偏微分と常微分の違いのバックアップ差分(No.2)

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/偏微分と常微分の違い
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偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」か「良く分からない」と答える。
定義式を眺めば、そうなるのは頷ける。
偏微分と常微分の違いを問われて、多くの人は「固定する変数の有無」と答える。

定義式を眺めば頷ける。
#ceq(e)
    $$ \ddd{f}{x} $ = $ \lim_{\Dl x \to 0} \ffd{f(x + \Dl x) - f(x)}{\Dl x} $$
    $$ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $$
#ceq(e)
    $$ \ppd{f}{x} $ = $ \lim_{\Dl x \to 0} \ffd{f(x + \Dl x, y) - f(x, y)}{\Dl x} $$
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{x}} $ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x} \iro[ak]{, y})} - \iro[kr]{f(x \iro[ak]{, y})}}{\Dl x}} $$
#ceq(end)
ここで言う「固定する変数」とは偏微分の方に現れる赤い「$$ \iro[ak]{, y} $$」の部分である。

しかし、私にはその違いは関数$$ f $$の違いで、微分操作自体は青い部分と変わらないように見える。
;:実際、１変数関数は２変数関数の特殊例と見なすことができ、その偏微分は常微分に一致する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\ppd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $ = $ \iro[ao]{\lim_{\Dl x \to 0} \ffd{\iro[kr]{f(x \iro[ao]{\,+ \Dl x})} - \iro[kr]{f(x)}}{\Dl x}} $ = $ \iro[ao]{\ddd{\iro[kr]{f(x)}}{x}} $$
#ceq(end)

この疑問に答えるには、同じ関数に対し$$ \ppd{f}{x} $ \neq $ \ddd{f}{x} $$を示す必要がある。
;:その答えは「[[EMANの物理学/解析力学/全微分/偏微分と常微分の違い>http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/total_dif.html]]((ページを開いて一番下の節))」でやっと見つかった。

%bodynote
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* 偏微分と常微分の違い [#ub89104e]

まず、準備として、２変数関数$$ f(x,y) $$について、次の全微分なるものが定義されている。
#ceq(e)
    $$ df = \ppd{f}{x} dx $ + $ \ppd{f}{y} dy $$
#ceq(end)

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偏微分と常微分の違い のバックアップ差分(No.2)

偏微分と常微分の違いのバックアップ差分(No.2)