偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」と答える。

定義式を眺めば頷ける。

$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$

ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」の部分である。

しかし、私にはその違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分と変わらないように見える。

実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その偏微分は常微分に一致する。

$$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$$$ = $$$$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$

この疑問に答えるには、同じ関数に対し$$ \ppd{f}{x} $$$$ \neq $$$$ \ddd{f}{x} $$を示す必要がある。

その答えは「EMANの物理学/解析力学/全微分/偏微分と常微分の違い*1」でやっと見つかった。

*1 ページを開いて一番下の節

偏微分と常微分の違い

まず、準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次の全微分なるものが定義されている。

$$ df = \ppd{f}{x} dx $$$$ + $$$$ \ppd{f}{y} dy $$
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