$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数に化けられるならば、冒頭で述べたように１変数関数を多変数関数の特例と見なせて、常微分と等価な青い偏微分が存在する。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$　　（$$ f $$が$$ t $$に関する１変数関数）

ここから、$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$という矛盾した結論が得られる。

*1 偏微分を駆け足で学ぶ人には、恐らくこれが同一関数に対して$$ df $$と$$ \pr f $$が並存する最初の式で、混乱が始まりである。
*2 この関数は、EMANの物理学/解析力学/全微分で偏微分と常微分の違いを説明するのに用いられている。ページ自体は全微分の話である。偏微分と常微分の違いはその一番最後の節で述べられている。
*3 この時点で、$$ f $$は、$$ x $$と$$ y $$に関する２変数関数でありながら、$$ t $$に関する１変数関数にもなっている。変数の数が絶対的でなくなっている点に注意。
*4 注意：問題は偏微分の方である。EMANの物理の説明自体は正しい。その説明は私が納得できた唯一の説明でもある。むしろ、偏微分の欠点を上手く隠した分かりやすい説明である。

中途半端な$$ \ppd{f}{t} $$

条件を少し変えて、中途半端な$$ f(x, y(t), t) $$について考えてみよう。「$$ x(t) $$と書いていたが、実は$$ x $$は$$ t $$を含んで無く、$$ y $$だけが$$ t $$を含んでいた」という話。

すると、$$ f(x, y, t) $$であることに変わらないため、次の全微分は変わない。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

しかし、今度は$$ y $$$$ = $$$$ y(t) $$を代入しても$$ t $$だけの関数にはならない。代わりに$$ f $$は$$ x $$と$$ t $$に関する２変数関数になるため、次の全微分が成り立つ。

$$ \iro[ao]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \ddd{x}{t} $$$$ + $$$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$

問題は、この紫の偏微分は赤い偏微分と別物で、両式を比較すると以下の関係が得られる。

　　　　　　　　$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ddd{y}{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$

それも、$$ f $$が$$ y $$の影響を、$$ y $$が$$ t $$の影響を受ける限り、どの項も消えず$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$$$ \neq $$$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$の関係を持つ。

直感的な説明：偏微分の範囲

以下では、$$ f $$$$ = $$$$ \iro[md]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{2y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3t} $$を用いて、これまでの問題を直観的に纏める。

まず、$$ f $$を次のように展開できる。

$$ f $$$$ = $$$$ \iro[md]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{2y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3t} $$$$ = $$$$ \iro[md]{x} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{y} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{t} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{t} + \iro[ak]{t} $$。

これに対し、全微分は次のように作れる。

$$ df $$$$ = $$$$ \iro[md]{1dx} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{2dy} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3dt} $$$$ = $$$$ \iro[md]{dx} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dy} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dy} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$

$$ f $$$$ = $$$$ \iro[md]{1x} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{2y} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{3t} $$から、赤い偏微分$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ \iro[ak]{3} $$が得られる。
ポイントは、$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$を「赤い$$ \iro[ak]{dt} $$の個数」として読めることである。

同様に、$$ f $$に$$ x $$$$ = $$$$ 2t $$と$$ y $$$$ = $$$$ 3t $$を代入すると、$$ f $$$$ = $$$$ 11t $$を得る。

全微分は$$ df $$$$ = $$$$ \iro[md]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[md]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$。

常微分$$ \iro[md]{\ddd{f}{t}} $$$$ = $$$$ 11 $$は「緑、青、赤を合わせた$$ dt $$を個数」を表す。

対して、赤い偏微分は変わらず、赤い$$ \iro[ak]{dt} $$のみを数えた$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ 3 $$である。

一見良さそうに見えるが、$$ f $$$$ = $$$$ 11t $$を見る限り、

次ぎに、限界の話では$$ y $$$$ = $$$$ 3t $$のみを代入し、$$ f $$$$ = $$$$ x $$$$ + $$$$ 9t $$作った。

全微分は$$ df $$$$ = $$$$ \iro[md]{dx} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$。

登場した青い偏微分は$$ \iro[ao]{dy} $$と$$ \iro[ak]{dt} $$の分を数えた$$ \iro[ao]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ 9 $$である。

対して、赤い偏微分は$$ \iro[ak]{dt} $$の分のみを数えた$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ 3 $$である。

さらに、際どく「１つの$$ y $$だけを$$ 3t $$に変換」して、$$ f $$$$ = $$$$ x $$$$ + $$$$ y $$$$ + $$$$ 6t $$を作ることもできる。この場合、全微分は$$ df $$$$ = $$$$ \iro[md]{dx} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ao]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$$$ + $$$$ \iro[ak]{dt} $$、

１つの$$ \iro[ao]{dy} $$と$$ \iro[ak]{dt} $$を数えた紫の偏微分$$ \iro[mr]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ 6 $$と、

赤い$$ \iro[ak]{dt} $$のみを数えた赤い$$ \iro[ak]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ 3 $$が考えられる。

以上を図に纏めると次のようになる：

HennBibunnAll.png

以上から次の結論が得られる：

同じ関数に対し、常微分と偏微分が同時に存在して異なる場合は、偏微分が複数の意味を持って破綻する。

このように、$$ x $$、$$ y $$、$$ t $$の間に関係式を持てば、$$ f $$を変えずに$$ t $$の数を任意に増減できてしまう。その結果、$$ \ppd{f}{t} $$は何個の$$ dt $$を数えても良く、任意の値を取れることになる。

１変数関数が多変数関数の特殊例と見なせば、偏微分$$ \iro[md]{\ppd{f}{t}} $$$$ = $$$$ 11 $$も同じ意味で成り立つ。
「$$ f $$$$ = $$$$ 11t $$」と書かれる以上、どの$$ dt $$が何色か分からなくなる。
このため、赤い$$ \iro[ak]{dt} $$だけを数えたくても無理である。

まとめ・つなぎ

以上から、同じ関数の常微分と偏微分が異なる値を表す場合はあるが、その場合に次のことも言える：

  1. 偏微分の記号$$ \ppd{f}{t} $$が複数の意味を持ってしまう。
  2. 常微分の記号$$ \ddd{f}{t} $$は$$ \ppd{f}{t} $$の１例に見える。
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